張恭慶泛函分析上冊(cè)答案.pdf

張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題數(shù)數(shù)數(shù)數(shù) 計(jì)計(jì)計(jì)計(jì) 院院院院張張張張 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 1 - 課后習(xí)題解答與輔導(dǎo)課后習(xí)題解答與輔導(dǎo) 張張張張秀秀秀秀洲洲洲洲 二二二二 0 0 0 0 0 0 0 0 九九九九 年年年年 三三三三 月月月月 一一一一 十十十十 日日日日 張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題數(shù)數(shù)數(shù)數(shù) 計(jì)計(jì)計(jì)計(jì) 院院院院張張張張 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 2 - 張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題數(shù)數(shù)數(shù)數(shù) 計(jì)計(jì)計(jì)計(jì) 院院院院張張張張 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 3 - 1.1.51.1.51.1.51.1.5 張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題數(shù)數(shù)數(shù)數(shù) 計(jì)計(jì)計(jì)計(jì) 院院院院張張張張 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 4 - 1.1.61.1.61.1.61.1.6 1.1.71.1.71.1.71.1.7 張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題數(shù)數(shù)數(shù)數(shù) 計(jì)計(jì)計(jì)計(jì) 院院院院張張張張 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 5 - 張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題數(shù)數(shù)數(shù)數(shù) 計(jì)計(jì)計(jì)計(jì) 院院院院張張張張 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 6 - 1.2.21.2.21.2.21.2.2 張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題數(shù)數(shù)數(shù)數(shù) 計(jì)計(jì)計(jì)計(jì) 院院院院張張張張 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 7 - 1.2.31.2.31.2.31.2.3 張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題數(shù)數(shù)數(shù)數(shù) 計(jì)計(jì)計(jì)計(jì) 院院院院張張張張 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 8 - 1.2.41.2.41.2.41.2.4 張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題數(shù)數(shù)數(shù)數(shù) 計(jì)計(jì)計(jì)計(jì) 院院院院張張張張 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 9 - 張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題數(shù)數(shù)數(shù)數(shù) 計(jì)計(jì)計(jì)計(jì) 院院院院張張張張 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 10 - 1.3.31.3.31.3.31.3.3 1.3.41.3.41.3.41.3.4 1.3.51.3.51.3.51.3.5 張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題數(shù)數(shù)數(shù)數(shù) 計(jì)計(jì)計(jì)計(jì) 院院院院張張張張 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 11 - 1.3.71.3.71.3.71.3.7 1.3.81.3.81.3.81.3.8 張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題數(shù)數(shù)數(shù)數(shù) 計(jì)計(jì)計(jì)計(jì) 院院院院張張張張 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 12 - 1.3.91.3.91.3.91.3.9 1.4.11.4.11.4.11.4.1 張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題數(shù)數(shù)數(shù)數(shù) 計(jì)計(jì)計(jì)計(jì) 院院院院張張張張 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 