“算經(jīng)十書”的數(shù)學(xué)思想精粹

“算經(jīng)十書”的數(shù)學(xué)思想精粹在世界科學(xué)史中,中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)是一顆燦爛的明珠。在中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中,“算經(jīng)十書”是典型的代表。所謂“算經(jīng)十書”,指的是中國十部古算書:周髀算經(jīng)、九章算術(shù)、孫子算經(jīng)、五曹算經(jīng)、夏侯陽算經(jīng)、張丘建算經(jīng)、海島算經(jīng)、五經(jīng)算術(shù)、綴術(shù)(元豐年間已失傳,后來以數(shù)術(shù)記遺代之)、緝古算經(jīng)。唐代時期,國子監(jiān)內(nèi)設(shè)算學(xué)館,置有博士、助教,指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),規(guī)定這十部書為課本。許多人為這十部算書作注釋,作增補刪改,歷代華夏子孫學(xué)習(xí)它,研究它,中國數(shù)學(xué)也因它而形成自身的傳統(tǒng)并將此傳統(tǒng)繼承和發(fā)揚?！八憬?jīng)十書”就其內(nèi)容來說,屬于初等數(shù)學(xué);就其數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法來說,則是十分高深的。下面,我們闡述其數(shù)學(xué)思想。1. 探索和追求精益求精的計算方法和技巧就數(shù)學(xué)內(nèi)容而言,“算經(jīng)十書”以善于計算而見長,并且這一長足的發(fā)展還被推進到讓世界其他各國都望塵莫及的地步,這已是中外中算史家的共識?！八憬?jīng)十書”能如此輝煌耀目,是跟它著力探索和追求精益求精的計算方法和技巧分不開的?！八憬?jīng)十書”中最早的一種周髀算經(jīng),其第一章敘述了西周開國時期(約公元前1100年)周公與商高的一段問答。從這段問答中,我們可以見到我國早期數(shù)學(xué)思想的一些初步端倪。當(dāng)周公問商高“夫天不可階而升,地不可得尺寸而度。請問數(shù)安從出?”時,商高答道:“數(shù)之法出于圓方,圓出于方,方出于矩。矩出于九九八十一?！苯又?商高還說:“故折矩以為句廣三,股修四,徑隅五。既方其外,半之一矩,環(huán)而共盤,得三、四、五。兩矩共長二十有五,是謂積矩。故禹之所以治天下者,此數(shù)之所由生也?！边@里,我們可以清新地見到,我們祖先在早期“定天下”、“治天下”時,已經(jīng)看到了數(shù)學(xué)的重要性(如大禹、周公);而掌握到一些數(shù)學(xué)知識的人(如高商),是注意數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的。比如,我們從上述商高答問中,就可以看到,古人理解“數(shù)之所由生”,是將形與量結(jié)合起來考察的。圓和方都是形,而形是有數(shù)量關(guān)系的,從考察形可以探討到“數(shù)之法”,但這形中又包含著豐富的數(shù)量關(guān)系,特別是平方關(guān)系(九九八十一)。數(shù)之法是從圓形和方形開始的。圓是內(nèi)接正多邊形經(jīng)過無數(shù)次的倍邊之后所得到的正多邊形的極限(我國最早的極限思想,是不是來自于這種“圓出于方”的觀念,希望讀者引起注意)。矩是木匠用的曲尺,形如L,方中的直角,非矩不能作,所以說方出于矩。矩形的面積又不外于二數(shù)相乘,也就是說,要算出來。我國古代算法好憑口訣,而乘法口訣是從“九九八十一”起的,古人用“九九”作為乘法口訣的簡稱,故有“矩出于九九八十一”。