（浙江專用）高考數(shù)學(xué)第七章立體幾何第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積教案（含解析）.docx

第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積1圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)2rlS圓錐側(cè)rlS圓臺(tái)側(cè)(rr)l2空間幾何體的表面積與體積公式 名稱幾何體 表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側(cè)2S底VSh錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側(cè)S底VSh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積S側(cè)S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3小題體驗(yàn)1如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A20 B24C28D32解析：選C由三視圖知該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為r，周長為c，圓錐母線長為l，圓柱高為h.由圖得r2，c2r4，h4，由勾股定理得：l4，S表r2chcl416828.2(教材習(xí)題改編)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_解析：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)直三棱柱，其底面為側(cè)視圖，該側(cè)視圖是底邊為2，高為的三角形，正視圖的長為三棱柱的高，故h3，所以該幾何體的體積VSh33.答案：33若球O的表面積為4，則該球的體積為_解析：由題可得，設(shè)該球的半徑為r，則其表面積為S4r24，解得r1.所以其體積為Vr3.答案：1求組合體的表面積時(shí)，組合體的銜接部分的面積問題易出錯(cuò)2由三視圖計(jì)算幾何體的表面積與體積時(shí)，由于幾何體的還原不準(zhǔn)確及幾何體的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)不準(zhǔn)易導(dǎo)致失誤3易混側(cè)面積與表面積的概念小題糾偏1(教材習(xí)題改編)圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的體積與圓柱體積之比為_，球的表面積與圓柱的側(cè)面積之比為_答案：23112若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的表面積是_解析：由三視圖可知，該幾何體由一個(gè)正四棱柱和一個(gè)棱臺(tái)組成，其表面積S34222242246(26)227216.答案：7216題組練透1.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于()A82B112C142D15解析：選B由三視圖知，該幾何體是一個(gè)直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示直角梯形斜腰長為，所以底面周長為4，側(cè)面積為2(4)82，兩底面的面積和為21(12)3，所以該幾何體的表面積為823112.2(2018浙江新高考聯(lián)盟高三期初聯(lián)考)如圖是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的表面積等于()A346B4412C346 D326解析：選A由三視圖知幾何體底面是一個(gè)長為6，寬為2的矩形，高為4的四棱錐，所以該幾何體的表面積為626422562346，故選A.3如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線是一個(gè)棱錐的三視圖，則該棱錐的表面積為()A642 B84C66 D624解析：選A由三視圖可知該棱錐為如圖所示的四棱錐PABCD，SPABSPADSPDC222，SPBC22sin 602，S四邊形ABCD224，故該棱錐的表面積為642.謹(jǐn)記通法幾何體的表面積的求法(1)求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點(diǎn)(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺(tái)體，先求這些柱、錐、臺(tái)體的表面積，再通過求和或作差求得幾何體的表面積注意銜接部分的處理典例引領(lǐng)1(2018金華高三期末考試)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A. B.C. D.解析：選D由三視圖可知該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的四棱錐，其直觀圖如圖所示底面ABCD的面積為224，高PO，故該幾何體的體積V4.2(2018寧波十校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于_，表面積等于_解析：如圖，由三視圖可知該幾何體是底面半徑為2，高為3的圓柱的一半，故該幾何體的體積為2236，表面積為22243231012.