“牛吃草”問題

“牛吃草”問題世界著名的大科學(xué)家牛頓歷來喜歡研究運(yùn)動(dòng)，他在運(yùn)動(dòng)和變化中考察問題他著的普通算術(shù)一書中曾提出一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題：12頭牛4周吃草的生長(zhǎng)速度不變問需要多少頭牛才能在18周吃完24公頃的牧草這類問題被人們稱之為牛頓的“牛吃草”問題下面我們共同討論一下這類題的特點(diǎn)及解法例1 牧場(chǎng)上有一片牧草，供24頭牛6周吃完，供18頭牛10周吃完假定草的生長(zhǎng)速度不變，那么供19頭牛需要幾周吃完？分析：這個(gè)問題的難點(diǎn)在于，草一邊被牛吃掉，一邊仍在生長(zhǎng)，也就是說牧草的總量隨時(shí)間的增加而增加但不管牧草怎么增長(zhǎng)，牧場(chǎng)原有草量與每天（或每周）新長(zhǎng)的草量是不變的，因此必須先設(shè)法找出這兩個(gè)量來我們可以先畫線段圖（如圖51）從上面圖對(duì)比可以看出，18頭牛吃10周的草量比24頭牛吃6周的草量多，多出的部分恰好相當(dāng)于4周新生長(zhǎng)的草量這樣就可以求出草的生長(zhǎng)速度，有了每周新長(zhǎng)的草量，就可以用24頭牛吃6周的草量減去6周新長(zhǎng)的草量，或用18頭牛吃10周的草量減去10周新長(zhǎng)的草量，得到牧場(chǎng)原有的草量有了原有的草量和新長(zhǎng)的草量，問題就能很順利求解了解：設(shè)1頭牛吃一周的草量的為一份（1）24頭牛吃6周的草量246=144（份）（2）18頭牛吃10周的草量1810=180（份）（3）（10-6）周新長(zhǎng)的草量180-144=36（份）（4）每周新長(zhǎng)的草量36（10-6）=9（份）（5）原有草量246-96=90（份）或1810-910=90（份）（6）全部牧草吃完所用時(shí)間不妨讓19頭牛中的9頭牛去吃新長(zhǎng)的草量，剩下的10頭牛吃原有草量，有90（19-9）=9（周）答：供19頭牛吃9周例2 20匹馬72天可吃完32公頃牧草，16匹馬54天可吃完24公頃的草假設(shè)每公頃牧草原有草量相等，且每公頃草每天的生長(zhǎng)速度相同那么多少匹馬36天可吃完40公頃的牧草？分析：同例1一樣，解這個(gè)題的關(guān)鍵在于求出每公頃每天新長(zhǎng)的草量及每公頃原有草量即可設(shè)1匹馬吃一天的草量為一份20匹馬72天吃32公頃的牧草，相當(dāng)于一公頃原有牧草加上72天新長(zhǎng)的草量，可供207232=45匹馬吃一天，即每公頃原有牧草加上72天新長(zhǎng)的草量為45份同樣，由16匹馬54天吃24公頃的草量，知每公頃原有牧草加上54天新長(zhǎng)的草量為165424=36份這兩者的差正好對(duì)應(yīng)了每公頃72-54=18天新長(zhǎng)的草量，于是求得每公頃每天新長(zhǎng)的草量，從而求出每公頃原有草量，這樣問題便能得到解決解：（1）每公頃每天新長(zhǎng)的草量（207232-165424）（72-54）=0.5（份）（2）每公頃原有草量207232-0.572=9（份）或165424-0.554=9（份）（3）40公頃原有草量940=360（份）（4）40公頃36天新長(zhǎng)的草量0.53640=720（份）（5）40公頃的牧草36天吃完所需馬匹數(shù)（360+720）36=30（匹）答：30匹馬36天可吃完40公頃的牧草例3 有三輛不同車速的汽車同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿同一公路追趕前面的一個(gè)騎車人這三輛車分別用3分鐘，5分鐘，8分鐘分別追上騎車人已知快速車每小時(shí)54千米，中車速每小時(shí)396千米，那么慢車的車速是多少（假設(shè)騎車人的速度不變）？分析 根據(jù)題意先畫出線段圖，如圖52從圖52可以看出，要求慢車的車速，只要求出慢車行8分鐘的路程.慢車8分鐘的路程等于路程ab加上路程beab表示三車出發(fā)時(shí)騎車人已騎出的一段距離，這段距離用快車行3分鐘的路程ac減去騎車人行3分鐘的路程bc得到，騎車人3分鐘行的路程是多少，關(guān)鍵求出騎車人的速度，由圖中可以看出，中速車行5分鐘的路程ad減去快車行3分鐘的路程ac恰好為路程cd，路程cd是騎車人5-3=2分鐘行的路程，于是求出了騎車人的速度be表示騎車人8分鐘行的路程，也就容易求出，這樣慢車的速度便可以迎刃而解了解：快車速度54千米小時(shí)=900米分鐘中速車速度396千米小時(shí)=660米分鐘（1）騎車人的速度（6605-9003）（5-3）=300（米分鐘）（2）三車出發(fā)時(shí)騎車人距三車出發(fā)地的距離9003-3003=1800（米）（3）慢車8分鐘行的路程1800+3008=4200（米）（4）慢車的車速一般說來，“教師”概念之形成經(jīng)歷了十分漫長(zhǎng)的歷史。楊士勛（唐初學(xué)者，四門博士）春秋谷梁傳疏曰：“師者教人以不及，故謂師為師資也”。這兒的“師資”，其實(shí)就是先秦而后歷代對(duì)教師的別稱之一。韓非子也有云：“今有不才之子師長(zhǎng)教之弗為變”其“師長(zhǎng)”當(dāng)然也指教師。這兒的“師資”和“師長(zhǎng)”可稱為“教