這里所包含的用數(shù)的性質(zhì)來研究形的性質(zhì)的思想,與古希臘的數(shù)學(xué)思想旨趣相映。古希臘的畢達哥拉斯定理:a2+b2=c2 。而當(dāng)a=b=1時,則c= ,這 既不是自然數(shù),也不是自然數(shù)之比,所以不能是可接受的正常的數(shù),被稱為無理數(shù),導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機,從此古希臘數(shù)學(xué)發(fā)展的方向產(chǎn)生了大改變,“幾何化”占了主導(dǎo)地位。1商高提出了著名的“句三股四弦五”這個勾股定理(也稱勾股弦定理、商高定理),是從“折矩”而來然后得“積矩”的,3,4,5及其平方的關(guān)系可以體現(xiàn)出勾股定理,但中國并沒有由此而產(chǎn)生數(shù)學(xué)危機,也沒有發(fā)生發(fā)展方向的大改變,反而為“幾何代數(shù)化”2這個中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展主導(dǎo)方向奠定了很好的基礎(chǔ)。中國早期講究以算的方法去解決實際數(shù)學(xué)問題,是“數(shù)之所由生”的重要思想。在古代,不管是西方國家或中國,數(shù)學(xué)的發(fā)展都跟勾股定理結(jié)下不解之緣,這不是偶然的歷史巧合,而是不同淵源和發(fā)展脈絡(luò)的科學(xué)認(rèn)識的一種必然交匯,其原因是由人們的實踐活動決定的。作為人類早期的數(shù)學(xué)研究活動,很自然地會碰到考察形的性質(zhì)及數(shù)量關(guān)系,直角三角形成為關(guān)注的對象是在情理之中。正如趙爽所說的,早期先人們(如大禹)能掌握有關(guān)的數(shù)學(xué)知識是“乃勾股之所由生也”。但不同民族的不同思維方式會導(dǎo)致數(shù)學(xué)發(fā)展的不同朝向,至少在初等數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)是存在的。古希臘在數(shù)、形簡單和諧的觀念被打破之后發(fā)生大轉(zhuǎn)向,從重算發(fā)展到重證,發(fā)展到重視幾何證明,往后的趨勢就是有了這種發(fā)展趨勢和成果的集大成標(biāo)志歐氏幾何的產(chǎn)生,它是西方國家初等數(shù)學(xué)體系確立的標(biāo)志,而中國此時并不發(fā)生方向的大改變,而是沿著算的道路繼續(xù)前進,往廣度和深度上延伸發(fā)展,導(dǎo)致的是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系的形成九章算術(shù)的出現(xiàn)。九章算術(shù)中有許多具有世界意義的成就,如負(fù)數(shù)計算、分?jǐn)?shù)計算、聯(lián)立一次方程解法等,正是沿著探索計算的方法和技巧前進的結(jié)果?？少F的是,我們的祖先在此數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)之下,并不以原有的結(jié)果為滿足,沒有停留在原有的水平上裹足不進,而是精益求精地深入下去。如九章算術(shù)246道題,有解題方法202“術(shù)”,在當(dāng)時有如此輝煌成績已難能可貴,但三國魏晉時期的劉徽,就在九章算術(shù)的基礎(chǔ)上,仔細(xì)作注,不但為九章提供了系統(tǒng)的理論依據(jù),而且大力向前推進,提出了許多創(chuàng)見,將探討和講究精益求精的計算方法和技巧這種數(shù)學(xué)思想,提到一個更高的水平,并對后世的發(fā)展帶來了深刻的實際影響,如他發(fā)現(xiàn)的割圓術(shù),為后來祖沖之求得更精確的值奠定了基礎(chǔ),唐李淳風(fēng)注九章算術(shù)時說:“劉徽特以為疏,遂乃改張其率,但周徑相乘數(shù)難契合。