erlangen綱領(lǐng)幾何學(xué)

Erlangen綱領(lǐng)幾何學(xué)非歐幾何 的發(fā)現(xiàn)是19世紀最大的數(shù)學(xué)進展之一. 主要的先驅(qū)人物是俄國的羅巴切夫斯基, 匈牙利的鮑耶, 和德國的高斯. 非歐幾何的故事已經(jīng)流傳很廣了, 它與歐氏幾何的不同就在于所謂歐氏平行公理: 過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行. 如果把這條公理改成 過直線外一點有兩條以上的直線與已知直線平行, 而保持其它公理不變, 就得到一種新的幾何, 稱為非歐幾何. 關(guān)于非歐幾何的文章發(fā)表于 1830 年左右. 有跡象表明高斯在早些年就得到了一些結(jié)果. 然而非歐幾何這個名稱在 1854 年黎曼的就職演講發(fā)表以后含義就不夠精確了(因為黎曼提供了無窮多種“非歐”的幾何形態(tài)), 現(xiàn)在大部分數(shù)學(xué)家把上述這種公理化幾何稱為雙曲幾何.19世紀還出現(xiàn)了一種幾何叫射影幾何. 研究這種幾何的動機是非常貼近生活的 - 它主要研究 中心投影 現(xiàn)象。通俗一點說, 如果有一盞燈, 它照射在紙面上, 那么紙面上的圖形在地面上的投影是怎么樣的? 最明顯的就是, 紙面上的圓周在燈光下的影子一般不再是圓周, 可能是個橢圓周; 然后注意到, 如果紙面不平行于地面, 紙面上兩條平行的直線在燈光下的投影可能不再平行; 更奇異的現(xiàn)象是, 如果紙面足夠大，它上面的一個圓周也足夠大, 使得圓周上有些點比電燈所處位置更高, 那么這個圓周在地面上的投影就會是雙曲線. (記得高中的解析幾何課本封面上繪有一個圓錐面, 用不同的平面去截就得到不同的圓錐曲線. 如果把錐的頂點視為一盞燈, 就容易看到所有這些圓錐曲線都可以互為中心投影.)還有一種幾何是研究平行投影下圖形怎么變化的, 叫做 仿射幾何. 如果把上面的燈換成太陽, 由于距離太遠, 在小范圍內(nèi)是非常精確的平行投影 - 紙面上兩條平行直線總是投射為地面上的平行直線. 圓周會投射為橢圓周, 但決不會是雙曲線。在 1872 年, 所有這些幾何把數(shù)學(xué)家搞懵了 - 到底什么是幾何? 這時候 23 歲的德國人克萊因在愛爾朗根大學(xué)為其教授就職演講準備了一篇講稿 - 這篇稿子后來被稱為愛爾朗根綱領(lǐng) -雖然他后來的演講并沒有講這個講稿上的內(nèi)容. 這篇講稿提出, 每一種幾何對應(yīng)一個變換群, 這種幾何研究的對象是各種形體在相應(yīng)變換群下不變的性質(zhì).群 是描述對稱性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu). 變換群被伽羅瓦發(fā)明出來研究代數(shù)方程的可解性. 而克萊因的合作者挪威人李(Lie)到 1872 年已經(jīng)研究了某些連續(xù)的變換群, 現(xiàn)在稱為 Lie 群. 以上所說的這幾種幾何都對應(yīng)到不同的 Lie 群.現(xiàn)在我們從克萊因的愛爾朗根綱領(lǐng)來看待以上提到的這些幾何:歐氏幾何是 最小 的幾何, 研究的就是長度啊, 全等啊這些性質(zhì). 對應(yīng)的群就是所謂 歐氏變換群, 它里面的元素包括平移, 旋轉(zhuǎn), 反射以及它們的累次作用. 這些變換保持長度不變; 我們說兩個圖形是 全等 的當且僅當有一個歐氏變換把一個圖形變?yōu)榱硪粋€.我們初中高中的時候還研究相似三角形. 這種包含“相似性”的幾何對應(yīng)到什么變換群?我們可以把 歐氏變換群 擴大, 即, 加入 伸縮 這個變換, 這樣就得到更大的 相似變換群. 我們能用相似變換把不同長度的對象 等同 起來, 比如不同半徑的圓周, 在相似幾何中就被視為同樣的圖形. 三角形的 相似 就是相似幾何中的 全等. 這個相似變換群包含歐氏變換群, 所以在這個群下不變的性質(zhì)自然在歐氏變換群下不變, 也就是說, 相似幾何 的概念都是歐氏幾何的概念. 反過來就不對, 舉個例子, 長度是歐氏幾何的概念, 但不是相似幾何的概念. 這句話說得直白一點就是，幾何體的長度在歐氏變換群下不變，但在相似變換群下有可能改變。仿射幾何是更大的幾何. 對應(yīng)的群叫 仿射變換群, 包括平移, 線性變換以及它們的累次作用. 線性變換的意思基本上就是那些把直線還變到直線的變換。由于旋轉(zhuǎn), 反射, 伸縮都是特殊的線性變換, 所以仿射變換群包含相似變換群. 在仿射幾何里, 圓和橢圓是同一種圖形; 所有的平行四邊形都 全等; . 在這個幾何里, 長度, 角度都失去意義, 能談?wù)摰闹荒苁瞧叫行再|(zhì), 或者共線三點的分比(單比), 等等這些很 粗略 的性質(zhì).射影幾何是以上提到的幾何中 最大 的幾何. 從仿射幾何到射影幾何的擴張, 比之前的幾次擴張要復(fù)雜得多. 特別地, 我們需要給平面添上 無窮遠直線 來使得射影變換是一對一變換. 這其實很容易理解，如果紙面不平行于地面，那么從光源水平射出的光線就只與紙面相交而不與地面相交，這樣它與紙面的交點在射影變換下就沒有像。