3.4.2圓周角定理的推論23

第2課時(shí)圓周角定理的推論2，3關(guān)鍵問答圓周角定理的推論有哪些？圓的內(nèi)接四邊形有什么性質(zhì)？1從下列三角尺與圓弧的位置關(guān)系中，可判斷圓弧為半圓的是()A B C D 圖34152.如圖3416，AB是O的直徑，C，D是圓周上的兩點(diǎn)已知AC7，BC24，AD15，則BD_圖34163.如圖3417，四邊形ABCD內(nèi)接于O，若BAD110，則C的度數(shù)是_圖3417命題點(diǎn) 1利用圓周角的推論2進(jìn)行計(jì)算與證明熱度：99%4.如圖3418，ABCD的頂點(diǎn)A，B，D在O上，頂點(diǎn)C在O的直徑BE上，連接AE，E36，則ADC的度數(shù)是()圖3418A44 B54 C72 D53方法點(diǎn)撥求與圓有關(guān)的角的度數(shù)時(shí)，一般情況下，都是利用圓周角定理及其推論1.特別地，當(dāng)題中有直徑出現(xiàn)時(shí)，往往要用到“直徑所對(duì)的圓周角是直角”這一性質(zhì).5.如圖3419，AB是O的直徑，CD是弦，且ABCD，若AB8，ABC30，則弦AD的長(zhǎng)為()圖3419A. B4 C2 D8方法點(diǎn)撥見直徑，構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角.62019咸寧如圖3420，已知O的半徑為5，弦AB，CD所對(duì)的圓心角分別是AOB，COD，若AOB與COD互補(bǔ)，弦CD6，則弦AB的長(zhǎng)為()圖3420A6 B8 C5 D5 7.如圖3421，半徑為3的A經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)C(0，2)，B是y軸左側(cè)A優(yōu)弧上一點(diǎn)，則tanOBC的值為()圖3421A. B2C. D.方法點(diǎn)撥求一個(gè)不在直角三角形中的銳角的三角函數(shù)值，一般思路為：構(gòu)造含有這個(gè)角(或與這個(gè)角相等的角)的直角三角形，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解.8如圖3422，在ABC中，ABAC，以AB為直徑的O交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接AE，ED，則下列結(jié)論中不一定正確的是()圖3422AAEBC BBEECCEDEC DBACEDC知識(shí)鏈接等腰三角形三線合一9已知：如圖3423，ABC的頂點(diǎn)都在O上，AB為直徑，CBA的平分線交AC于點(diǎn)F，交O于點(diǎn)D，DEAB于點(diǎn)E，且交AC于點(diǎn)P，連接AD.(1)求證：DACDBA；(2)求證：P是線段AF的中點(diǎn)；(3)若O的半徑為5，AF，求tanABF的值圖3423命題點(diǎn) 2圓內(nèi)接四邊形的相關(guān)計(jì)算與證明熱度：92%10如圖3424所示，四邊形ABCD內(nèi)接于O，F(xiàn)是弧CD上一點(diǎn)，且，連接CF并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AC，若ABC105，BAC25，則E的度數(shù)為()圖3424A45 B50 C55 D6011.如圖3425，已知四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為4的O中，且C2A，則BD_圖3425方法點(diǎn)撥計(jì)算弦長(zhǎng)，通常需要構(gòu)造直角三角形，再借助勾股定理或三角函數(shù)求解.12已知：如圖3426，四邊形ABCD內(nèi)接于O，延長(zhǎng)AD，BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)是BD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且DE平分CDF.(1)求證：ABAC；(2)若AC3 cm，AD2 cm，求DE的長(zhǎng)圖342613.如圖3427所示，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，AB的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，且DE.(1)求證：DCBE；(2)求證：CBCE；(3)設(shè)AD不是圓O的直徑，AD的中點(diǎn)為M，且MBMC，求證：ADE為等邊三角形圖3427方法點(diǎn)撥欲證明一個(gè)三角形是等邊三角形，可以證明這個(gè)三角形的三條邊相等或三個(gè)角相等或證明這個(gè)三角形是有一個(gè)角是60的等腰三角形.14.如圖3428，已知O的半徑為2，弦AB的長(zhǎng)為2，點(diǎn)C與點(diǎn)D分別是劣弧AB與優(yōu)弧AmB上的任一點(diǎn)(點(diǎn)C，D均不與點(diǎn)A，B重合)(1)求ACB的度數(shù)；(2)求ABD的最大面積圖3428解題突破(1)題中出現(xiàn)半徑長(zhǎng)和弦長(zhǎng)，要聯(lián)想到垂徑定理，再想辦法利用邊的關(guān)系求角的度數(shù)；(2)要求ABD的最大面積，AB是定值，只需使AB邊上的高最大即可.15.如圖3429，在RtABC中，ABBC，AB6，BC4.P是ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足PABPBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值為()圖3429A. B2C. D.