祖沖之以其不精,就中更推其數(shù)。”劉徽本人告誡人們他所得到的“徽率”太小,后人也正是沿著劉徽的思想方法再繼續(xù)前進,將值愈推愈精確。在求積問題上,劉徽也有突破,他提出了推求球體積的著名的“牟合方蓋”理論,之后,祖暅在劉徽研究的基礎(chǔ)上,精益求精,得到了聞名于世的“祖暅定理”,并具體求出了“牟合方蓋”。這長江后浪推前浪,一浪更比一浪高的中國高超的算法技巧,正是在一條清晰的傳統(tǒng)思維途徑探索和講求精益求精的計算方法和技巧中進行和取得成就的。如張丘建算經(jīng)自序中這樣寫道:“其夏侯陽之方倉,孫子之蕩杯,此等之術(shù)皆未得其妙。故更造新術(shù)推盡其理?！痹谔剿骶媲缶乃惴ǖ缆飞细弦粚訕?就是張丘建算經(jīng)的數(shù)學(xué)指導(dǎo)思想,正是在此思想的指導(dǎo)之下,出現(xiàn)了舉世聞名的“百雞問題”。2.講究明確的思想依據(jù)數(shù)學(xué)思想研究的是數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的思想方法和思想依據(jù)?！八憬?jīng)十書”不僅在數(shù)學(xué)知識上光彩耀目,在數(shù)學(xué)思想上也獨樹一幟,其顯著的特點是對于作為每項有意義的數(shù)學(xué)成果,都講究其明確的思想依據(jù)。劉徽精細(xì)地注釋了九章算術(shù),從而確立了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論體系。劉徽的數(shù)學(xué)思想和方法,對后世影響極深。如王孝通在上緝古算經(jīng)表中云:“徽思極毫芒,觸類增長?！闭f劉徽的思想方法是“一時獨步”。而劉徽對自己所接觸和研究的數(shù)學(xué),是十分講究明確的思想依據(jù)的。“算經(jīng)十書”中有二部與他密切相關(guān)。九章算術(shù)由于有了劉徽注,從此中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)有了自己的理論體系;他在注九章算術(shù)時補撰“重差”,其單行本即海島算經(jīng)。劉徽注九章算術(shù)時,十分講究數(shù)理之道要有明確的思想依據(jù)。在九章算術(shù)注原序中,劉徽說:“徽幼習(xí)九章,長再詳覽。觀陰陽之割裂,總算術(shù)之根源,探賾之暇,遂悟其意。是以敢竭頑魯,采其所見,為之作注。事類相推,各有攸歸,故枝條雖分而同本干者,知發(fā)其一端而已。又所析理以辭,解體用圖,庶亦約而能周,通而不黷,覽之者思過半矣。”在“圓田術(shù)”注中,劉徽寫道:“不有明據(jù),辯之斯難”,于是,他在創(chuàng)造“割圓術(shù)”的同時,還告訴人們此種創(chuàng)造是有依據(jù)的:“謹(jǐn)接圖驗,更造密率?？挚赵O(shè)法,數(shù)昧而難譬。故置諸檢括,謹(jǐn)詳其記注焉?！痹凇伴_立圓”(由球的體積以開立方的方法求其直徑)注中,劉徽創(chuàng)立了“牟合方蓋”理論,他不僅介紹了有關(guān)方法,而且還言明思想依據(jù),“互相通補,觀立方之內(nèi),盒蓋之外,雖衰殺有漸,而多少不掩。判合總結(jié),方圓相纏,濃纖詭互,不可等正?！钡謸?dān)心依據(jù)不足,惟恐理法相違,專門作了交待,以待后人獲得更嚴(yán)密的依據(jù):“欲陋形措意,懼失正理。敢不闕疑,以俟能言者”。從中我們不僅見到先哲們對探討數(shù)理的思想依據(jù)的重視,也深深領(lǐng)悟到他們治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母呱酗L(fēng)范。在談到將割圓術(shù)作為解決有關(guān)極限問題的工具時,劉徽也闡述了其思想依據(jù):“數(shù)而求窮之者,謂以情推,不用算籌”(“陽馬術(shù)”注)。