如果我們假設(shè)地面的無窮遠處存在所謂“無窮遠點”，那么就可以把這些無窮遠點作為水平光線與地面的交點。平面的所有無窮遠點構(gòu)成無窮遠直線。在射影幾何中, 所有圓錐曲線 - 橢圓, 雙曲線, 拋物線, 都是 全等 的圖形. 所以射影幾何研究的性質(zhì)是最 粗略 的性質(zhì), 比如曲線的 次數(shù): 直線是由一次方程定義的曲線, 圓錐曲線是由二次方程定義的曲線; 再比如共線四點的交比. 射影幾何是非常有趣的幾何, 有很多 巧合, 部分原因就是這個幾何的變換群非常大, 對稱性高. 同志們?nèi)绻麑嵲陂e得無聊, 可以找本書看看, 書名一般叫做 Projective geometry.對于熟悉計算機的同志, 可以看出在每種幾何里我們都 重載 了 全等 這個概念 -這正是關(guān)鍵所在 - 凡是能用一個變換互相轉(zhuǎn)換的對象, 我們都看成同樣的對象. 自愛爾朗根綱領(lǐng)提出以來, 對稱性(群論)日益收到重視, 到了今天, 已經(jīng)成為根深蒂固的觀念. 物理學(xué)中, 自相對論、量子力學(xué)以來, 對稱性也被作為基本原理, 到了 1970 年代, 物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)自然界四種基本相互作用的根源都是對稱性. 由此可見伽羅瓦, 李, 克萊因這些前輩的深刻洞察力.其實,任何一門學(xué)科都離不開死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記”之后會“活用”。不記住那些基礎(chǔ)知識,怎么會向高層次進軍?尤其是語文學(xué)科涉獵的范圍很廣,要真正提高學(xué)生的寫作水平,單靠分析文章的寫作技巧是遠遠不夠的,必須從基礎(chǔ)知識抓起,每天擠一點時間讓學(xué)生“死記”名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語、新穎的材料等。這樣,就會在有限的時間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無限的內(nèi)容。日積月累,積少成多,從而收到水滴石穿,繩鋸木斷的功效。觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動，由近及遠的原則，有目的、有計劃的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機觀察也是不可少的，是相當有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進行觀察，保證每個幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f得正確。在觀察過程中指導(dǎo)。我注意幫助幼兒學(xué)習(xí)正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點觀察，觀察與說話相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時機，引導(dǎo)幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說：烏云像大海的波浪。有的孩子說“烏云跑得飛快?！蔽壹右钥隙ㄕf“這是烏云滾滾?！碑斢變嚎吹介W電時，我告訴他“這叫電光閃閃?！苯又變郝牭嚼茁曮@叫起來，我抓住時機說：“這就是雷聲隆隆?！币粫合缕鹆舜笥辏覇枺骸坝晗碌迷鯓?”幼兒說大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨”這個詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗誦自編的一首兒歌：“藍天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒搖，太陽公公咪咪笑。”這樣抓住特征見景生情，幼兒不僅印象深刻，對雷雨前后氣象變化的詞語學(xué)得快，記得牢，而且會應(yīng)用。我還在觀察的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學(xué)的詞語、生活經(jīng)驗聯(lián)系起來，在發(fā)展想象力中發(fā)展語言。如啄木鳥的嘴是長長的，尖尖的，硬硬的，像醫(yī)生用的手術(shù)刀樣，給大樹開刀治病。通過聯(lián)想，幼兒能夠生動形象地描述觀察對象。最近俄羅斯數(shù)學(xué)家佩雷爾曼解決了百萬美元問題 龐加萊猜想 及更廣泛的 瑟斯頓幾何化猜想. 后面這個猜想就是天才的瑟斯頓繼承愛爾朗根綱領(lǐng)的精神給出的解決三維流形分類問題的藍圖. 具體內(nèi)容如何, 且待下回分解.課本、報刊雜志中的成語、名言警句等俯首皆是,但學(xué)生寫作文運用到文章中的甚少,即使運用也很難做到恰如其分。為什么?還是沒有徹底“記死”的緣故。要解決這個問題,方法很簡單,每天花3-5分鐘左右的時間記