北京市石景山區(qū)2019屆高三數(shù)學(xué)3月統(tǒng)一測(cè)試（一模）試題理.docx

2019年石景山區(qū)高三統(tǒng)一測(cè)試數(shù) 學(xué)（理） 本試卷共6頁(yè)，滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘請(qǐng)務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效，考試結(jié)束后上交答題卡第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1. 已知集合，則下列關(guān)系中正確的是A. PQ B. PQC. QPD. 2.設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的模為A. B. C. D. 3.某幾何體的三視圖如右圖所示，該幾何體的體積為A. 2B. 6C. 10D. 244.九連環(huán)是我國(guó)從古至今廣泛流傳的一種益智n為偶數(shù)n為奇數(shù)游戲在某種玩法中，用表示解下個(gè)圓環(huán)所需的移動(dòng)最少次數(shù)，滿足，且 ，則解下個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為A. B. C. D. 5.中國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶提出了一種多項(xiàng)式簡(jiǎn)化算法，右圖是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖，如輸入的，依次輸入的為1，2，3，運(yùn)行程序，輸出的的值為A. B. C. D. 6.已知平面向量，則是與同向的A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件7.若，則下列各式中一定正確的是A. B. C. D. 8.已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，且函數(shù)在上具有單調(diào)性，則的最小值為A. B. C. D. 第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分9.若變量滿足約束條件則的最小值為_(kāi)10.等比數(shù)列的首項(xiàng)，則其前項(xiàng)和_ 11.在極坐標(biāo)系中，直線與圓的位置關(guān)系為_(kāi)（填“相交”、 “相切”或“相離”）12.若四面體各棱的長(zhǎng)是1或2，且該四面體不是正四面體，則其表面積的值可能是_（只需寫出一個(gè)可能的值）13.過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作其漸近線的平行線，直線與y軸交于點(diǎn)P，若線段OP的中點(diǎn)為雙曲線的虛軸端點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為_(kāi)14.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和點(diǎn)，設(shè)集合，且，則；點(diǎn), 到軸距離之和的最小值為 三、解答題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程15. （本小題13分）在中，角的對(duì)邊分別為，（）求的值； （）求的面積16. （本小題13分）某不透明紙箱中共有4個(gè)小球，其中1個(gè)白球，3個(gè)紅球，它們除顏色外均相同（）一次從紙箱中摸出兩個(gè)小球，求恰好摸出2個(gè)紅球的概率；（）每次從紙箱中摸出一個(gè)小球，記錄顏色后放回紙箱，這樣摸取4次，記得到紅球的次數(shù)為，求的分布列；（）每次從紙箱中摸出一個(gè)小球，記錄顏色后放回紙箱，這樣摸取100次，得到幾次紅球的概率最大？只需寫出結(jié)論17. （本小題14分）如圖，在四棱錐中，平面平面，且四邊形為矩形，分別為的中點(diǎn)，在線段上（不包括端點(diǎn)）（）求證：平面；（）求證：平面平面；（）是否存在點(diǎn)，使得二面角的大小為？若存在，求；若不存在，說(shuō)明理由18.（本小題13分）設(shè)函數(shù)，（）若曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，求；（）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒在軸上方，求的最大值19（本小題滿分14分）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)在直線:上（）求橢圓的方程；（）設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于，的點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷以為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并加以證明20.（本小題13分）若項(xiàng)數(shù)為的單調(diào)遞增數(shù)列滿足：；對(duì)任意（，），存在（，）使得，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（）分別判斷數(shù)列和是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；（）若數(shù)列具有性質(zhì)，且，（）證明數(shù)列的項(xiàng)數(shù)；（）求數(shù)列中所有項(xiàng)的和的最小值2019年石景山區(qū)高三統(tǒng)一測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試卷答案及評(píng)分參考一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分 題號(hào)12345678答案CBBADCAC二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分 9； 10； 11相交； 12或 或； 13 ； 14，三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共80分解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟15（本小題13分）解：()在中， ， ，由正弦定理得， ()由余弦定理得， ，解得或（舍） 16（本小題13分）解：()設(shè)“一次從紙箱中摸出兩個(gè)小球，恰好摸出2個(gè)紅球”為事件A 則 ()可能取0，1，2，3，4 ， 所以的分布列為01234P （）75 17（本小題14分）（）證明：在矩形中， 分別為的中點(diǎn)，且， ， 平面，平面，平面 （）證明：在矩形中，矩形平面，且平面平面，平面， 又平面， ，為的中點(diǎn)，又，平面， 平面，平面平面 （）在平面內(nèi)作的垂線，如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)， ， 設(shè)平面的法向量為，即 令，則，是平面的一個(gè)法向量， 平面，平面的法向量為， 二面角的大小，解得， 在上， 18（本小題13分）解：（）， ， 由題設(shè)知，即，解得 經(jīng)驗(yàn)證滿足題意。（）方法一： 令，即，則 （1） 當(dāng)時(shí)，即對(duì)于任意有，故在單調(diào)遞減； 對(duì)于任意有，故在單調(diào)遞增， 因此當(dāng)時(shí)，有最小值為成立（2） 當(dāng)時(shí)，即對(duì)于任意有，故在單調(diào)遞減， 因?yàn)椋?，即?綜上，的最大值為 方法二：由題設(shè)知，當(dāng)時(shí)，, （1）當(dāng)時(shí)， 設(shè)，則， 故在單調(diào)遞減， 因此，的最小值大于，所以 （2）當(dāng)時(shí)，成立 （3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?所以當(dāng)時(shí)，成立 綜上，的最大值為 19（本小題14分）解：（）依題可知， 因?yàn)?，所以 故橢圓的方程為 （）以為直徑的圓與直線相切 證明如下：由題意可設(shè)直線的方程為則點(diǎn)坐標(biāo)為，中點(diǎn)的坐標(biāo)為， 由得 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則所以， 因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為， 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo) 為此時(shí)以為直徑的圓與直線相切 當(dāng)時(shí)，直線的斜率所以直線的方程為,即 故點(diǎn)到直線的距離 （或直線的方程為,故點(diǎn)到直線的距離）又因?yàn)?，故以為直徑的圓與直線相切綜上得，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓與直線相切 解法二:（）以為直徑的圓與直線相切 證明如下: 設(shè)點(diǎn),則 當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為， 點(diǎn)的坐標(biāo)為， 此時(shí)以為直徑的圓與直線相切， 當(dāng)時(shí)直線的方程為， 點(diǎn)D的坐標(biāo)為,中點(diǎn)的坐標(biāo)為,故 直線的斜率為, 故直線的方程為,即, 所以點(diǎn)到直線的距離 故以為直徑的圓與直線相切綜上得，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓與直線相切 20（本題13分）解：（）因?yàn)?，所以 不具有性質(zhì) ； 因?yàn)椋?， ，所以 具有性質(zhì) （）（）因?yàn)槭菃握{(diào)遞增數(shù)列，又， 所以 即， 所以， ，所以， 又因?yàn)?，所?（）因?yàn)?，；所以可以?gòu)造數(shù)列滿足性質(zhì)；或， 所以可以構(gòu)造數(shù)列滿足性質(zhì)；上述兩個(gè)數(shù)列的和為，下面說(shuō)明為數(shù)列中所有項(xiàng)的和的最小值若在數(shù)列中，要