ch2Matlab矩陣的生成與運算.ppt

Matlab矩陣的生成與運算,安徽工業(yè)大學數(shù)理學院 侯為根 ,【例1-1】表示矩陣,一、MATLAB矩陣的生成,1、直接輸入法,將矩陣的元素用方括號括起來，按矩陣行的順序輸入各元素，同一行的各元素之間用空格或逗號分隔，不同行的元素之間用分號分隔。,A=1,2,3;4,5,6;7,8,0,A=1,2,3;4 5,6;7,8 0,2、利用M文件建立矩陣,對于比較大且比較復雜的矩陣，可以為它專門建立一個M文件。,【例1-3】利用M文件建立mymat矩陣。,(1) 啟動有關編輯程序或MATLAB文本編輯器，并輸入待建矩陣.,(2) 把輸入的內(nèi)容以純文本方式存盤(設文件名為mymat.m)。,(3) 運行該M文件，就會自動建立一個名為mymat的矩陣，可供以后使用。,A=4 10 1 6 2;8 2 9 4 7; 7 5 7 1 5;0 3 4 5 4;23 13 13 0 3,3、利用MATLAB函數(shù)建立矩陣,幾個產(chǎn)生特殊矩陣的函數(shù)：zeros、ones、 eye、rand、randn、pascal、 magic(n)、 vander(V)、 hilb(n) 、 toeplitz(x,y)、compan(P) 。,這幾個函數(shù)的調(diào)用格式相似，下面以產(chǎn)生零矩陣的zeros函數(shù)為例進行說明。其調(diào)用格式是：,zeros(m) 產(chǎn)生mm零矩陣,zeros(m,n) 產(chǎn)生mn零矩陣。,zeros(size(A) 產(chǎn)生與矩陣A同樣大小的零矩陣,相關的函數(shù)有：length(A)給出行數(shù)和列數(shù)中的較大者，即length(A)=max(size(A)；ndims(A)給出A的維數(shù)。,【例1-4】 分別建立33、32和與矩陣A同樣大小的零矩陣。,(1) 建立一個33零矩陣：zeros(3),(2) 建立一個32零矩陣：zeros(3,2),(3) 建立與矩陣A同樣大小零矩陣：zeros(size(A),【例1-5】 建立一個32的矩陣A，其元素為1到10中隨機選取的整數(shù)。,A=unidrnd(10,2,3),注：命令A=unifrnd(1,10,2,3)的元素為在區(qū)間1,10中隨機選取的實數(shù)。,x1 = rand(10000, 1); x2 = randn(10000, 1); subplot(2,1,1); hist(x1, 40); title(均勻分布); subplot(2,1,2); hist(x2, 40); title(高斯分布); set(findobj(gcf,type, patch),EdgeColor, w); % 改邊線為白色,【例1-6】產(chǎn)生10000個均勻均勻與正態(tài)分布的隨機數(shù),產(chǎn)生隨機數(shù)矩陣指令rand 和 randn,4、矩陣的合并,大矩陣可由方括號中的小矩陣建立起來。,A=1 2 3;4 5 6;7 8 0;,C=A,eye(size(A);ones(size(A),A,A=A;1 2 3;1;2;3;4;,【例1-8】使用小矩陣構(gòu)造大矩陣,5、冒號表達式（序列生成方法）,冒號表達式的一般格式：v=s1:s2:s3,還可以用linspace函數(shù)產(chǎn)生行向量：linspace(a,b,n),linspace(a,b,n)與a:(b-a)/(n-1):b等價,【例1-9】 用不同的步距生成 (0,p) 間向量,V1=0:0.2:pi,V2=0:pi,V3=pi:-1:0,V4=0:0.2:pi,pi,V6=0:pi/100:pi,V5=linspace(0,pi,100),6、矩陣變形,常用改變矩陣形狀函數(shù)如下表,函數(shù)reshape(A,m,n)，它在矩陣總元素保持不變的前提下，將矩陣A重新排成mn的二維矩陣。,【例1-5】 將4階魔方陣形變?yōu)?