riemann猜想漫談(十六)

Riemann 猜想漫談 (十六)作者：盧昌海二十七.Levinson方法Selberg的臨界線定理表明Riemann函數(shù)臨界線上的零點(diǎn)在全體非平凡零點(diǎn)中所占比例大于零。那么這個(gè)比例究竟是多少呢？Selberg在論文中沒(méi)有給出具體的數(shù)值。據(jù)說(shuō)他曾經(jīng)計(jì)算過(guò)這一比例，得到的結(jié)果是5%-10%注一。另外，中國(guó)數(shù)學(xué)家閔嗣鶴(1913-1973)在牛津大學(xué)留學(xué)(1945-1947)時(shí)，曾在博士論文中計(jì)算過(guò)這一比例，得到了一個(gè)很小的數(shù)值。這些結(jié)果或是太小，或是沒(méi)有公開(kāi)發(fā)表，在數(shù)學(xué)界鮮有反響?？偟膩?lái)說(shuō)，Selberg的結(jié)果更多地是被視為是一種定性的結(jié)果即首次證明了位于臨界線上的零點(diǎn)占全體非平凡零點(diǎn)的比例大于零。有關(guān)這一比例的具體計(jì)算時(shí)隔二十多年才有了突破性的、并且引人注意的進(jìn)展。這一進(jìn)展是由美國(guó)數(shù)學(xué)家NormanLevinson(1912-1975)做出的。Levinson小時(shí)候家境非常貧寒，父親是鞋廠工人，母親目不識(shí)丁且沒(méi)有工作，但他在十七歲那年成功地考入了著名的高等學(xué)府麻省理工學(xué)院(MassachusettsInstituteofTechnology，簡(jiǎn)稱(chēng)MIT)。在MIT的前五年，Levinson在電子工程系就讀，但他選修了幾乎所有的數(shù)學(xué)系研究生課程，并得到了著名美國(guó)數(shù)學(xué)家NorbertWiener(1894-1964)的賞識(shí)。1934年，Levinson轉(zhuǎn)入了數(shù)學(xué)系。這時(shí)Levinson的水平已完全具備了獲取數(shù)學(xué)博士學(xué)位的資格，于是Wiener幫他申請(qǐng)了一筆獎(jiǎng)學(xué)金，讓他去Hardy所在的劍橋大學(xué)訪問(wèn)了一年。次年，Levinson返回MIT，立即拿到了博士學(xué)位。Levinson在學(xué)術(shù)生涯的早期先后經(jīng)歷了美國(guó)的經(jīng)濟(jì)大蕭條及麥卡錫主義(McCarthyism)的盛行，幾次面臨放棄學(xué)術(shù)研究的窘境，但最終還是幸運(yùn)地度過(guò)了難關(guān)。Levinson在Fourier變換、復(fù)分析、調(diào)和分析、隨機(jī)分析、微分及積分方程等領(lǐng)域都做出過(guò)杰出貢獻(xiàn)。他二十八歲時(shí)就在美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)出版了有關(guān)Fourier變換的專(zhuān)著，這通常是資深數(shù)學(xué)家才有機(jī)會(huì)獲得的殊榮；他在非線性微分方程領(lǐng)域的工作于1953年獲得了美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)(AmericanMathematicalSociety)每五年頒發(fā)一次的Bcher紀(jì)念獎(jiǎng)(BcherMemorialPrize)；他1955年完成的著作常微分方程理論一出版就被譽(yù)為了這一領(lǐng)域的經(jīng)典著作。但他最令世人驚嘆的則是在年過(guò)花甲，生命行將走到盡頭的時(shí)侯，忽然在Riemann猜想研究中獲得了重大突破，給出了臨界線上零點(diǎn)比例的一個(gè)相當(dāng)可觀的下界估計(jì)。Levinson對(duì)臨界線上零點(diǎn)比例的研究采取了與Hardy、Littlewood及Selberg都十分不同的方法。