孫會元固體物理基礎第三章能帶論課件3.8布洛赫電子在恒定電場作用下的運動.ppt

3.8 布洛赫電子在恒定電場作用下的運動,本節(jié)主要內容：,一、恒定電場作用下布洛赫電子的運動圖象,二、能帶填充情況與晶體導電性的關系,三、近滿帶和空穴,四、導體、半導體、絕緣體和類金屬的能帶論解釋,一、恒定電場作用下布洛赫電子的運動圖像,準經(jīng)典模型下,波矢 隨時間的變化滿足,因電場恒定,表明每個電子的波矢均以恒定速率變化,在恒定電場 作用下， 時,方程變?yōu)椋?該方程的解為：,每個電子的波矢在恒定電場作用下,均以同一速率沿著電場的反方向移動, 就是t時刻電子波矢的增量.,對自由電子來說：,所以對自由電子有：,所以,自由電子將不斷被電場加速.,布洛赫電子的行為則完全不同,其速度是k空間的周期函數(shù).因而速度變?yōu)闀r間的有界函數(shù).,由于能帶結構(k)通常很復雜，所以，布洛赫電子的速度vk(t)與k(t)的關系也很復雜。但在恒定電場作用下，布洛赫電子的速度總可以表示為：,當沒有外場時，在理想的周期勢場中，布洛赫電子處在確定的本征態(tài)，它在k空間的代表點是靜止的，在實空間(即r空間)以速度v(k)作勻速直線運動。,如果晶體處在恒定的電場中，在電場力的作用下，狀態(tài)不斷發(fā)生變化，代表點在k空間作勻速直線運動，從簡約布里淵區(qū)來看，相當于電子在k空間作循環(huán)運動.,它將穿越各種能量的等能面,能量梯度的大小和方向都不斷變化,即電子在r空間的速度和位置將不斷變化.,代表同一狀態(tài),由于一個電子載有的電流比例于它的速度,意味著直流的外加電場將產(chǎn)生交變的電流,這種效應稱為布洛赫振蕩(Bloch oscillation)。(仍以一維緊束縛近似為例）,布洛赫振蕩周期為：,布洛赫振蕩頻率為：,(1)一方面,電子受晶體中雜質和缺陷及聲子散射作用,電子來不及完成振蕩運動就被散射破壞掉了;,(2)另一方面,一部分電子根本不會參與振蕩.按照量子力學,電子遇到位壘時將有部分穿透位壘(隧道效應),部分被反射回來.,實空間中電子的振蕩運動很難看到,由上述討論可看出布洛赫電子的運動情況與能帶結構有著密切的關系，為此下面我們根據(jù)電子填充能帶的情況，給出一些定義，然后討論這些能帶中電子在電場中的運動情況。,1. 滿帶不導電,根據(jù)準經(jīng)典模型的速度公式可得,二、能帶填充情況與晶體導電性的關系,滿帶是指能帶中所有電子狀態(tài)都被電子占據(jù)的能帶。,沒有外電場時,由于能帶的對稱性,(1)無外電場,如果一個能帶被電子部分填充，就稱為未滿能帶，或部分填充能帶.,亦即處在 態(tài)的電子,對電流密度的貢獻恰好相消。,一個能帶對電流的貢獻,是所有電子攜帶電流的和：,所以，對于滿帶也好，部分填充能帶也好，由于沒有外電場時，能帶對稱分布，導致總的電流密度為零。,軸上各點均以完全相同的速度移動,因此并不改變均勻填充各 態(tài)的情況.從A移出去的電子同時又從A移進來,保持整個能帶處于均勻填滿的狀況.顯然：,滿帶：,即所有電子的波矢k都以恒定速率變化：,亦即，有外電場時滿帶也不產(chǎn)生電流滿帶不導電,(2)有外電場,在外場作用下,電子分布將向一方移,破壞了原來的對稱分布,而有一個小的偏移,這時電子電流將只是部分抵消,而產(chǎn)生一定的電流。,2.未滿能帶（或部分填充能帶）導電,所以,固體材料可按照是否有部分填充的能帶而分為:導體和非導體兩大類能帶論的一大成就。,即未滿能帶(或部分填充能帶)導電，因而這種能帶也稱為導帶.,小結(關于準經(jīng)典模型中布洛赫電子速度和滿帶不導電等問題的進一步說明)：,是布洛赫電子在實空間的速度,沿等能面的法線方向.,給出了外場作用下電子波矢的變化速度.,當外場為零時, ,所以波矢不隨時間變化,自然,相對于每一個確定的波矢而言,電子速度 不隨時間變化,意味著電子在實空間作勻速直線運動.,由于波矢在第一布里淵區(qū)的對稱分布,電子速度滿足 ，所以,沒有外電場時,能帶電流為零.,當外場不為零且恒定時, , 此時每一個電子的波矢均隨時間勻速變化,它將穿越各種能量的等能面，能量梯度的大小和方向都不斷變化.