行8列的矩陣,reshaps(magic(4),2,8),A = 1 4 7 10; 2 5 8 11; 3 6 9 12,【例1-6】 將矩陣形A進行各類翻轉(zhuǎn)變化,左右翻轉(zhuǎn):,上下翻轉(zhuǎn):,旋轉(zhuǎn) 90o:,fliplr(A),flipud(A),rot90(A),flipdim(A,1)其等價于flipud(A),flipdim(A,2)其等價于fliplr(A),二、對矩陣元素的操作,矩陣A中，位于第i行、第j列的元素可表示為A(i,j) i與j即是此元素的下標（Subscript）或索引（Index） MATLAB中所有矩陣的內(nèi)部表示法都是以列為主的一維向量 A(i,j)和A(i+(j-1)*m)是完全一樣的m為矩陣A的列數(shù),1、矩陣的索引或下標,我們可以使用一維或二維下標來存取矩陣,A=4 10 1 6 2;8 2 9 4 7; 7 5 7 1 5;0 3 4 5 4;23 13 13 0 3,2 、矩陣元素,MATLAB允許用戶對一個矩陣的單個元素進行賦值和操作。例如 A(3,2)=200,也可以采用矩陣元素的序號來引用矩陣元素。矩陣元素按列編號，先第一列，再第二列，依次類推。,以mn矩陣A為例，矩陣元素A(i,j)的序號為：(j-1) *m+i。其相互轉(zhuǎn)換關系也可利用sub2ind和ind2sub函數(shù)求得。,可以借用矩陣可賦值的屬性對矩陣進行擴充。例如A為前面給出的矩陣，若將其擴充為67矩陣，可這樣賦值： A(6,7)=1,3. 子矩陣提取,(1) 利用冒號表達式獲得子矩陣, A(:,j)表示取A矩陣的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩陣第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩陣第i行、第j列的元素。, A(i:i+m,:)表示取A矩陣第ii+m行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取A矩陣第kk+m列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩陣第ii+m行內(nèi)，并在第kk+m列中的所有元素。, 利用一般向量和end運算符等來表示矩陣下標，從而獲得子矩陣。end表示某一維的末尾元素下標。,【例2-1】子矩陣提取,提取矩陣A 全部奇數(shù)行，所有列,將矩陣A 左右翻轉(zhuǎn),提取矩陣A的 3,2,1 行、2,3,4 列構(gòu)成子矩陣,將矩陣A 2,4列全變?yōu)?,B1=A(1:2:end,:),B3=A(:,end:-1:1),B2=A(3,2,1,2:4),A(:,2,4)=ones(4,2),注意：A(:)是按一維索引順序列出A的全部元素,4、利用空矩陣刪除矩陣的元素,在MATLAB中，定義 為空矩陣。給變量X賦空矩陣的語句為X= 。,【注意】X= 與clear X不同，clear是將X從工作空間中刪除，而空矩陣則存在于工作空間，只是維數(shù)為0。,將某些元素從矩陣中刪除，采用將其置為空矩陣的方法就是一種有效的方法。,【例2-2】將矩陣A 2,4行刪去,A(2,3,:=,A=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12 A1=diag(A) A2=diag(A,1) A3=diag(A,-1) B1=diag(A1,1) B2=diag(A3,1),6 選取對角元素,7 選取上下）三角元陣,c1=tril(A) c2=tril(A,1) c3=tril(A,-1) d1=triu(A) d2=triu(A,1) D3=triu(A,-1),1. 數(shù)學運算,2. 邏輯運算,三、 Matlab基本運算,3. 比較運算,4. 集合運算,一、數(shù)學運算,MATLAB的基本算術運算有： (加)、(減)、*(乘)、/(右除)、(左除)、(乘方)、共軛轉(zhuǎn)置（）正號（+）,負號（-）,【注意】運算是在矩陣意義下進行的，單個數(shù)據(jù)的算術運算只是一種特例。,2. 點運算,點運算符有.*、./、.和.。兩矩陣進行點運算是指它們的對應元素進行相關運算，要求兩矩陣的維參數(shù)相同。,1. 基本算術運算,1.轉(zhuǎn)置（.）,冪次（.）.共軛轉(zhuǎn)置（）,矩陣冪次（） 2.正號（+）,負號（-） 3.乘法（.*）,元素右除（./）,元素左除（.）,矩陣乘法（*）,矩陣右除（/）,矩陣左除（） 4.加法（+）,減法（-） 5.