他的基本思路來(lái)源于Riemann函數(shù)(s)的零點(diǎn)分布與其導(dǎo)數(shù)(s)的零點(diǎn)分布之間的關(guān)聯(lián)。早在1934年，瑞士數(shù)學(xué)家AndreasSpeiser(1885-1970)就曾經(jīng)證明過(guò)，Riemann猜想等價(jià)于(s)在0Re(s)1/2上沒(méi)有零點(diǎn)。1974年Levinson與Montgomery合作證明了Speiser結(jié)果的一個(gè)定量版本，那就是(s)在開(kāi)區(qū)域-1Re(s)1/2,T1Im(s)T2內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)目與(s)在0Re(s)1/2,T1Im(s)T2內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)目之比漸近于1。有了這一結(jié)果，人們就可以通過(guò)研究(s)的零點(diǎn)分布，而得到有關(guān)(s)在臨界線上的零點(diǎn)數(shù)目的信息注二，這正是Levinson所做的。與上述結(jié)果的發(fā)表同年(即1974年)，Levinson通過(guò)這種方法，得到了對(duì)臨界線上零點(diǎn)比例下限的一個(gè)突破性的估計(jì)。Levinson的研究在剛開(kāi)始的時(shí)侯給出了一個(gè)非常樂(lè)觀的結(jié)果：98.6%！他把自己的一份手稿交給了同事、印度裔美國(guó)數(shù)學(xué)家Gian-CarloRota(1932-2019)，并且幽默地宣稱(chēng)自己可以把這個(gè)比例提高到100%，但他要把剩下的1.4%留給讀者去做。Rota信以為真，便開(kāi)始傳播“Levinson證明了Riemann猜想”的消息。這很快被證明是一個(gè)雙重錯(cuò)誤：首先，在Levinson所采用的方法中，即使真的把比例提高到100%，也不等于證明了Riemann猜想；其次，很快就有人在Levinson的證明中發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)誤。幸運(yùn)的是，該錯(cuò)誤并沒(méi)有徹底摧毀Levinson的努力，只不過(guò)那個(gè)奇跡般的98.6%掉落塵埃，變成了34%。Levinson最終把自己論文的標(biāo)題定為了：“RiemannZeta函數(shù)超過(guò)三分之一的零點(diǎn)位于=1/2”注三。如果我們用N0(T)表示臨界線上區(qū)間0Im(s)T內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)目，而N(T)表示臨界帶上區(qū)間0Im(s)T內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)目即滿足0Im(s)T的全部非平凡零點(diǎn)的數(shù)目，則Levinson的結(jié)果可以表述為注四：Levinson臨界線定理：存在常數(shù)T00，使得對(duì)所有TT0，N0(T)(1/3)N(T)。Levinson的這一結(jié)果是繼Selberg之后在這一領(lǐng)域中的又一個(gè)重大進(jìn)展，它不僅為臨界線上的零點(diǎn)比例給出了一個(gè)相當(dāng)可觀的下界，更重要的是，Levinson的這種把(s)與(s)的零點(diǎn)分布聯(lián)合起來(lái)進(jìn)行研究的方法被稱(chēng)為L(zhǎng)evinson方法為許多后續(xù)研究奠定了基礎(chǔ)。二十八.艱難推進(jìn)運(yùn)用Levinson方法進(jìn)行零點(diǎn)研究的第一項(xiàng)后續(xù)研究是由他本人做出的。1975年，即緊接著上述研究的那一年，Levinson把對(duì)臨界線上零點(diǎn)比例的下界估計(jì)提高到了0.3474。