高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)不等式推理與證明第34講基本不等式優(yōu)選學(xué)案.docx

第34講基本不等式考綱要求考情分析命題趨勢1.了解基本不等式的證明過程2會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.2017江蘇卷，102017山東卷，122017天津卷，13對基本不等式的考查，主要是利用不等式求最值，且常與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識結(jié)合在一起進(jìn)行考查.分值：5分1基本不等式(1)基本不等式成立的條件：！_a0，b0_#.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)！_ab_#時(shí)取等號2幾個(gè)重要不等式(1)a2b2！_2ab_#(a，bR)(2)！_2_#(a，b同號)(3)ab2(a，bR)(4)2(a，bR)以上不等式等號成立的條件均為ab.3算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0，b0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為！_#，幾何平均數(shù)為！_#，基本不等式可敘述為！_兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)_#.4利用基本不等式求最值問題已知x0，y0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)！_xy_#時(shí)，xy有最！_小_#值，是！_2_#(簡記：積定和最小)；(2)如果和xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)！_xy_#時(shí)，xy有最！_大_#值，是！_#(簡記：和定積最大)1思維辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)函數(shù)yx的最小值是2.()(2)函數(shù)f(x)cos x，x的最小值等于4.()(3)“x0，y0”是“2”的充要條件()(4)若a0，則a3的最小值為2.()解析(1)錯(cuò)誤因?yàn)閤沒有確定符號，所以不能說最小值為2.(2)錯(cuò)誤利用基本不等式時(shí)，等號不成立(3)錯(cuò)誤不是充要條件，當(dāng)x0，y0，n0，mn218.當(dāng)且僅當(dāng)mn9時(shí)，等號成立3若M(aR，a0)，則M的取值范圍為(A)A(，44，)B(，4C4，)D4,4解析Ma.當(dāng)a0時(shí)，M4；當(dāng)a0時(shí)，M4.4若x1，則x的最小值為！_5_#.解析xx11415，當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x3時(shí)，等號成立5若x0，y0，lg xlg y1，則z的最小值為！_2_#.解析由已知條件lg xlg y1，可知xy10.則22，故min2，當(dāng)且僅當(dāng)2y5x時(shí)取等號又xy10，即x2，y5時(shí)等號成立一利用基本不等式證明不等式利用基本不等式證明不等式的方法(1)利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式對不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項(xiàng)，并項(xiàng)，也可乘上一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù)，“1”的代換法等(2)利用基本不等式對所證明的不等式中的某些部分放大或者縮小，在含有三個(gè)字母的不等式證明中要注意利用對稱性【例1】 (1)已知x0，y0，z0，求證：8.(2)已知a0，b0，c0，且abc1.求證：9.證明 (1)x0，y0，z0，0，0，0，8，當(dāng)且僅當(dāng)xyz時(shí)等號成立(2)a0，b0，c0，且abc1，3332229，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號二利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值應(yīng)注意的問題(1)利用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件(2)在利用基本不等式求最值時(shí)，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式【例2】 (1)已知0x1，則x(33x)取得最大值時(shí)x的值為(B)ABCD(2)若函數(shù)f(x)x(x2)在xa處取最小值，則a(C)A1B1C3D4(3)已知x，求f(x)4x2的最大值解析(1)0x2，x20，f(x)x(x2)222224，當(dāng)且僅當(dāng)x2，即(x2)21時(shí)，等號成立x1或3.又x2，x3，即a3.(3)因?yàn)閤0，則f(x)4x23231，當(dāng)且僅當(dāng)54x，即x1時(shí)，等號成立故f(x)4x2的最大值為1.【例3】 (1)(2017天津卷)若a，bR，ab0，則的最小值為！_4_#.(2)已知x為正實(shí)數(shù)，且x21，求x的最大值解析(1)，由基本不等式，得24ab4，當(dāng)且僅當(dāng)，4ab同時(shí)成立，即a2，b2時(shí)等號成立(2)因?yàn)閤0，所以x.又x2.所以x，當(dāng)且僅當(dāng)x2，即x時(shí)，等號成立故(x)max.三利用基本不等式解決實(shí)際應(yīng)用問題(1)此類型的題目往往較長，解題時(shí)需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解(2)當(dāng)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時(shí)，就不能使用基本不等式求解，此時(shí)可根據(jù)變量的范圍用對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解【例4】 (2017江蘇卷)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則x的值是！_30_#.