13 - 張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題數(shù)數(shù)數(shù)數(shù) 計(jì)計(jì)計(jì)計(jì) 院院院院張張張張 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 14 - 張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題數(shù)數(shù)數(shù)數(shù) 計(jì)計(jì)計(jì)計(jì) 院院院院張張張張 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 15 - 1.4.5-61.4.5-61.4.5-61.4.5-6 張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題數(shù)數(shù)數(shù)數(shù) 計(jì)計(jì)計(jì)計(jì) 院院院院張張張張 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 16 - 1.4.91.4.91.4.91.4.9 1.4.111.4.111.4.111.4.11 1.4.121.4.121.4.121.4.12 張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題數(shù)數(shù)數(shù)數(shù) 計(jì)計(jì)計(jì)計(jì) 院院院院張張張張 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 17 - 1.4.131.4.131.4.131.4.13 1.4.14 張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題數(shù)數(shù)數(shù)數(shù) 計(jì)計(jì)計(jì)計(jì) 院院院院張張張張 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 18 - 1.4.151.4.151.4.151.4.15 1.4.171.4.171.4.171.4.17 張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題數(shù)數(shù)數(shù)數(shù) 計(jì)計(jì)計(jì)計(jì) 院院院院張張張張 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 19 - 張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題數(shù)數(shù)數(shù)數(shù) 計(jì)計(jì)計(jì)計(jì) 院院院院張張張張 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 20 - 1.5.11.5.11.5.11.5.1證明：證明：(1)(1)(1)(1) ( ( ( (? ? ? ? ) ) ) ) 若若x x x x int(int(int(int(E E E E) ) ) )，存在，存在 0 0 0 0，使得，使得B B B B ( ( ( (x x x x) ) ) ) E E E E 注意到注意到x x x x+ + + +x x x x/ / / /n n n n? ? ? ?x x x x( ( ( (n n n n? ? ? ? ) ) ) )，故存在，故存在N N N N + + + +，使得，使得x x x x+ + + +x x x x/ / / /N N N N B B B B ( ( ( (x x x x) ) ) ) E E E E 即即x x x x/( /( /( /(N N N N/( /( /( /( 1 1 1 1+ + + +N N N N) ) ) ) ) ) ) ) E E E E因此因此P P P P( ( ( (x x x x) ) ) ) N N N N/( /( /( /( 1 1 1 1 + + + +N N N N) ) ) ) 1 1 1 1， 使得使得y y y y= = = =a a a a x x x x E E E E 因因 int(int(int(int(E E E E) ) ) )，故存在故存在 0 0 0 0，使得使得B B B B ( ( ( ( ) ) ) ) E E E E令令 = = = = ( ( ( (a a a a 1)/1)/1)/1)/a a a a， z z z z B B B B ( ( ( (x x x x) ) ) )，令，令w w w w= = = =( ( ( (a a a a z z z z y y y y)/()/()/()/(a a a a 1)1)1)1)， 則則| | | |w w w w| | | | = = = = | | | | ( ( ( (a a a a z z z z y y y y)/()/()/()/(a a a a 1)1)1)1) | | | | = = = = | | | |a a a a z z z z y y y y|/(|/(|/(|/(a a a a 1)1)1)1) = = = = | | | |a a a a z z z z a a a a x x x x|/(|/(|/(|/(a a a a 1)1)1)1) = = = =a a a a| | | |z z z z x x x x|/(|/(|/(|/(a a a a 1)1)1)1) 0 0 0 0，存在，存在y y y y E E E E，使得，使得| | | |x x x x y y y y| | | | 0 0 0 