這雖然是一個(gè)很小的推進(jìn)，但這種計(jì)算每一個(gè)都異常繁復(fù)，而Levinson當(dāng)時(shí)的身體狀況已經(jīng)極差，他能夠完成這樣的計(jì)算堪稱(chēng)是一個(gè)奇跡。事實(shí)上，那已是他生命中的最后一個(gè)年頭，那一年的十月十日，Levinson因患腦瘤在他的學(xué)術(shù)故鄉(xiāng)波斯頓(BostonMIT的所在地)去世。在Levinson之后，數(shù)學(xué)家們艱難地推進(jìn)著Levinson的結(jié)果，但速度極其緩慢。1980年，中國(guó)數(shù)學(xué)家樓世拓與姚琦證明了N0(T)0.35N(T)；1983年，美國(guó)數(shù)學(xué)家BrianConrey證明了N0(T)0.3685N(T)。這些結(jié)果都是在小數(shù)點(diǎn)后的第二位數(shù)字上做手腳。1989年，Conrey終于撼動(dòng)了小數(shù)點(diǎn)后的第一位數(shù)字，他把比例系數(shù)提高到了0.4，即：Conrey臨界線定理：存在常數(shù)T00，使得對(duì)所有TT0，N0(T)(2/5)N(T)。這是迄今為止數(shù)學(xué)家們?cè)谶@一方向上所獲得的最強(qiáng)的結(jié)果。Conrey認(rèn)為自己的證明還有改進(jìn)的空間，但計(jì)算實(shí)在太過(guò)復(fù)雜，不值得花費(fèi)時(shí)間了。他的說(shuō)法是：如果可以把估計(jì)值提高到50%以上，那就值得去做，因?yàn)槟菢拥脑捜藗冎辽倏梢哉f(shuō)Riemann函數(shù)的大部分非平凡零點(diǎn)都在臨界線上?？上onrey認(rèn)為他的證明能夠改進(jìn)的幅度不會(huì)超過(guò)幾個(gè)百分點(diǎn)，不可能達(dá)到50%。不僅Conrey的證明如此，整個(gè)Levinson方法的改進(jìn)空間有可能都已不太大了，目前數(shù)學(xué)家們普遍認(rèn)為用Levinson方法不可能把對(duì)臨界線上零點(diǎn)比例的下界估計(jì)推進(jìn)到100%。雖然數(shù)學(xué)家們?cè)谕七M(jìn)臨界線上零點(diǎn)比例的下界估計(jì)上進(jìn)展緩慢，但在這一過(guò)程中他們也得到了許多相關(guān)的結(jié)果。這其中很重要的一類(lèi)結(jié)果是關(guān)于簡(jiǎn)單零點(diǎn)在全部非平凡零點(diǎn)中所占比例的估計(jì)。數(shù)學(xué)家們普遍猜測(cè)，Riemann函數(shù)所有的零點(diǎn)都是簡(jiǎn)單零點(diǎn)注五，這被稱(chēng)為簡(jiǎn)單零點(diǎn)假設(shè)(simplezeroconjecture)，它是一個(gè)迄今尚未得到證明的命題。不過(guò)，與Riemann猜想類(lèi)似，簡(jiǎn)單零點(diǎn)假設(shè)也得到了許多數(shù)值及解析結(jié)果的支持。1979年，英國(guó)數(shù)學(xué)家RogerHeath-Brown(1952-)對(duì)Levinson方法做了改進(jìn)(Selberg也做了同樣的工作，但沒(méi)有發(fā)表)，使之給出的比例變成有關(guān)簡(jiǎn)單零點(diǎn)的比例，從而把Levinson1975年的結(jié)果轉(zhuǎn)變成至少有34.74%的非平凡零點(diǎn)位于臨界線上，并且都是簡(jiǎn)單零點(diǎn)。類(lèi)似地，Conrey臨界線定理也被轉(zhuǎn)變成至少有2/5的非平凡零點(diǎn)位于臨界線上，并且都是簡(jiǎn)單零點(diǎn)。除此之外，由于簡(jiǎn)單零點(diǎn)假設(shè)通常與Riemann猜想聯(lián)系在一起(有些數(shù)學(xué)家甚至將之視為Riemann猜想的一部分)，因此也有一些數(shù)學(xué)家研究了在所有非平凡零點(diǎn)都位于臨界線上(即傳統(tǒng)的Riemann猜想成立)的前提下，非平凡零點(diǎn)中簡(jiǎn)單零點(diǎn)所占的比例。