答案：61210由題悟法有關(guān)幾何體體積的類型及解題策略常見類型解題策略球的體積問題直接利用球的體積公式求解，在實(shí)際問題中要根據(jù)題意作出圖形，構(gòu)造直角三角形確定球的半徑錐體、柱體的體積問題根據(jù)題設(shè)條件求出所給幾何體的底面積和高，直接套用公式求解以三視圖為載體的幾何體體積問題將三視圖還原為幾何體，利用空間幾何體的體積公式求解不規(guī)則幾何體的體積問題常用分割或補(bǔ)形的思想，若幾何體的底不規(guī)則，也需采用同樣的方法，將不規(guī)則的幾何體或平面圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體或平面圖形，易于求解即時(shí)應(yīng)用1(2018杭州高級(jí)中學(xué)模擬)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A1 B.C. D.解析：選C由題可得，該幾何體是一個(gè)四棱錐，底面是上下底邊分別為1和2，高為1的直角梯形，又四棱錐的高為1.所以該幾何體的體積為V(12)11.2(2019臺(tái)州高三適考)如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為_，幾何體中最長棱的長是_解析：由三視圖可知，該幾何體是棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中的三棱錐MA1B1N，如圖所示，M是棱AB上靠近點(diǎn)A的一個(gè)三等分點(diǎn)，N是棱C1D1的中點(diǎn)，所以VMA1B1N222.又A1B12，A1NB1N，A1M，B1M，MN，所以該幾何體中最長棱的長是.答案：3.(2018溫州高三一模)如圖，一個(gè)簡單幾何體的三視圖的正視圖與側(cè)視圖都是邊長為1的正三角形，其俯視圖的輪廓為正方形，則該幾何體的體積為_，表面積為_解析：如圖，還原三視圖為正四棱錐，易得正四棱錐的高為，底面積為1，體積V1；易得正四棱錐側(cè)面的高為1，所以表面積S41113.答案：3鎖定考向與球相關(guān)的切、接問題是高考命題的熱點(diǎn)，也是考生的難點(diǎn)、易失分點(diǎn)，命題角度多變常見的命題角度有：(1)球與柱體的切、接問題；(2)球與錐體的切、接問題題點(diǎn)全練角度一：球與柱體的切、接問題1.如圖，已知球O是棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O的截面面積為()A.B.C. D.解析：選C平面ACD1截球O的截面為ACD1的內(nèi)切圓因?yàn)檎襟w的棱長為1，所以ACCD1AD1，所以內(nèi)切圓的半徑rtan 30，所以Sr2.2(2018金華一模)一個(gè)圓柱的軸截面是正方形，在圓柱內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切記球O的體積為V1，圓柱內(nèi)除了球之外的幾何體體積為V2，則的值為_解析：如圖，設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓柱的高為2r，球O的半徑為r，球O的體積V1r3，圓柱內(nèi)除了球之外的幾何體體積 V2r22rr3r3，2.答案：2角度二：球與錐體的切、接問題3(2018紹興質(zhì)檢)四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為6的正方形，且PAPBPCPD，若一個(gè)半徑為1的球與此四棱錐所有面都相切，則該四棱錐的高是()A6 B5C. D.解析：選D過點(diǎn)P作PH平面ABCD于點(diǎn)H.由題知，四棱錐PABCD是正四棱錐，內(nèi)切球的球心O應(yīng)在四棱錐的高PH上過正四棱錐的高作組合體的軸截面如圖，其中PE，PF是斜高，M為球面與側(cè)面的一個(gè)切點(diǎn)設(shè)PHh，易知RtPMORtPHF，所以，即，解得h.4(2018嘉興一模)如圖是某幾何體的三視圖，正視圖是等邊三角形，側(cè)視圖和俯視圖為直角三角形，則該幾何體外接球的表面積為()A. B8C9 D.解析：選D如圖，該幾何體為三棱錐ABCD，設(shè)三棱錐外接球的球心為O，O1，O2分別為BCD，ABD的外心，依題意得，OO1AB，O1DCD，球的半徑R ，該幾何體外接球的表面積S4R2.通法在握解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是：演練沖關(guān)1一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為1，頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為()A20 B.C5 D.解析：選D由題意知六棱柱的底面正六邊形的外接圓半徑r1，其高h(yuǎn)1，球半徑為R，該球的體積VR33.2(2018鎮(zhèn)海期中)一個(gè)棱長為6的正四面體紙盒內(nèi)放一個(gè)正方體，若正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正方體體積的最大值為_解析：由題可得，要使正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則只需該正方體在正四面體的內(nèi)接球內(nèi)即可因?yàn)檎拿骟w的棱長為6，所以其底面正三角形的高為3，正四面體的高為2，則該正四面體的內(nèi)球的半徑為，設(shè)該正方體的邊長為a，要滿足條件，則a，即a.所以正方體的最大體積為Va32.