意思是說,數(shù)學(xué)中凡解決有關(guān)無窮之類問題時,不必用算籌去計算,應(yīng)當(dāng)用數(shù)學(xué)思想去把握。再拿海島算經(jīng)來說,劉徽為什么要寫海島算經(jīng)呢?其思想依據(jù)是什么?在九章算術(shù)劉徽注原序中,劉徽清楚的說明“蒼等為術(shù)猶未足以博盡群數(shù)也”,于是“輒造重差,并為注解,以究古人之意,綴于句股之下”,“以闡世術(shù)之美”。而造“重差”此術(shù)的思路是:要測量不可到達目的物的高和遠(yuǎn)時,一次測望不夠,于是采用二次測望、三次測望、四次測望,即“度高者重表,測深者累矩”(“重表”或“累矩”就是用表或矩測望兩次)、“孤離者三望”、“離而又旁求者四望”。更為深刻的是,劉徽并不是勉強、被動地去考究數(shù)學(xué)知識之思想依據(jù)的,他認(rèn)為數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)知識之間本身具有非常緊密的聯(lián)系,他用庖丁解牛來闡述此層道理:“更有異術(shù)者,庖丁解牛,游刃理間,故能歷久其刃如新。夫數(shù)猶刃也,易簡用之則動中庖丁之理,故能和神愛刃,速而寡尤”(九章算術(shù)方程術(shù)注)。自劉徽之后,“算經(jīng)十書”的著者都較注意闡述算理要有明確的思想依據(jù),如四庫總目 提要中稱:張丘建算經(jīng)之體例,皆設(shè)為問答,以參校而中明之,簡奧古質(zhì),與近求不同,而條理精密,實能深究古人之意。正因為此書注意講究數(shù)學(xué)的思想依據(jù),因而對掌握數(shù)學(xué)知識的來龍去脈很有益處,“故唐代頒之算學(xué),以為專業(yè)”。就是在我國近年的中學(xué)數(shù)學(xué)課本中,還列有張丘建算經(jīng)的題目。要練說，先練膽。說話膽小是幼兒語言發(fā)展的障礙。不少幼兒當(dāng)眾說話時顯得膽怯：有的結(jié)巴重復(fù)，面紅耳赤；有的聲音極低，自講自聽；有的低頭不語，扯衣服，扭身子?？傊?，說話時外部表現(xiàn)不自然。我抓住練膽這個關(guān)鍵，面向全體，偏向差生。一是和幼兒建立和諧的語言交流關(guān)系。每當(dāng)和幼兒講話時，我總是笑臉相迎，聲音親切，動作親昵，消除幼兒畏懼心理，讓他能主動的、無拘無束地和我交談。二是注重培養(yǎng)幼兒敢于當(dāng)眾說話的習(xí)慣。或在課堂教學(xué)中，改變過去老師講學(xué)生聽的傳統(tǒng)的教學(xué)模式，取消了先舉手后發(fā)言的約束，多采取自由討論和談話的形式，給每個幼兒較多的當(dāng)眾說話的機會，培養(yǎng)幼兒愛說話敢說話的興趣，對一些說話有困難的幼兒，我總是認(rèn)真地耐心地聽，熱情地幫助和鼓勵他把話說完、說好，增強其說話的勇氣和把話說好的信心。三是要提明確的說話要求，在說話訓(xùn)練中不斷提高，我要求每個幼兒在說話時要儀態(tài)大方，口齒清楚，聲音響亮，學(xué)會用眼神。對說得好的幼兒，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表揚，并要其他幼兒模仿。長期堅持，不斷訓(xùn)練，幼兒說話膽量也在不斷提高。此外,“算經(jīng)十書”中關(guān)于數(shù)學(xué)證明的部分,也講究要有明確的思想依據(jù)。33.著力于靈活和廣泛的應(yīng)用語文課本中的文章都是精選的比較優(yōu)秀的文章,還有不少名家名篇。如果有選擇循序漸進地讓學(xué)生背誦一些優(yōu)秀篇目、精彩段落,對提高學(xué)生的水平會大有裨益?，F(xiàn)在,不少語文教師在分析課文時,把文章解體的支離破碎,總在文章的技巧方面下功夫。結(jié)果教師費勁,學(xué)生頭疼。分析完之后,學(xué)生收效甚微,沒過幾天便忘的一干二凈。