解析一年購買次，則總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和為64x48240，當(dāng)且僅當(dāng)x30時(shí)取等號，故總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小時(shí)x的值是30.1已知f(x)32x(k1)3x2，當(dāng)xR時(shí)，f(x)恒為正值，則k的取值范圍是(B)A(，1)B(，21)C(1,21)D(21,21)解析由32x(k1)3x20恒成立，得k13x.3x2，k12，即k21.2某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時(shí)間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費(fèi)用為1元為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品(B)A60件B80件C100件D120件解析若每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用是元，倉儲費(fèi)用是元，總的費(fèi)用是220，當(dāng)且僅當(dāng)，即x80時(shí)取等號3若2x4y4，則x2y的最大值是！_2_#.解析因?yàn)?2x4y2x22y22，所以2x2y422，即x2y2，當(dāng)且僅當(dāng)2x22y2，即x2y1時(shí)，x2y 取得最大值2.4若直線l：1(a0，b0)經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，則直線l在x軸和y軸上的截距之和的最小值是！32#.解析直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，求直線l在x軸和y軸上的截距之和的最小值即求ab的最小值由直線l經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，得1.于是ab(ab)1(ab)3.因?yàn)?2，所以ab32，則(ab)min32.易錯(cuò)點(diǎn)不會湊出常數(shù)錯(cuò)因分析：式子的最大、最小值應(yīng)為常數(shù)，為湊出常數(shù)，需要“拆”“拼”“湊”等技巧【例1】 已知正數(shù)x，y滿足x2(xy)恒成立，則的最小值為！_#.解析由已知得恒成立2(當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)取等號)，2，即的最小值為2.答案2【跟蹤訓(xùn)練1】 設(shè)a，b0，ab5，則 的最大值為！3#.解析因?yàn)?)2ab42929ab418，所以3，當(dāng)且僅當(dāng)a1b3且ab5，即a，b時(shí)等號成立，所以的最大值為3.課時(shí)達(dá)標(biāo)第34講解密考綱考查基本不等式，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，或在解答題中作為工具使用一、選擇題1已知f(x)x2(x0，則下列不等式中，恒成立的是(C)Aab2BC2Da2b22ab解析ab0，0，0，22，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號3若a0，b0，且a(a2b)4，則ab的最小值為(C)AB4C2D2解析a0，b0，a2b0，又a(a2b)4，4a(a2b)，當(dāng)且僅當(dāng)aa2b2時(shí)等號成立(ab)24，ab2.4函數(shù)y(x1)的最小值是(A)A22B22C2D2解析x1，x10.yx122222.當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時(shí)，取等號5若正數(shù)a，b滿足ab2，則的最小值是(B)A1BC9D16解析(52)，當(dāng)且僅當(dāng)，即b12(a1)時(shí)取等號故選B6小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和b(ab)，其全程的平均時(shí)速為v，則(A)AavBvCv0)圖象上的點(diǎn)，則xy的最小值為！2#.解析因?yàn)閤0，所以y0，且xy2.由基本不等式得xy22，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號成立8(2017山東卷)若直線1(a0，b0)過點(diǎn)(1,2)，則2ab的最小值為！_8_#.解析直線1(a0，b0)過點(diǎn)(1,2)，1.又a0，b0，2ab(2ab)4428，當(dāng)且僅當(dāng)，即a2，b4時(shí)等號成立，2ab的最小值為8.9已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x2y10，則的最大值為！2#.解析由，得2，當(dāng)且僅當(dāng)x，y時(shí)取等號三、解答題10設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1，證明：1.證明 因?yàn)閎2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc，所以1.11已知x0，y0，且2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解析(1)x0，y0,2x8yxy0，xy2x8y28，(8)0，又0，8，即xy64.當(dāng)且僅當(dāng)x4y，即8y8y4y20，即y4，x16時(shí)取等號，xy的最小值為64.(2)2x8yxy0，1，xy(xy)1010218.當(dāng)且僅當(dāng)，即x2y，即4y8y2y20，即y6，x12時(shí)取等號，xy的最小值為18.12某地需要修建一條大型輸油管道通過240 km寬的沙漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程是在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離修建增壓站(又稱泵站)經(jīng)預(yù)算，修建一個(gè)增壓站的費(fèi)用為400萬元，鋪設(shè)距離為x km的相鄰兩增壓站之間的輸油管道的費(fèi)用為x2x萬元設(shè)余下工程的總費(fèi)用為y萬元(1)試將y表示成x的函數(shù)；(2)需要修建多少個(gè)增壓站才能使y最小，其最小值為多少？