答案：2一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1(2018浙江名校聯(lián)考)“某幾何體的三視圖完全相同”是“該幾何體為球”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選B由題可得，球的三個(gè)視圖都是圓，所以三視圖完全相同；三視圖完全相同的幾何體除了球，還有正方體，所以是必要不充分條件2(2018長興中學(xué)適應(yīng)性測試)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A64 B72C80 D112解析：選C由題可得，該幾何體是一個(gè)棱長為4的正方體與一個(gè)底面是邊長為4的正方形，高為3的四棱錐的組合體，所以其體積為V4342380.3(2019杭二月考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A B2C2 D解析：選A由三視圖知，該幾何體的上半部分是一個(gè)三棱錐，下半部分是一個(gè)圓柱由題圖中的數(shù)據(jù)知V圓柱121，三棱錐垂直于底面的側(cè)面是邊長為2的等邊三角形，故其高即為三棱錐的高，故三棱錐的高為，由于三棱錐底面為一等腰直角三角形，且斜邊長為2，因此兩直角邊長都是，則底面三角形的面積是1，故V三棱錐1，故該幾何體的體積為.4(2018嘉興模擬)如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若它的體積是3，則a_，該幾何體的表面積為_解析：由題可得，該幾何體是一個(gè)水平放置的三棱柱，其底面是一個(gè)底邊長為2、高為a的等腰三角形，高為3.因?yàn)槠潴w積為3，所以V2a33a3，解得a.所以該幾何體的表面積為S22233218.答案：2185(2018麗水模擬)若三棱錐PABC的最長的棱PA2，且各面均為直角三角形，則此三棱錐的外接球的體積是_，表面積是_解析：如圖，根據(jù)題意，可把該三棱錐補(bǔ)成長方體，則該三棱錐的外接球即該長方體的外接球，易得外接球的半徑RPA1，所以該三棱錐的外接球的體積V13，表面積S4R24.答案：4二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1圓臺(tái)的一個(gè)底面周長是另一個(gè)底面周長的3倍，母線長為3，圓臺(tái)的側(cè)面積為84，則圓臺(tái)較小底面的半徑為()A7B6C5 D3解析：選A設(shè)圓臺(tái)較小底面半徑為r，則另一底面半徑為3r.由S(r3r)384，解得r7.2(2018全國卷)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A12 B12C8 D10解析：選B設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x，則x28，得x2，S圓柱表2S底S側(cè)2()22212.故選B.3(2018溫州十校聯(lián)考)已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，可得這個(gè)幾何體的體積是()A4 B.C8 D. 解析：選B由題可得，該幾何體是一個(gè)底面為長方形的四棱錐，所以其體積為V422.4(2018蘭州實(shí)戰(zhàn)考試)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為1的兩個(gè)等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積為()A. B.C3 D3解析：選A由題意得，該幾何體為四棱錐，且該四棱錐的外接球即為棱長為1的正方體的外接球，其半徑為，故體積為3，故選A.5(2018寧波十校聯(lián)考)如圖，某多面體的三視圖中正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的外輪廓分別為直角三角形、直角梯形和直角三角形，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為()A2 B.C2 D. 解析：選C由題可得，該幾何體是水平放置的四棱錐，其底面是一個(gè)直角梯形所以其最長的棱的長度為2.6.(2018寧波一模)某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.B.C.D.解析：選B由三視圖得，該幾何體是從四棱錐PABCD中挖去半個(gè)圓錐后剩余的部分，四棱錐的底面是以2為邊長的正方形、高是2，圓錐的底面半徑是1、高是2，則所求的體積V222122.7(2018衢州調(diào)研)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積是_；表面積是_解析：該幾何體是一個(gè)三棱錐，其高為2，其底面是一個(gè)等腰直角三角形，腰長為，所以其體積為V()22，表面積為S2()2223.答案：38(2018杭州模擬)已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且AB3，BC2，則棱錐OABCD的體積為_解析：依題意得，球心O在底面ABCD上的射影是矩形ABCD的中心，因此棱錐OABCD的高等于，所以棱錐OABCD的體積等于32.答案：9(2019舟山六校聯(lián)考)某四面體的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖與俯視圖都是腰長為2的等腰直角三角形，正視圖是邊長為2的正方形，則此四面體的體積為_解析：由三視圖可知，該四面體是四面體ABCD，如圖，其中，BE底面ACD，ADDCBE2，則該四面體的體積為222.答案：10(2018武漢調(diào)研)已知正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，且該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為_解析：如圖，正四棱錐PABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，設(shè)球的半徑為R，為底面邊長為2，所以AC4.在RtAOO1中，R2(4R)222，所以R，所以球的表面積S4R225.答案：25三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1(2018廣西質(zhì)檢)高為4的直三棱柱被削去一部分后得到一個(gè)幾何體，它的直觀圖和三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積與原