由于波矢限制在第一布里淵區(qū)中,代表點到達邊界A后,接著從等價的A點開始,因而,每一個電子在波矢空間作循環(huán)運動。,而該電子速度的變化,表現(xiàn)為實空間位置的振蕩運動.既布洛赫振蕩.,室溫下,布洛赫振蕩周期,所以,一個周期內,電子要經(jīng)歷的碰撞次數(shù)為:,所以,散射作用極易破壞這種振蕩行為.,由于每一個電子在電場的作用下,其波矢均不斷變化,將穿越各種能量的等能面,亦即,速度不斷改變,所以,對于滿帶,整體來看,波矢分布和沒有外場時一樣,自然總的電流為零;而不滿的能帶,則會出現(xiàn)波矢的不對稱分布,從而出現(xiàn)電流.,三、近滿帶和空穴,1. 非導體的能帶特征,對于不具有部分填充能帶的非導體，也就是說基態(tài)時N個電子恰好填滿最低的一系列能帶，再高的各帶全部都是空的。則對該類材料中的能帶來說，除了所有電子狀態(tài)都被電子占據(jù)的滿帶以外，還有能帶中所有電子狀態(tài)均未被電子占據(jù)的能帶，即空帶。,對于非導體來說，把能量最低的空帶稱為導帶。并把導帶中能量最低的能級，定義為導帶底；把能量最高的滿帶定義為價帶；價帶中能量最高的能級稱為價帶頂。,導帶底和價帶頂之間的能量范圍稱為能隙(energy gap),或叫帶隙.,對于不具有部分填充能帶的非導體,若導帶底和價帶頂之間的能隙較窄,則在有限的溫度下,滿帶中(價帶頂附近)少數(shù)電子受激發(fā)而躍遷到空帶中去,使原來的滿帶變成近滿帶。,原來是空帶的導帶中出現(xiàn)了少量可以導電的電子，變成近空帶。,按照部分填充能帶中的電子可以導電的結論，近滿帶是導電的。,假設近滿帶是滿帶少了一個 電子形成的。則,2. 空穴的引入,現(xiàn)在,設想在這個能帶中放入一個 態(tài)電子,則這個電子的進入會使其成為滿帶,因而總電流變?yōu)榱?,即：,從而：,由此可見，近滿帶的電流如同一個帶有+e 的粒子所荷載的，它具有逸失 態(tài)電子相同的速度 .這個假想的粒子稱為空穴(hole)。,一個缺少了少數(shù)電子的近滿帶的性質應該由剩下的所有電子來決定，現(xiàn)在可以用少數(shù)空穴去代替它，所以，空穴概念的引入可以大大簡化對近滿帶有關問題的處理。,空穴在外場中的行為猶如它帶有正電荷+e。所以對于近滿帶中的空穴(hole),可以看成是帶 +e 的粒子。其實真正運動的是電子，且電子的運動滿足：,由于空穴一般位于帶頂附近, m* 0, 所以,上式改為,則上式可看成是質量為 ，帶電為 +e 的粒子的準經(jīng)典運動方程，即空穴的運動方程。,空穴概念的引入可以大大簡化對近滿帶有關問題的處理。,假設價帶中只有一個 態(tài)未被電子填充,這時含有2N-1個電子的價帶的總電流密度為 ,設想若在這個空的 態(tài)放入一個電子,則該電子將產(chǎn)生電流 ,而這個電子的進入會使得價帶成為滿帶,因而總電流變?yōu)榱?,則有,設能帶中有一個 態(tài)沒有電子,即能帶中出現(xiàn)一個空穴,空穴的波矢用 表示.則存在以下對應關系：,所以，2N-1個電子的集體運動效果與一個空穴的運動效果一樣。,所以:,3. 空穴的性質,按照空穴的定義，一個空穴和能帶中其它電子的總效果相同，所以空穴的波矢滿足,空穴的能量應該等于滿帶中逸失一個ke態(tài)電子后系統(tǒng)能量的變化，因此,利用空穴的性質(1)和(2) ，可得,按照有效質量的定義,例： 半導體材料的價帶基本上填滿了電子(近滿帶)，價帶中電子能量表示式(k)=-1.01610-34k2(J)，其中能量頂點取在價帶頂,這時若k=1 106/cm處電子被激發(fā)到更高的能帶(導帶)，而在該處產(chǎn)生一個空穴，試求出此空穴的有效質量，波矢，準動量，共有化運動速度和能量。,解:,(2)準動量：,(3),(4),(5),由于近滿帶、近空帶的出現(xiàn),是電子的熱激發(fā)形成的,所以,這兩個能帶的導電能力將隨溫度的升高按指數(shù)增加(see p237)。