0，故，故AxAxAxAx的各分量也非負(fù)但不全為零的各分量也非負(fù)但不全為零 x x x x C C C C，設(shè)，設(shè)f f f f( ( ( (x x x x) ) ) ) = = = = ( ( ( (AxAxAxAx)/()/()/()/( 1 1 1 1 i i i i n n n n( ( ( (AxAxAxAx) ) ) )i i i i) ) ) )，則，則f f f f( ( ( (x x x x) ) ) ) C C C C 容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證f f f f: : : :C C C C? ? ? ?C C C C還是連續(xù)的還是連續(xù)的 由由 BrouwerBrouwerBrouwerBrouwer 不動(dòng)點(diǎn)定理，存在不動(dòng)點(diǎn)定理，存在f f f f的不動(dòng)點(diǎn)的不動(dòng)點(diǎn)x x x x0 0 0 0 C C C C 即即f f f f( ( ( (x x x x0 0 0 0) ) ) ) = = = =x x x x0 0 0 0，也就是，也就是( ( ( (AxAxAxAx0 0 0 0)/()/()/()/( 1 1 1 1 i i i i n n n n( ( ( (AxAxAxAx0 0 0 0) ) ) )i i i i) ) ) ) = = = =x x x x0 0 0 0 令令 = = = = 1 1 1 1 i i i i n n n n( ( ( (AxAxAxAx0 0 0 0) ) ) )i i i i，則有，則有AxAxAxAx0 0 0 0= = = = x x x x0 0 0 0 1.5.61.5.61.5.61.5.6證明：設(shè)證明：設(shè)B B B B= = = = u u u u C C C C0,0,0,0,1111| | |? ? ? ?0,0,0, 0, 1111u u u u( ( ( (x x x x) ) ) )dx dxdxdx= = = = 1 1 1 1，u u u u( ( ( (x x x x) ) ) ) 0 0 0 0 ， 則則B B B B是是C C C C0,0,0,0,1111中閉凸集中閉凸集 設(shè)設(shè) maxmaxmaxmax( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) ) 0,0,0,0, 1111 0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) ) = = = =MMMM，minminminmin( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) ) 0,0,0,0, 1111 0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) ) = = = =m m m m， ? ? ? ?0,0,0,0, 1111( ( ( (? ? ? ?0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )dydydydy) ) ) )dxdxdxdx= = = =N N N N，maxmaxmaxmaxx x x x 0,0,0,0, 1111| | |? ? ? ?0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )dydydydy|= |= |= |=P P P P 令令( ( ( (S S S S u u u u)( )( )( )(x x x x) ) ) ) = = = =( ( ( (? ? ? ?0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dydydydy)/()/()/()/(? ? ? ?0,0,0,0, 1111( ( ( (? ? ? ?0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dydydydy) ) ) )dxdxdxdx) ) ) ) 則則? ? ? ?0,0,0,0, 1111( ( ( (S S S S u u u u)( )( )( )(x x x x) ) ) )dxdxdxdx= = = = 1 1 1 1，u u u u( ( ( (x x x x) ) ) ) 0 0 0 0； 即即S S S S u u u u B B B B因此因此S S S S是從是從B B B B到到B B B B內(nèi)的映射內(nèi)的映射 u u u u, , , ,v v v v B B B B， | | | | ? ? ? ?0,0,0, 0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dy dydydy ? ? ? ?0, 0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )v v v v( ( ( (y y y y) ) ) )dy dydydy| | | | = = = = | | | | ? ? ? ?0,0,0, 0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) ) ( ( ( (u u u u( ( ( (y y y y) ) ) ) v v v v( ( ( (y y y y) ) ) )dy dydydy| | | | = = = = maxmaxmaxmaxx x x x 0,0,0, 0, 1111| | |? ? ? ?0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) ) ( ( ( (u