造成這種事倍功半的尷尬局面的關(guān)鍵就是對文章讀的不熟。常言道“書讀百遍,其義自見”,如果有目的、有計劃地引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)閱讀課文,或細(xì)讀、默讀、跳讀,或聽讀、范讀、輪讀、分角色朗讀,學(xué)生便可以在讀中自然領(lǐng)悟文章的思想內(nèi)容和寫作技巧,可以在讀中自然加強語感,增強語言的感受力。久而久之,這種思想內(nèi)容、寫作技巧和語感就會自然滲透到學(xué)生的語言意識之中,就會在寫作中自覺不自覺地加以運用、創(chuàng)造和發(fā)展。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)十分著力于靈活和廣泛的應(yīng)用。拿“算經(jīng)十書”最早的一部周髀算經(jīng)來說,東漢末至三國時代的吳國人趙爽曾對周髀算經(jīng)逐段進行詳細(xì)的注釋。在趙爽注釋中有這樣寫道:“禹治洪水,決流江河,望山川之形,定高下之勢,除滔天之災(zāi),釋昏墊之厄,使東注于海而無侵逆,乃句股之所由生也?！庇謸?jù)史記?夏本紀(jì)記載,大禹治水時,“陸行乘車,水行乘舟,泥行乘撬,山行乘攆,左準(zhǔn)繩,右規(guī)矩?！壁w爽的注釋和史記的記載(山東五梁祠畫像石中有幅大禹治水圖)都說明了我國早期注意從實踐中提煉數(shù)學(xué)知識并將掌握的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實踐中去。周髀算經(jīng)中記載的“平矩以正繩,偃矩以望高,覆矩以測深,臥矩以知遠(yuǎn)。環(huán)矩以為圓,合矩以為方”都充分體現(xiàn)了將數(shù)學(xué)知識(包括數(shù)學(xué)器具)著力于在實踐中應(yīng)用的思想。我國是一個農(nóng)業(yè)古國,田地面積的量法極需要數(shù)學(xué)為它提供手段,儲囤糧食、建筑城墻、開溝挖渠等都需要有計算體積的方法,如求方田、廣田、圭田的面積,求城、的體積,都十分需要有一定的數(shù)學(xué)工具為人們提供解決問題的手段。我國古代很早就推行按畝收稅、兩稅法的賦稅制度,兌換、分配的需要以及工商業(yè)的發(fā)展,促進和加強了將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實踐。再從中國封建統(tǒng)治者來看,他們也極需要精確地計算田畝面積,合理安排賦稅,來發(fā)展封建社會的經(jīng)濟,鞏固封建王朝的統(tǒng)治。特別是天文歷法,它對于歷代統(tǒng)治者來說,都是至關(guān)重要的,似乎它就是封建王朝統(tǒng)治者興衰的象征。封建統(tǒng)治者需要頒布?xì)v法,歷法的制定又離不開數(shù)學(xué)。因此,在古代中國,不管是“民間”或“官方”,都要求數(shù)學(xué)研究與實踐經(jīng)驗相結(jié)合。周髀算經(jīng)旨在闡明宇宙結(jié)構(gòu)學(xué)說“蓋天說”;九章算術(shù)九個章都與實踐緊密相關(guān);海島算經(jīng)用以解決測量推算遠(yuǎn)處目的物的高、深、廣、遠(yuǎn)問題;孫子算經(jīng)所選的大部分都是解決實際情況的應(yīng)用題單靠“死”記還不行,還得“活”用,姑且稱之為“先死后活”吧。讓學(xué)生把一周看到或聽到的新鮮事記下來,摒棄那些假話套話空話,寫出自己的真情實感,篇幅可長可短,并要求運用積累的成語、名言警句等,定期檢查點評,選擇優(yōu)秀篇目在班里朗讀或展出。這樣,即鞏固了所學(xué)的材料,又鍛煉了學(xué)生的寫作能力,同時還培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力、思維能力等等,達到“一石多鳥”的效果。;夏侯陽算經(jīng)引用當(dāng)時流傳的