,顯然,半導體與絕緣體之間并不存在嚴格的界限,典型半導體的能隙:,對于能隙較窄的非導體,電子比較容易從價帶熱激發(fā)到導帶,形成近滿帶、近空帶,稱這類材料為半導體。,絕緣體,半導體,如果能隙很大,以致很難將電子從價帶熱激發(fā)到導帶,則這類材料幾乎完全不導電,稱為絕緣體.,四、導體、半導體和絕緣體的能帶論解釋,有部分填充能帶,導帶,導體,在晶體周期場中運動的N個電子，它們的單電子能級用 表示，分成一系列能帶，N個電子按能量最低原理來填充。,電子的填充情況有兩類：,1. 電子恰好填滿最低的一系列能帶,再高的各帶全都是空的.最高的滿帶稱為價帶,最低的空帶稱為導帶,價帶最高能級(價帶頂)與導帶最低能級(導帶底)之間的能量范圍稱為帶隙.與這種情況相對應的就是絕緣體和半導體.帶隙寬度大的為絕緣體(如10 eV ),帶隙寬度小的為半導體(如 1 eV ).,2. 除去完全被電子填滿的一系列能帶外,還有只是部分地被電子填充的能帶,后者即所謂的導帶.這時最高占據(jù)能級為費米能級,它位于一個或幾個能帶的能量范圍之內.在每一個部分占據(jù)的能帶中,k空間都有一個占有電子與不占有電子區(qū)域的分界面,所有這些表面的集合就是費米面.與這種情況相對應的就是金屬導體.,假設晶體由N個原胞組成，則每個能帶可以容納2N個電子。因此每個原胞有奇數(shù)個價電子的晶體一定是導體，對于每個原胞有偶數(shù)個價電子的晶體，如果存在能帶的交疊，則是導體；如果沒有能帶交疊，則能隙小的是半導體；能隙大的是絕緣體。,比如堿金屬，屬于體心立方晶格，每個原胞有一個原子，提供一個價電子，ns電子只占一半能帶，為導體；,對于堿土金屬，每個原胞提供兩個價電子，ns電子填滿了ns能帶，但ns能帶與上面np能帶形成能帶交疊，故仍為導體。,堿金屬(體心立方晶格,每個原胞有一個原子),Li,Na,K,ns電子只占一半能帶,為導體.,堿土金屬,Be,Mg,Ca,ns電子填滿了ns能帶,但ns能帶與上面np 能帶形成能帶交疊,故仍為導體.,每個原胞提供一個價電子,能帶為半滿,每個原胞提供兩個價電子,滿帶但能帶有交疊,Ge、Si和金剛石晶體,Ge、Si和金剛石晶體,具有fcc點陣的復式晶格,價電子的組態(tài)為ns2 np2,每個原胞有8個價電子,構成滿帶且能帶不交疊.但是禁帶寬度不同, Si和Ge禁帶寬度分別為1.17 eV 和 0.744 eV,因此是半導體;但金剛石的禁帶寬度為5.4 eV，所以是絕緣體.,在金屬和半導體之間存在一種稱為類金屬的中間情況,即:導帶底與價帶頂具有相同的能量(零帶隙寬度)或導帶與價帶發(fā)生少量交疊(負帶隙寬度).從而導致導帶中存在一定數(shù)量的電子(其濃度遠小于典型的金屬,但遠大于典型的半導體),其價帶中存在一定數(shù)量的空穴.,屬于類金屬有石墨(C)、砷(As)、銻(Sb)、鉍(Bi)等,其電子密度比金屬小幾個數(shù)量級,但是遠大于半導體.,零帶隙寬度,負帶隙寬度,一般固體書上把上述類金屬(Semi-metal)叫半金屬,但是如今人們發(fā)現(xiàn)了一種新型的磁性材料,其獨特之處在于它只有一種自旋方向的電子處于費米面呈現(xiàn)金屬性;而與其相反的自旋取向的電子態(tài)密度在費米面為零,顯示出絕緣或半導體性質,其英文稱作Half-metal,為此我們把Semi-metal譯作類金屬,而把Half-metal譯作半金屬。,例： 晶格常量為a的一維晶格，其價帶頂附近的色散關系為,其中,，在導帶底附近的,色散關系為,求:,(1)禁帶寬度；,(2)導帶底電子的有效質量和價帶頂空穴的有效質量;,(3)電子由價帶頂激發(fā)到導帶底時，準動量的變化；,(4)在外電場作用下，導帶底的電子和價帶頂空穴的加速度；,(5)設a=0.25nm，E=100v/m，請求出空穴自價帶頂漂移到k0處所需的時間。,價帶頂,導帶底,(1)導帶底,價帶頂,(2)導帶底電子的有效質量為：,則禁帶寬度：,價帶頂,(3)電子由價帶頂激