冒號（:）（例如： x = 1:2:5 等）,數(shù)學運算符之優(yōu)先級:,同一類的運算符均具有相同的優(yōu)先度(Priority),因此在計算上，是由左至右依次完成,矩陣的數(shù)學運算,矩陣的加減與一般標量（Scalar）的加減類似 相加或相減的矩陣必需具有相同的維度,A = 12 34 56 20; B = 1 3 2 4; C = A + B C1= A-B,例1: 加減法運算,矩陣與純量可以直接進行加減，MATLAB 會直接將加減應用到每一個元素,A=1 2 3 2 1 + 5,矩陣的加減法運算,矩陣的乘法與除法,標量對矩陣的乘或除，可比照一般寫法,A = 1 2 3; 4 4 2; C = A/3 B = 2*A,欲進行矩陣相乘，必需確認第一個矩陣的列數(shù)（ Column Dimension） 必需等于第二個矩陣的行數(shù)（Row Dimension）,例2:矩陣的乘法,A = 1; 2; B = 3, 4, 5; C = A*B,矩陣除法,若A為非奇異方陣，則X=A-1B,若A為非奇異方陣，則X=BA-1,矩陣左除：AX = B，求 X MATLAB 求解：X=AB,最小二乘解,矩陣右除：XA = B，求 X MATLAB求解：X=B/A最小二乘解,注：若A為非奇異方陣，則A-1在Matlab中為inv(A),矩陣的次方運算,矩陣的次方運算，可由“”來達成，但矩陣必需是方陣，其次方運算才有意義,A = magic(3); B = A2,例3：,復數(shù)矩陣z，其“共軛轉(zhuǎn)置”矩陣(Conjugate Transpose)可表示成矩陣z,轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置矩陣,i = sqrt(-1); % 單位虛數(shù) z = 1+i, 2; 3, 1+2i; w = z % 共軛轉(zhuǎn)置(注意z后面的單引號),例4: 矩陣共軛轉(zhuǎn)置,i = sqrt(-1); % 單位虛數(shù) z = 1+i, 2; 3, 1+2i; w = z. % 單純轉(zhuǎn)置(注意z后面的句點及單引號),想得到任何矩陣z的轉(zhuǎn)置（Transpose），則可表示成矩陣矩陣z.,例5:矩陣的轉(zhuǎn)置,若z為實數(shù)，則z和z.的結(jié)果是一樣的,2、點運算,矩陣對應元素的直接運算,例如,A =1 2 3；4 5 6；7 8 0,B = A.A,3MATLAB數(shù)組運算函數(shù),1. 規(guī)則：設X=(xij)mn，則 f (X)=(f (xij)mn,sin cos tan cot sec csc asin acos atan acot asec acsc,2. 常用數(shù)學函數(shù),三角與反三角函數(shù),exp log log10 sqrt pow2,ceil fix floor round rem sign,abs angle conj imag real,指數(shù)與對數(shù),復變函數(shù),取整函數(shù),cart2sph cart2pol pol2cart sph2pol,坐標轉(zhuǎn)換,注：若要對函數(shù)進行矩陣運算，方法為：funm(X,f),4 矩陣分析計算命令,向量的p-norm,一個向量a的p-norm可以定義為,p=2 時，此即為向量 a 的長度，或稱歐氏長度（Euclidean Length）,欲求一向量的p-norm，可使用norm指令norm(x,p),a = 3 4; x = norm(a, 1) % x = 7 y = norm(a, 2) % y = 5 z = norm(a, inf),注意：,矩陣A的p-norm可以定義如下：,例9: normMatrix,norm 指令亦可用于計算矩陣的 p-norm,A = 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; norm(A, 2),矩陣的秩,A = 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; rank(A),矩陣的行列式,A = 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; rank(A),B = 1 2 3; 4 5 6; 8 8 9; rank(B),矩陣的跡,A = 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; trace(A),矩陣的零空間,A = 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; null(A) null(A,r),Ax=0的解空間,正交化矩陣,s=orth(A) s = -0.2148 0.8872 -0.5206 0.2496 -0.8263 -0.3879,s=orth(B) s = -0.2074 -0.7711 -0.6019 -0.5070 -0.4415 0.7403 -0.8366 0.4587 -0.2994,A = magic(4), R = rref(A),A(:,1)+3*A(:,2)-3*A(:,3),A(1,:)+3*A(2,:)-3*A(3,:),矩陣梯形化與極大無關組,用法：R=rref(A) R,L=rref(A),R給出矩陣的梯形形式，L給出極大無關組向量所在的行或列,subspace(1,2,3,3,4,2) subspace(1,2,3,3,4,2;1,5,2) subspace(1,2,3;6,7,1,3,4,2;1,5,2),兩個子空間的夾角,用法：theta=subspace(v,u),chol(A) %三角分解,A=L*LT,lu(A) %A對稱，A=L*U,U,S,V=svd(A) %A=U*S*V,qr(A) %A=q*r(q正交陣,r三角陣）,或 / %求解線性方程組,cond(A) %矩陣的條件數(shù),5、 MATLAB矩陣代數(shù)運算函數(shù),inv(A) %矩陣的逆,Cholesky分解是將一個對稱的正定矩陣分解為一個上三角矩陣和其轉(zhuǎn)置的乘積。,X=pascal(5) R=chol(X) C=R*R,LU分解是將原正方 (square) 矩陣分解成一個上三角形矩陣或是排列(permuted) 的上三角形矩陣和一個 下三角形矩陣，這樣的分解法又稱為三角分解。,命令格式為：,L,U=lu(A),L,U,P=lu(A),例如：,B=1 3 2; -2 -6 1; 2 5 7 L,U=lu(B) L*U,L,U,P=lu(B) P*L*U,QR分解法是將矩陣分解成一個正規(guī)正交矩陣與上三角形矩陣，矩陣A不必為正方矩陣。,A=1 3 2 5; -2 -6 1 6; 2 5 7 2 Q,R=qr(A) Q*Q Q*R,奇異值分解 (sigular value decomposition,SVD) 是另一種正交矩陣分解法；SVD是最可靠的分解法，但是它比QR 分解法要花上近十倍的計算時間。,U,S,V=svd(A)，其中U和V代表二個相互正交矩陣，而S代表一對角矩陣。 和QR分解法相同者， 原矩陣A不必為正方矩陣。,A=1,2;3,1 S,V,D=svd(A),eig(A) %A*x=*x,V,D=eig(A) %A*V=V*D,eig(A,B) %A*x=*B*x,V,D=eig(A,B) %A*V=B*V*D,例：設A=pascal(4),B=magic(4)，并使用下列函數(shù)進行計算,1.當數(shù)據(jù)為行向量或列向量時，函數(shù)對整個向量進行計算. 2.當數(shù)據(jù)為矩陣時，命令對列進行計算，即把每一列數(shù)據(jù)當成同一變量的不同觀察值。 max(求最大)、min(求最小)、mean(求平均值)、sum(求和)、std(求標準差)、cumsum(求累積和)、median(求中值)、diff(差分)、sort(升序排列)、sortrows(行升序排列)等等。,數(shù)據(jù)的簡單分析,觀察：生成一個36的隨機數(shù)矩陣，并將其各列排序、求各列的最大值與各列元素之和。 程序 rand(seed,1);A=rand(3,6), Asort=sort(A), Amax=max(A), Asum=sum(A) 結(jié)果,數(shù)據(jù)的簡單分析,矩陣的比較運算, =, , =, =,=, find(), all(), any()，isempty , isnan, isfinit, islogical, isglobal, isstr 等,MATLAB的關系運算符總是以矩陣內(nèi)元素對元素的方式作運算,比較兩元素之間關系：若成立結(jié)論為1，否則為0,1、數(shù)量間比較,各種允許的比較關系,例1:,a=3; b=5; a5 ab a=b,關系運算符的用法:,關系運算符的用法,A=1 2 3; 4 5 6;7 8,0 b=A5 A(b),3、同維矩陣間比較；返回0-1矩陣,2、矩陣與一數(shù)比較返回0-1矩陣,例2:給出矩陣A中大與5的元素值,例3: 接上例,設B=magic(3),B=magic(3); BA,find指令 : 