2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)3弧度制學(xué)案北師大版必修4.docx

3弧度制內(nèi)容要求1.了解弧度制的意義，能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算，熟記特殊角的弧度數(shù)(重點(diǎn)).2.掌握弧度制下的弧長(zhǎng)公式，會(huì)用弧度解決一些實(shí)際問(wèn)題(難點(diǎn))知識(shí)點(diǎn)1弧度制(1)角度制與弧度制的定義角度制用度作為單位來(lái)度量角的單位制叫做角度制，規(guī)定1度的角等于周角的弧度制長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示，讀作弧度以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制叫做弧度制(2)角的弧度數(shù)的計(jì)算如果半徑為r的圓的圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)為l，那么角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是|.【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位()(2)1的角是周角的，1 rad的角是周角的()(3)1的角比1 rad的角要大()(4)1 rad的角的大小和所在圓的半徑的大小有關(guān)()知識(shí)點(diǎn)2角度制與弧度制的換算常見(jiàn)角度與弧度互化公式如下：角度化弧度弧度化角度3602 rad2 rad360180 rad rad1801 rad0.017 45 rad1 rad57.30【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】請(qǐng)?zhí)畛渫暾卤?，一些特殊角的角度?shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系有：角度0130456090120135150180270360弧度02知識(shí)點(diǎn)3扇形的弧長(zhǎng)及面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，(02)為其圓心角，則度量單位類別為角度制為弧度制扇形的弧長(zhǎng)lL|R扇形的面積SSlR|R2【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】1.一個(gè)扇形的半徑為2 cm，圓心角為，則該扇形所對(duì)的弧長(zhǎng)l_cm.答案2.一個(gè)扇形的半徑為2 cm，其對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)為2.則該扇形的面積為_(kāi)cm2.答案2知識(shí)點(diǎn)4利用弧度制表示終邊相同的角在弧度制下，與終邊相同的角連同在內(nèi)可以表示為2k(kZ)，其中的單位必須是弧度【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】1.與30終邊相同的角為()A2k(kZ)B2k(kZ)C360k(kZ)D2k30(kZ)答案B2.終邊在x軸上的角的集合用弧度制表示為_(kāi)答案|k，kZ題型一角度與弧度的互化【例1】將下列角度與弧度進(jìn)行互化：(1)20；(2)15；(3)；(4).解(1)2020 rad rad.(2)1515 rad rad.(3) rad180105.(4) rad180396.規(guī)律方法角度制與弧度制互化的原則、方法以及注意點(diǎn)(1)原則：牢記180 rad，充分利用1rad和1 rad進(jìn)行換算(2)方法：設(shè)一個(gè)角的弧度數(shù)為，角度數(shù)為n，則 rad180；nnrad.(3)注意點(diǎn)：用“弧度”為單位度量角時(shí)，“弧度”二字或“rad”可以省略不寫；用“弧度”為單位度量角時(shí)，“常常把弧度數(shù)寫成多少的形式，如無(wú)特別要求，不必把寫成小數(shù)；度化弧度時(shí)，應(yīng)先將分、秒化成度，再化成弧度【訓(xùn)練1】將下列各角度與弧度互化：(1)；(2)；(3)15730.解(1)18075；(2)180210；(3)15730157.5157.5 rad rad.題型二用弧度制表示終邊相同的角【例2】(1)把1 480寫成2k(kZ)的形式，其中02；(2)若4，0)，且與(1)中終邊相同，求.解(1)1 48010，02，1 480252(5).(2)與終邊相同，2k，kZ.又4，0)，1，2.【訓(xùn)練2】用弧度制表示終邊在圖中陰影區(qū)域內(nèi)角的集合(包括邊界)并判斷2 015是不是這個(gè)集合的元素解因?yàn)?50.所以終邊在陰影區(qū)域內(nèi)角的集合為S.因?yàn)? 015215536010，又.所以2 015S，即2 015是這個(gè)集合的元素方向1求弧長(zhǎng)【例31】已知扇形OAB的圓心角為120，半徑長(zhǎng)為6.求的長(zhǎng)；解120，r6，的長(zhǎng)l64.方向2求圓心角【例32】已知扇形周長(zhǎng)為10，面積是4，求扇形的圓心角解設(shè)圓心角是，半徑是r，則或(舍)故扇形圓心角為.方向3求面積的最值【例33】已知一扇形的周長(zhǎng)為40 cm，當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？