比如Montgomery在1973年曾經(jīng)證明了如果Riemann猜想成立，則至少有2/3的非平凡零點(diǎn)是簡(jiǎn)單零點(diǎn)。除了對(duì)Riemann函數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行研究外，數(shù)學(xué)家們對(duì)與之關(guān)系密切的函數(shù)(忘記這一函數(shù)的讀者請(qǐng)溫習(xí)一下第五節(jié))及其導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)分布也作過(guò)一些研究。比如上文提到的1983年Conrey的結(jié)果所針對(duì)的實(shí)際上是(s)及其各階導(dǎo)數(shù)，他得到的主要結(jié)果為：(s)的零點(diǎn)至少有36.85%在臨界線上。(s)的零點(diǎn)至少有81.37%在臨界線上。(s)的零點(diǎn)至少有95.84%在臨界線上。(s)的零點(diǎn)至少有98.73%在臨界線上。(s)的零點(diǎn)至少有99.48%在臨界線上。(s)的零點(diǎn)至少有99.70%在臨界線上。不僅如此，Conrey還給出了有關(guān)更高階導(dǎo)數(shù)的漸近結(jié)果注六。在上面所列舉的結(jié)果中，(s)的零點(diǎn)由于恰好與(s)的非平凡零點(diǎn)相重合(參閱第五節(jié))，因此有關(guān)(s)零點(diǎn)的結(jié)果等價(jià)于上文所提到的N0(T)0.3685N(T)。從Conrey的這一系列結(jié)果中不難看到，有關(guān)(s)各階導(dǎo)數(shù)的結(jié)果遠(yuǎn)比有關(guān)(s)本身的結(jié)果強(qiáng)得多。因此，如果有什么辦法能像Levinson在(s)與(s)之間建立的關(guān)聯(lián)那樣，把有關(guān)(s)各階導(dǎo)數(shù)的結(jié)果轉(zhuǎn)化為有關(guān)(s)本身的結(jié)果從而也就是有關(guān)(s)的結(jié)果，那將對(duì)臨界線上的零點(diǎn)估計(jì)再次產(chǎn)生突破性的影響。Levinson在臨終前曾認(rèn)為自己已經(jīng)有這樣的辦法，可惜他很快去世了，而迄今為止誰(shuí)也沒(méi)能找到這種辦法。不過(guò)，盡管迄今還沒(méi)有辦法把有關(guān)(s)各階導(dǎo)數(shù)的結(jié)果轉(zhuǎn)化為有關(guān)(s)本身的結(jié)果，Conrey對(duì)(s)各階導(dǎo)數(shù)的研究依然是很有意義的，因?yàn)榭梢宰C明：如果Riemann猜想成立，則(s)與它的各階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)都必定位于臨界線上。換句話說(shuō)，只要發(fā)現(xiàn)(s)及其任意階導(dǎo)數(shù)的任何一個(gè)零點(diǎn)不在臨界線上，就等于否證了Riemann猜想。因此，Conrey的結(jié)果可以被視為是對(duì)Riemann猜想很有力的間接支持。二十九.哪里沒(méi)有零點(diǎn)？讀者們也許注意到了，我們前面各節(jié)所介紹的有關(guān)零點(diǎn)分布的解析結(jié)果沿襲著一條共同的思路，那就是盡可能地“抓捕”位于臨界線上的零點(diǎn)。