u u u( ( ( (y y y y) ) ) ) v v v v( ( ( (y y y y) ) ) )dy dydydy| | | MMMM | | | |u u u u v v v v| | | |； 因此映射因此映射u u u u? ? ? ? ? ? ? ?0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dydydydy在在B B B B上連續(xù)上連續(xù) 類似地，映射類似地，映射u u u u? ? ? ? ? ? ? ?0,0,0,0, 1111( ( ( (? ? ? ?0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dydydydy) ) ) )dxdxdxdx也在也在B B B B上連續(xù)上連續(xù) 所以，所以，S S S S在在B B B B上連續(xù)上連續(xù) 下面證明下面證明S S S S( ( ( (B B B B) ) ) )列緊列緊 首先，證明首先，證明S S S S( ( ( (B B B B) ) ) )是一致有界集是一致有界集 u u u u B B B B， | | | |S S S S u u u u| | | |= = = =| | | |( ( ( (? ? ? ?0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dydydydy)/()/()/()/(? ? ? ?0,0,0,0, 1111( ( ( (? ? ? ?0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dydydydy) ) ) )dxdxdxdx)| )| )| )| = = = = maxmaxmaxmaxx x x x 0,0,0, 0, 1111| | |? ? ? ?0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dy dydydy|/(|/( |/(|/(? ? ? ?0, 0,0,0, 1111( ( ( (? ? ? ?0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dy dydydy) ) ) )dxdxdxdx) ) ) ) ( ( ( (MMMM ? ? ? ?0,0,0,0, 1111u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dydydydy|/(|/( |/(|/(m m m m? ? ? ?0,0,0,0, 1111( ( ( (? ? ? ?0,0,0,0, 1111u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dydydydy) ) ) )dxdxdxdx) ) ) ) = = = =MMMM/ / / /m m m m， 故故S S S S( ( ( (B B B B) ) ) )是一致有界集是一致有界集 其次，證明其次，證明S S S S( ( ( (B B B B) ) ) )等度連續(xù)等度連續(xù) u u u u B B B B， t t t t1 1 1 1, , , ,t t t t2 2 2 2 0,0,0,0,1111， | | |( ( ( (S S S S u u u u)( )( )( )(t t t t1 1 1 1) ) ) ) ( ( ( (S S S S u u u u)( )( )( )(t t t t2 2 2 2) ) ) )| | | = = = =| | |? ? ? ?0,0,0, 0, 1111K K K K( ( ( (t t t t1 1 1 1, , , ,y y y y) ) ) )u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dy dydydy ? ? ? ?0, 0,0,0, 1111K K K K( ( ( (t t t t2 2 2 2, , , ,y y y y) ) ) )u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dy dydydy|/(|/( |/(|/(? ? ? ?0, 0,0,0, 1111( ( ( (? ? ? ?0,0,0,0, 1111K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dy dydydy) ) ) )dxdxdxdx) ) ) ) ? ? ? ?0,0,0, 0, 1111| | |K K K K( ( ( (t t t t1 1 1 1, , , ,y y y y) ) ) ) K K K K( ( ( (t t t t2 2 2 2, , , ,y y y y) ) ) )| | |u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dy dydydy/( /( /( /(m m m m? ? ? ?0, 0,0,0, 1111( ( ( (? ? ? ?0,0,0,0, 1111u u u u( ( ( (y y y y) ) ) )dy dydydy) ) ) )dxdxdxdx) ) ) ) (1/(1/(1/(1/m m m m) ) ) ) maxmaxmaxmaxy y y y 0,0,0, 0, 1111| | |K K K K( ( ( (t t t t1 1 1 1, , , ,y y y y) ) ) ) K K K K( ( ( (t t t t2 2 2 2, , , ,y y y y) ) ) )| | | 由由K K K K( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )在在0,0,0,0, 