高等數(shù)學(xué)函數(shù)的概念及性質(zhì).ppt

第一章,分析基礎(chǔ),函數(shù),極限,連續(xù), 研究對(duì)象, 研究方法, 研究橋梁,函數(shù)與極限,第一章,1.1.4 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù),1.1.3函數(shù)的幾種特性,1.1.1 區(qū)間和鄰域,第1節(jié),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,1.1 函數(shù),1.1.2 函數(shù)的概念,1.1.5 初等函數(shù),1.1.1 區(qū)間和鄰域,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,開(kāi)區(qū)間：,設(shè),和,都是實(shí)數(shù)，,且,則數(shù)集,稱(chēng)為開(kāi)區(qū)間，記為,即,和,稱(chēng)為開(kāi),區(qū)間的端點(diǎn)。,閉區(qū)間：,數(shù)集,稱(chēng)為閉區(qū)間，即,類(lèi)似地有,稱(chēng)為半開(kāi)半閉區(qū)間。,無(wú)限區(qū)間,點(diǎn)的 鄰域,去心 鄰域,其中, a 稱(chēng)為鄰域中心 , 稱(chēng)為鄰域半徑 .,左 鄰域 :,右 鄰域 :,定義域,1.1.2 函數(shù)的概念,定義1.1.1. 設(shè)數(shù)集,則稱(chēng)映射,為定義在,D 上的函數(shù) ,記為,f ( D ) 稱(chēng)為值域,函數(shù)圖形:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,自變量,因變量,(對(duì)應(yīng)規(guī)則),(值域),(定義域),例如, 反正弦主值,定義域,對(duì)應(yīng)規(guī)律的表示方法:,解析法,、圖象法,、列表法,使表達(dá)式及實(shí)際問(wèn)題都有意義的自變量 集合.,定義域,值域,又如, 絕對(duì)值函數(shù),定義域,值 域,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例1. 已知函數(shù),求,及,解:,函數(shù)無(wú)定義,并寫(xiě)出定義域及值域 .,定義域,值 域,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,練習(xí) 習(xí)題1.1 題1：（3）、（6）,1.1.3. 函數(shù)的幾種特性,設(shè)函數(shù),且有區(qū)間,(1) 有界性,使,稱(chēng),使,稱(chēng),說(shuō)明: 還可定義有上界、有下界、無(wú)界,(2) 單調(diào)性,為有界函數(shù).,在 I 上有界.,使,若對(duì)任意正數(shù) M , 均存在,則稱(chēng) f ( x ) 無(wú)界.,稱(chēng) 為有上界,稱(chēng) 為有下界,當(dāng),時(shí),稱(chēng),為 I 上的,稱(chēng),為 I 上的,單調(diào)增函數(shù) ;,單調(diào)減函數(shù) .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,(3) 奇偶性,且有,若,則稱(chēng) f (x) 為偶函數(shù);,若,則稱(chēng) f (x) 為奇函數(shù).,說(shuō)明: 若,在 x = 0 有定義 ,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng),必有,例如,偶函數(shù),雙曲余弦,記,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,又如,奇函數(shù),雙曲正弦,記,再如,奇函數(shù),雙曲正切,記,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,練習(xí) 1.1 題5.,(4) 周期性,且,則稱(chēng),為周期函數(shù) ,若,稱(chēng) l 為周期,( 一般指最小正周期 ).,周期為 ,周期為,注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .,例如, 常量函數(shù),狄里克雷函數(shù),x 為有理數(shù),x 為無(wú)理數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,1.1.4. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù),(1) 反函數(shù)的概念及性質(zhì),若函數(shù),為單射,則存在逆映射,習(xí)慣上,的反函數(shù)記成,稱(chēng)此映射,為 f 的反函數(shù) .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,其反函數(shù),(減),(減) .,1) yf (x) 單調(diào)遞增,且也單調(diào)遞增,性質(zhì):,2) 函數(shù),與其反函數(shù),的圖形關(guān)于直線,對(duì)稱(chēng) .,例如 ,對(duì)數(shù)函數(shù),互為反函數(shù) ,它們都單調(diào)遞增,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,指數(shù)函數(shù),(2) 復(fù)合函數(shù),則,設(shè)有函數(shù)鏈,稱(chēng)為由, 確定的復(fù)合函數(shù) ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束, 復(fù)合映射的特例,u 稱(chēng)為中間變量.,注意: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件,不可少.,例如, 函數(shù)鏈 :,函數(shù),但函數(shù)鏈,不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù) .,可定義復(fù)合,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).,例如,可定義復(fù)合函數(shù):,1.1.5. 初等函數(shù),(1) 基本初等函數(shù),冪函數(shù)、,指數(shù)函數(shù)、,對(duì)數(shù)函數(shù)、,三角函數(shù)、,反三角函數(shù),(2) 初等函數(shù),由常數(shù)及基本初等函數(shù),否則稱(chēng)為非初等函數(shù) .,例如 ,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù) ,經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步,驟所構(gòu)成 ,稱(chēng)為初等函數(shù) .,可表為,故為初等函數(shù).,又如 , 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù) .,( 自學(xué), P7 ),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,非初等函數(shù)舉例:,符號(hào)函數(shù),當(dāng) x 0,當(dāng) x = 0,當(dāng) x 0,取整函數(shù),當(dāng),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例2. 求,的反函數(shù)及其定義域.,解:,當(dāng),時(shí),則,當(dāng),時(shí),則,當(dāng),時(shí),則,反函數(shù),定義域?yàn)?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 集合及映射的概念,定義域 對(duì)應(yīng)規(guī)律,3. 函數(shù)的特性,有界性, 單調(diào)性,