解題突破根據(jù)三角形內(nèi)角和與已知條件求出APB90，由圓周角定理的推論判斷出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以AB為直徑的圓在ABC內(nèi)的弧，則可把問題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離最值問題方法點(diǎn)撥在動(dòng)態(tài)問題中求兩點(diǎn)之間距離的最值問題，一般應(yīng)先確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，再運(yùn)用相關(guān)知識(shí)求解.16.如圖3430，A，P，B，C是O上四點(diǎn)，APCCPB60.(1)判斷ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)點(diǎn)P位于什么位置時(shí)，四邊形PBOA是菱形？并說明理由；(3)求證：PAPBPC.圖3430方法點(diǎn)撥探索結(jié)論成立的條件，可采用逆向思維，由果索因.詳解詳析1B解析 只有B選項(xiàng)符合圓周角為90時(shí)，所對(duì)的弦為直徑，由此可知該弧為半圓故選B.220解析 AB是O的直徑，ACBADB90.AC7，BC24，AB25.AD15，BD20.370解析 四邊形ABCD內(nèi)接于O，BADC180.BAD110，C70.4B解析 BE為O的直徑，BAE90，ABC90AEB54.四邊形ABCD是平行四邊形，ADCABC54.故選B.5. B解析 連接BD，ABCD，BADADC.ADCABC，ABC30，ADC30，BAD30.AB是O的直徑，ADB90，ADABcos3084 .故選B.6B解析 如圖，延長(zhǎng)AO交O于點(diǎn)E，連接BE，則AOBBOE180.AOBCOD180，BOECOD，BECD6.AE為O的直徑，ABE90，AB8.故選B.7C解析 連接CD.DOC90，CD是A的直徑在RtOCD中，CD6，OC2，則OD4，tanCDO.由圓周角定理，得OBCCDO，tanOBCtanCDO.故選C.8D解析 AB為O的直徑，AEBC.ABAC，BEEC，BAECAE，BC，BEED，EDEC，EDCC，EDCB.故選D.9解：(1)證明：BD平分CBA，CBDDBA.DAC與CBD都是所對(duì)的圓周角，DACCBD，DACDBA.(2)證明：AB為O的直徑，ADB90.又DEAB于點(diǎn)E，DEB90，ADEEDBDBAEDB90，ADEDBACBDDAP，PDPA.DFADACADEPDF90，且ADEDAC，PDFDFA，PDPF，PAPF，即P是線段AF的中點(diǎn)(3)DAFDBA，ADBFDA90，F(xiàn)DAADB，.在RtABD中，tanABD，即tanABF.10B解析 因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于O，所以ADC180ABC18010575.因?yàn)?，所以DCEBAC25.因?yàn)锳DCDCEE，所以EADCDCE752550.故選B.114 解析 連接OD，OB，過點(diǎn)O作OFBD，垂足為F.OFBD，DFBF，DOFBOF.四邊形ABCD內(nèi)接于O，AC180.C2A，A60，BOD120，BOF60.OB4，BFOBsinBOF4sin602 ，BD2BF4 .12解：(1)證明：如圖，ABCADC180，2ADC180，ABC2.又213，43，ABC4，ABAC.(2)34ABE，DABBAE，ABDAEB，.ABAC3 cm，AD2 cm，AE cm，DE2(cm)13證明：(1)四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，ABCD180.又ABCCBE180，DCBE.(2)DCBE，DE，CBEE，CBCE.(3)設(shè)BC的中點(diǎn)為N，連接MN.MBMC，MNBC，圓心O在直線MN上又AD不是圓O的直徑，M為AD的中點(diǎn)，OMAD，即MNAD，BCAD，ACBE.又CBED，DE，ADE，ADE為等邊三角形14解：(1)連接OA，OB，過點(diǎn)O作OEAB，E為垂足，則AEBE.在RtAOE中，OA2，AE，sinAOE，AOE60，AOB2AOE120.又ADBAOB，ADB60.四邊形ACBD為圓內(nèi)接四邊形，ACBADB180，ACB180ADB120.(2)過點(diǎn)D作DFAB，垂足為F，則SABD2DF.顯然，當(dāng)DF經(jīng)過圓心O時(shí)，DF取得最大值，從而SABD取得最大值，此時(shí)DFDOOFDOOE22sin303，SABD233，即ABD的最大面積是3.15B解析 如圖，ABBC，ABPPBC90.PABPBC，ABPPAB90，APB90，點(diǎn)P在以AB為直徑的E上，當(dāng)點(diǎn)C，P，E在一條直線上時(shí)，CP長(zhǎng)取最小值，此時(shí)由勾股定理，得CE5，CPCEPE532.故選B.16解：(1)ABC是等邊三角形證明如下：在O中，BAC與CPB是所對(duì)的圓周角，ABC與APC是所對(duì)的圓周角，BACCPB，ABCAPC.又APCCPB60，ABCBAC60，ABC為等邊三角形(2)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，四邊形PBOA是菱形理由：如圖，連接OP.AOB2ACB120，P是的中點(diǎn)，AOPBOP60.又OAOPOB，OAP和OBP均為等邊三角形，OAAPOBPB，四邊形PBOA是菱形(3)如圖，在PC上截