從Bohr-Landau定理確立臨界線是零點(diǎn)分布的匯聚中心，到Hardy定理確立臨界線上有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)，到Hardy-Littlewood定理確定該“無(wú)窮多”最起碼的增長(zhǎng)方式，到各種臨界線定理確定臨界線上零點(diǎn)比例的下界，到有關(guān)簡(jiǎn)單零點(diǎn)的類(lèi)似結(jié)果，再到(s)及各階導(dǎo)數(shù)在臨界線上零點(diǎn)比例的下界所有這些努力，都是在試圖“抓捕”臨界線上的非平凡零點(diǎn)，或與之有關(guān)的性質(zhì)。死記硬背是一種傳統(tǒng)的教學(xué)方式,在我國(guó)有悠久的歷史。但隨著素質(zhì)教育的開(kāi)展,死記硬背被作為一種僵化的、阻礙學(xué)生能力發(fā)展的教學(xué)方式,漸漸為人們所摒棄;而另一方面,老師們又為提高學(xué)生的語(yǔ)文素養(yǎng)煞費(fèi)苦心。其實(shí),只要應(yīng)用得當(dāng),“死記硬背”與提高學(xué)生素質(zhì)并不矛盾。相反,它恰是提高學(xué)生語(yǔ)文水平的重要前提和基礎(chǔ)。這樣的思路當(dāng)然是非常合理的，因?yàn)镽iemann猜想所“猜想”的正是所有的非平凡零點(diǎn)都位于臨界線上。如果我們能在臨界線上把所有的零點(diǎn)一一“抓捕歸案”，自然也就證明了Riemann猜想。但是，正如我們?cè)谶@個(gè)漫長(zhǎng)系列中所看到的，“抓捕”零點(diǎn)是一件極其困難的事情，這么多年來(lái)，經(jīng)過(guò)這么多數(shù)學(xué)家的持續(xù)努力，我們?cè)谂R界線上“抓捕”到的零點(diǎn)數(shù)目還不到總數(shù)的一半。在這種情況下，我們不妨換一個(gè)角度來(lái)思考問(wèn)題：既然我們還無(wú)法證明所有的零點(diǎn)都位于臨界線上，那何不先試著排除掉某些區(qū)域呢？排除掉的區(qū)域越多，零點(diǎn)可以遁形的地方也就越少，這就好比是偵探在尋找罪犯時(shí)把無(wú)關(guān)的人員排除得越干凈，就越有利于鎖定罪犯。如果我們可以把臨界線以外的所有區(qū)域即Re(s)1/2與Re(s)1/2全部排除掉，也同樣就證明了Riemann猜想?！皫煛敝拍?，大體是從先秦時(shí)期的“師長(zhǎng)、師傅、先生”而來(lái)。其中“師傅”更早則意指春秋時(shí)國(guó)君的老師。說(shuō)文解字中有注曰：“師教人以道者之稱(chēng)也”?！皫煛敝x，現(xiàn)在泛指從事教育工作或是傳授知識(shí)技術(shù)也或是某方面有特長(zhǎng)值得學(xué)習(xí)者?！袄蠋煛钡脑獠⒎怯伞袄稀倍稳荨皫煛??！袄稀痹谂f語(yǔ)義中也是一種尊稱(chēng)，隱喻年長(zhǎng)且學(xué)識(shí)淵博者。“老”“師”連用最初見(jiàn)于史記，有“荀卿最為老師”之說(shuō)法。慢慢“老師”之說(shuō)也不再有年齡的限制，老少皆可適用。只是司馬遷筆下的“老師”當(dāng)然不是今日意義上的“教師”，其只是“老”和“師”的復(fù)合構(gòu)詞，所表達(dá)的含義多指對(duì)知識(shí)淵博者的一種尊稱(chēng)，雖能從其身上學(xué)以“道”，但其不一定是知識(shí)的傳播者。今天看來(lái)，“教師”的必要條件不光是擁有知識(shí)，更重于傳播知識(shí)?！敖虝?shū)先生”恐怕是市井百姓最為熟悉的一種稱(chēng)呼，從最初的門(mén)館、私塾到晚清的學(xué)堂，“教書(shū)先生”那一行當(dāng)怎么說(shuō)也算是讓國(guó)人景仰甚或敬畏的一種社會(huì)職業(yè)。只是更早的“先生”概念并非源于教書(shū)，最初出現(xiàn)的“先生”一詞也并非有傳授知識(shí)那般的含義。孟子中的“先生何為出此言也？”；論語(yǔ)中的“有酒食，先生饌”；國(guó)策中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”為父兄或有學(xué)問(wèn)、有德行的長(zhǎng)輩。其實(shí)國(guó)策中本身就有“先生長(zhǎng)者，有德之稱(chēng)”的說(shuō)法?？梢?jiàn)“先生”之原意非