可傳回非零元素索引,顯示一維索引或下標,元素索引,index=find(A5),可以將關系運算符返回的0-1矩陣,來進行矩陣的索（Indexing）求出在A矩陣中，滿足AijBij的元素,x = 0 1 2; 0 0 3 index = find(x) x(index),x(index)則是非零元素所形成的向量,要找出滿足某條件的二維索引或下標,2維索引,idx1,idx2=find(x5),idx1和idx2分別是符合條件之矩陣元素的列索引(Row Index)及行索引(Column Index),例:如何找出介于7和11的元素?,x = magic(5) x(find(7x&x11),【例2.4 】產(chǎn)生5階隨機方陣A，其元素為10,90區(qū)間的隨機整數(shù)，然后判斷A的元素是否能被3整除并取出這些元素。,(1) 生成5階隨機方陣A。,A=fix(90-10+1)*rand(5)+10),(2) 判斷A的元素是否可以被3整除。,P=rem(A,3)=0,(3) 取出A中能被3整除的元素。,A1=A(P),矩陣的邏輯運算,MATLAB提供了4種邏輯運算符：,邏輯變量,&(與)、|(或)、(非)和xor異或。,對 double 變量來說，非 0 表示邏輯 1,設A與B為兩個命題,邏輯運算（相應元素間的運算）,與運算,或運算,非運算,異或運算,A&B,A|B,A,Xor(A,B),數(shù)值為1則為True, 數(shù)值為0則為False,當所有向量元素為”真”(非零),則all指令傳回1，否則為0。 當任一向量元素為”真”(非零)，則any指令傳回1，否則為0。,相關的指令有all及any:,a = 0 1 2 3 result1 = all(a) retult2 = any(a) result3 = any(a0),范例,all 及 any 指令也可以接受矩陣輸入，此時他們會對每一個行向量進行運算,【例2.5】在0,3區(qū)間，求y=sin(x)的值：要求消去負半波,方法1： x=0:pi/100:3*pi; y=sin(x); y1=(x2*pi).*y; %消去負半波 q=(xpi/3 %按要求處理第(2)步,方法2： x=0:pi/100:3*pi;y=sin(x); y1=(y=0).*y; %消去負半波 p=sin(pi/3); y2=(y=p)*p+(yp).*y1; %按要求處理第(2)步,MATLAB 的集合運算符（Set Operators）可將向量視為集合，來進行各種集合運算,集合運算符,x = 1 2 3 4 5 6; y = 1 1 5 5 9 9 9; un= union(x,y) %并集 it= intersect(x,y) %交集 sf= setdiff(x,y) %差集 sr= setxor(x,y) %XOR 運算 sq= unique(y) %取相異元素 im= ismember(9,y) %元素9是否屬于集合y,例：,多項式,1） P=a0, a1, , an-1, an表示如下n次多項式:,P(x)=a0xn+ a1xn-1+ + an-1x+ an,2） P=poly(A),若A為方陣，則P為特征多項式。,若A為一數(shù)組，則P表示以A中全部元為根多項式。,例：A=11 12 13; 14 15 16; 17 18 19,PA=poly(A) PPA=poly2str(PA,x),多項式運算,1) P=conv(p1,p2) %多項式乘積,2) q,r=deconv(p1,p2) %多項式相除,3) P=poly(A); dp=polyder(P) %多項式求導,4) pf=polyfit(X,Y,n) %多項式擬合,5) PA=polyval(P,s) %將值s代入多項式P,6) PM=polyvalm(P,s) % s是矩陣，矩陣運算,s可以是矩陣，數(shù)組運算,字符與字符串,本節(jié)介紹MATLAB用于處理字符(Characters)與字符串(Strings)的指令及相關數(shù)據(jù)型態(tài)。MATLAB 處理字符串的相關指令大部分都放在下列目錄之中： MATLAB根目錄toolboxmatlabstrfun 其中的”strfun”就是代表”String Functions”.若要查詢與字符和字符串相關的指令，可在 MATLAB 下輸入： help strfun 或是 help strings,本節(jié)簡介,數(shù)個字符（Characters）可以構(gòu)成一個字符串（Strings） 一個字符串是被視為