1111 0,0,0,0, 1111上的一致連續(xù)性，上的一致連續(xù)性， 0 0 0 0，存在，存在 0 0 0 0，使得，使得 ( ( ( (x x x x1 1 1 1, , , ,y y y y1 1 1 1), ), ), ), ( ( ( (x x x x2 2 2 2, , , ,y y y y2 2 2 2) ) ) ) 0,0,0,0,1111，只要，只要| | | | ( ( ( (x x x x1 1 1 1, , , ,y y y y1 1 1 1) ) ) ) ( ( ( (x x x x2 2 2 2, , , ,y y y y2 2 2 2) ) ) ) | | | | m m m m，則，則n n n n m m m m 1 1 1 1 0 0 0 0，從，從z z z zn n n n m m m m 1 1 1 1 而解析而解析 ( ( ( (z z z zn n n n/(2/(2/(2/(2 ) ) ) )1/2 1/21/21/2, , , ,z z z zm m m m/(2 /(2/(2/(2 ) ) ) )1/2 1/21/21/2) ) ) ) = = = = (1/ (1/(1/(1/i i i i) ) ) )? ? ? ?| | | z z z z | | | = = = = 1 1 1 1( ( ( (z z z zn n n n/(2/(2/(2/(2 ) ) ) )1/2 1/21/21/2 ( ( ( (z z z z* * * *) ) ) )m m m m/(2 /(2/(2/(2 ) ) ) )1/2 1/21/21/2)/ )/ )/ )/z z z z dz dzdzdz = = = = (1/(2(1/(2(1/(2(1/(2 i i i i) ) ) )? ? ? ?| | | z z z z | | | = = = = 1 1 1 1z z z zn n n n ( ( ( (z z z z* * * *) ) ) )m m m m/ / / /z z z z dzdzdzdz= = = =(1/(2(1/(2(1/(2(1/(2 i i i i) ) ) )? ? ? ?| | | z z z z | | | = = = = 1 1 1 1z z z zn n n n m m m m 1 1 1 1 dzdzdzdz= = = =0 0 0 0 因此，因此， z z z zn n n n/(2/(2/(2/(2 ) ) ) )1/2 1/21/21/2 n n n n 0 0 0 0是正交規(guī)范集是正交規(guī)范集 1.6.91.6.91.6.91.6.9 1.6.101.6.101.6.101.6.10證明：容易驗(yàn)證證明：容易驗(yàn)證 e e e en n n n ? ? ? ? f f f fn n n n 是正交規(guī)范集，下面只證明是正交規(guī)范集，下面只證明 e e e en n n n ? ? ? ? f f f fn n n n 是是X X X X的基的基 x x x x X X X X，由正交分解定理，存在，由正交分解定理，存在x x x x關(guān)于關(guān)于X X X X0 0 0 0的正交分解的正交分解 x x x x= = = =y y y y+ + + +z z z z，其中，其中y y y y X X X X0 0 0 0，z z z z X X X X0 0 0 0 因因 e e e en n n n, , , , f f f fn n n n 分別是分別是X X X X0 0 0 0和和X X X X0 0 0 0 的正交規(guī)范基，的正交規(guī)范基， 故故y y y y= = = = n n n n ( ( ( (y y y y, , , ,e e e en n n n) ) ) )e e e en n n n，z z z z= = = = n n n n ( ( ( (z z z z, , , ,f f f fn n n n) ) ) )f f f fn n n n 因因z z z z X X X X0 0 0 0 ，故，故( ( ( (x x x x, , , ,e e e en n n n) ) ) ) = = = = ( ( ( (y y y y+ + + +z z z z, , , ,e e e en n n n) ) ) ) = = = = ( ( ( (y y y y, , , ,e e e en n n n) ) ) ) + + + +( ( ( (z z z z, , , ,e e e en n n n) ) ) ) = = = = ( ( ( (y y y y, , , ,e e e en n n n) ) ) ) 因因y y y y X X X X0 0 0 0，故，故( ( ( (x x x x, , , ,f f f fn n n n) ) ) ) = = = = ( ( ( (y y y y+ + + +z z z z, , , ,f f f fn n n n) ) ) ) = = = = ( ( ( (y y y y, , , ,f f f fn n n n) ) ) ) + + + +( ( ( (z z z z, , , ,f f f fn n n n) ) ) ) = = = = ( ( ( (z z z z, , , ,f f f fn n n n) ) ) ) 故故x x x x= = = =y y y y+ + + +z z z z= = = = n n n n ( ( ( (y y y y, , , ,e e e en n n n) ) ) )e e e en n n n+ + + + n n n n ( ( ( (z z z z, , , ,f f f fn n n n) ) ) )f f f fn n n n = = = = n n n n ( ( ( (x x x x, , , ,e e e