解設(shè)扇形的圓心角為，半徑為r，弧長(zhǎng)為l，面積為S，則l2r40，l402r.Slr(402r)r20rr2(r10)2100.當(dāng)半徑r10 cm時(shí)，扇形的面積最大，最大值為100 cm2，此時(shí)rad2 rad.當(dāng)扇形的圓心角為2 rad，半徑為10 cm時(shí)，扇形的面積最大為100 cm2.規(guī)律方法靈活運(yùn)用扇形弧長(zhǎng)公式、面積公式列方程組求解是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵，有時(shí)運(yùn)用函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想解決扇形中的有關(guān)最值問(wèn)題，將扇形面積表示為半徑的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為r的二次函數(shù)的最值問(wèn)題.課堂達(dá)標(biāo)1與120角終邊相同的角為()A2k(kZ)B.C2k(kZ)D(2k1)(kZ)解析120且2k(2k4)(kZ)，120與2k(kZ)，終邊相同答案C2化為角度應(yīng)為()A345B15C315D375解析180345.答案A3已知扇形的半徑為12，弧長(zhǎng)為18，則扇形圓心角為_(kāi)解析由弧長(zhǎng)公式lR得.答案4下列結(jié)論不正確的是_(只填序號(hào)) rad60；10 rad；36 rad； rad115.解析 rad180112.5，錯(cuò)答案5一個(gè)扇形的面積為1，周長(zhǎng)為4，求圓心角的弧度數(shù)解設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，則2Rl4，l42R，根據(jù)扇形面積公式SlR，得1(42R)R，R1，l2，2，即扇形的圓心角為2 rad.課堂小結(jié)1角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對(duì)應(yīng)2解答角度與弧度的互化問(wèn)題的關(guān)鍵在于充分利用“180 rad”這一關(guān)系式3在弧度制下，扇形的弧長(zhǎng)公式及面積公式都得到了簡(jiǎn)化，具體應(yīng)用時(shí)，要注意角的單位取弧度.基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1在半徑為10的圓中，240的圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為()A.B. C. D.解析240240 rad rad，弧長(zhǎng)l|r10，故選A.答案A2下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是()A2k45(kZ)Bk360(kZ)Ck360315(kZ)Dk(kZ)答案C3若3，則角的終邊在()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限解析3，3是第三象限角答案C4若三角形三內(nèi)角之比為456，則最大內(nèi)角的弧度數(shù)是_答案5如果一扇形的弧長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，半徑變?yōu)樵瓉?lái)的一半，則該扇形的面積為原扇形面積的_解析由于SlR，若ll，RR，則SlRlRS.答案6把下列各角化為2k(02，kZ) 的形式且指出它是第幾象限角，并寫出與它終邊相同的角的集合(1)；(2)1 485；(3)20.解(1)82，它是第二象限角，終邊相同的角的集合為.(2)1 485536031552，它是第四象限角終邊相同的角的集合為.(3)2042(820)，而8202.20是第四象限角，終邊相同的角的集合為|2k(820)，kZ7直徑為20 cm的圓中，求下列兩個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)及扇形面積(1)；(2)165.解(1)l|r10(cm)，S|r2102(cm2)(2)165165 rad rad.l|r10(cm)Slr10(cm2)能力提升8時(shí)鐘的分針在1點(diǎn)到3點(diǎn)20分這段時(shí)間里轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為()A.B C.D解析顯然分針在1點(diǎn)到3點(diǎn)20分這段時(shí)間里，順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)了兩周又一周的，用弧度制表示就是42.答案B9如圖是一個(gè)半徑為R的扇形，它的周長(zhǎng)為4R，則這個(gè)扇形所含弓形(陰影區(qū)域)的面積是()A.(2sin 1cos 1)R2B.R2sin 1cos 1C.R2D(1sin 1cos 1)R2解析l4R2R2R，2.S弓形S扇形S|R2(2Rsin )(Rcos )2R2R2sin 1cos 1R2(1sin 1cos 1)答案D10已知是第二象限角，且|2|4，則的集合是_解析是第二象限角，2k2k，kZ，|2|4，62，當(dāng)k1時(shí)，當(dāng)k0時(shí)，2，當(dāng)k為其他整數(shù)時(shí)，滿足條件的角不存在答案(，)(，211若24，且與角的終邊垂直，則_.解析2k2k，kZ，24，k2，；或者2k2k，kZ，20，la2r0，0r，當(dāng)r時(shí)，Smax.此時(shí)，la2