en n n n) ) ) )e e e en n n n+ + + + n n n n ( ( ( (x x x x, , , ,f f f fn n n n) ) ) )f f f fn n n n因此因此 e e e en n n n ? ? ? ? f f f fn n n n 是是X X X X的正交規(guī)范基的正交規(guī)范基 1.6.111.6.111.6.111.6.11證明：首先，令證明：首先，令 k k k k( ( ( (z z z z) ) ) ) = = = = ( ( ( (k k k k+1+1+1+1)/ )/ )/ )/ ) ) ) )1/2 1/21/21/2z z z zk k k k ( ( ( (k k k k 0 0 0 0 ) ) ) )， 則則 k k k k k k k k 0 0 0 0是是H H H H2 2 2 2( ( ( (D D D D) ) ) )中的正交規(guī)范基中的正交規(guī)范基 那么，那么， u u u u( ( ( (z z z z) ) ) ) H H H H2 2 2 2( ( ( (D D D D) ) ) )，設(shè)，設(shè)u u u u( ( ( (z z z z) ) ) ) = = = = k k k k 0 0 0 0a a a ak k k kz z z zk k k k，則，則 k k k k ，有，有 張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題數(shù)數(shù)數(shù)數(shù) 計(jì)計(jì)計(jì)計(jì) 院院院院張張張張 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 26 - ( ( ( (u u u u, , , , k k k k) ) ) ) = = = = ? ? ? ?D D D Du u u u( ( ( (z z z z) ) ) ) k k k k( ( ( (z z z z) ) ) )* * * *dxdydxdydxdydxdy = = = = ? ? ? ?D D D D( ( ( ( j j j j 0 0 0 0a a a aj j j jz z z zj j j j) ) ) ) k k k k( ( ( (z z z z) ) ) )* * * *dxdydxdydxdydxdy = = = = j j j j 0 0 0 0a a a aj j j j( ( ( ( /( /( /( /(j j j j+1+1+1+1 ) ) ) )1/2 1/21/21/2? ? ? ? D D D D( ( ( (j j j j+1 +1+1+1)/ )/ )/ )/ ) ) ) )1/2 1/21/21/2z z z zj j j j k k k k( ( ( (z z z z) ) ) )* * * *dxdy dxdydxdydxdy = = = = j j j j 0 0 0 0a a a aj j j j( ( ( ( /( /( /( /(j j j j+1+1+1+1 ) ) ) )1/2 1/21/21/2? ? ? ? D D D D j j j j( ( ( (z z z z) ) ) ) k k k k( ( ( (z z z z) ) ) )* * * *dxdy dxdydxdydxdy = = = = j j j j 0 0 0 0a a a aj j j j( ( ( ( /( /( /( /(j j j j+1+1+1+1 ) ) ) )1/2 1/21/21/2( ( ( ( j j j j, , , , k k k k) ) ) ) = = = =a a a ak k k k( ( ( ( /( /( /( /(k k k k+1+1+1+1 ) ) ) )1/2 1/21/21/2 即即u u u u( ( ( (z z z z) ) ) )的關(guān)于正交規(guī)范基的關(guān)于正交規(guī)范基 k k k k k k k k 0 0 0 0的的 FourierFourierFourierFourier 系數(shù)為系數(shù)為a a a ak k k k( ( ( ( /( /( /( /(k k k k+1+1+1+1 ) ) ) )1/2 1/21/21/2( ( ( (k k k k 0 0 0 0 ) ) ) ) (1)(1)(1)(1) 如果如果u u u u( ( ( (z z z z) ) ) )的的 TaylorTaylorTaylorTaylor 展開(kāi)式是展開(kāi)式是u u u u( ( ( (z z z z) ) ) ) = = = = k k k k 0 0 0 0b b b bk k k kz z z zk k k k， 則則u u u u( ( ( (z z z z) ) ) )的的 FourierFourierFourierFourier 系數(shù)為系數(shù)為b b b bk k k k( ( ( ( /( /( /( /(k k k k+1+1+1+1 ) ) ) )1/2 1/21/21/2( ( ( (k k k k 0 0 0 0 ) ) ) ) 由由 BesselBesselBesselBessel 不等式，不等式， k k k k 0 0 0 0| | |b b b bk k k k( ( ( ( /( /( /( /(k k k k+1+1+1+1 ) ) ) )1/2 1/21/21/2| | |2 2 2 2 | | | |u u u u| | | | 0 0 0 0，存在，存在N N N N + + + +，使得，使得 m m m m, , , ,n n n n N N N N，都有，都有| | | |u u u un n n n u u u um m m m| | | | 即即f f f f在在X X X X上有下界，因而上有下界，因而f f f f在在C C C C有下確界有下確界 = = = = infinfinfinfx x x x C C C Cf f f f( ( ( (x x x x) ) ) ) 張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題張恭慶泛函分析題數(shù)數(shù)數(shù)數(shù) 計(jì)計(jì)計(jì)計(jì) 院院院院張張張張 秀秀秀秀 洲洲洲洲 - 28 - 注意到注意到a a a a( ( ( (x x x x, , , ,y y y y) ) ) )實(shí)際上是實(shí)際上是X X X X上的一個(gè)內(nèi)積，上的一個(gè)內(nèi)積， 記它所誘導(dǎo)的范數(shù)為記它所誘導(dǎo)的范數(shù)為| | | |x x x x| | | |a a a a= = = =a a a a( ( ( (x x x x, , , ,x x x x) ) ) )1/2 1/21/21/2，則 ，則| | | | | | | |a a a a與與| | | | | | | |是等價(jià)范數(shù)是等價(jià)范數(shù) 因此因此f f f f( ( ( (x x x x) ) ) ) = = = =a a a a( ( ( (x x x x, , , ,x x x x) ) ) ) Re(Re(Re(Re(u u u u0 0 0 0, , , ,x x x x) ) ) ) = = = = | | | |x x x x| | | |a a a a2 2 2 2 Re(Re(Re(Re(u u u u0 0 0 0, , , ,x x x x) ) ) ) 設(shè)設(shè)C C C C中的點(diǎn)列中的點(diǎn)列 x x x xn n n n 是一個(gè)極小化序列，滿足是一個(gè)極小化序列，滿足 f f f f( ( ( (x x x xn n n n) ) ) ) + + + +1/ 1/ 1/ 1/n n n n( ( ( ( n n n n + + + +) ) ) ) 則由平行四邊形等式，則由平行四邊形等式， | | | |x x x xn n n n x x x xm m m m| | | |a a a a2 2 2 2= = = = 2(|2(|2(|2(|x x x xn n n n| | | |a a a a2 2 2 2+ + + + | | | |x x x xm m m m| | | |a a a a2 2 2 2) ) ) ) 4|4|4|4| ( ( ( (x x x xn n n n+ + + +x x x xm m m m)/2)/2)/2)/2| | | |a a a a2 2 2 2 = = = = 2(2(2(2(f f f f( ( ( (x x x xn n n n) ) ) ) + + + + Re(Re(Re(Re(u u u u0 0 0 0, , , ,x x x xn n n n) ) ) ) + + + +f f f f( ( ( (x x x xm m m m) ) ) ) + + + + Re(Re(Re(Re(u u u u0 0 0 0, , , ,x x x xm m m m) ) ) ) ) ) ) ) 4(4(4(4(f f f f( ( ( (x x x xn n n n+ + + +x x x xm m m m)/2)/2)/2)/2) + + + + Re(Re(Re(Re(u u u u0 0 0 0, , , , ( ( ( (x x x xn n n n+ + + +x x x xm m m m)/2)/2)/2)/2) = = = = 2(2(2(2(f f f f( ( ( (x x x xn n n n) ) ) ) + + + +f f f f( ( ( (x x x xm m m m) ) ) ) 4 4 4 4f f f f( ( ( (x x x xn n n n+ + + +x x x xm m m m)/2)/2)/2)/2) + + + + 2 2 2 2Re(Re(Re(Re( ( ( ( (u u u u0 0 0 0, , , ,x x x xn n n n) ) ) ) + + + + ( ( ( (u u u u0 0 0 0, , , ,x x x xm m m m) ) ) ) ( ( ( (u u u u0 0 0 0, , , ,x x x xn n n n+ + + +x x x xm m m m) ) ) ) ) ) ) ) = = = = 2(2(2(2(f f f f( ( ( (x x x xn n n n) ) ) ) + + + +f f f f( ( ( (x x x xm m m m) ) ) ) 4 4 4 4f f f f( ( ( (x x x xn n n n+ + + +x x x xm m m m)/2)/2)/2)/2) 2(2(2(2( + + + +1/ 1/ 1/ 1/n n n n+ + + + + + + + 1/ 1/ 1/ 1/m m m m) ) ) ) 4 4 4 4 = = = = 2(1/2(1/2(1/2(1/n n n n+ + + + 1/ 1/ 1/ 1/m m m m) ) ) ) ? ? ? ? 0 0 0 0 ( ( ( (m m m m, , , ,n n n n? ? ? ? ) ) ) ) 因此因此| | | |x x x xn n n n x x x xm m m m| | | |2 2 2 2 (1/(1/(1/(1/ ) ) ) )| | | |x x x xn n n n x x x xm m m m| | | |a a a a2 2 2 2? ? ? ? 0 0 0 0 ( ( ( (m m m m, , , ,n n n n? ? ? ? ) ) ) ) 即即 x x x x