函數(shù)的單調(diào)性與極值》課件2(北師大版選修(8).ppt

函數(shù)的單調(diào)性和極值,一、函數(shù)單調(diào)性的判別方法 二、函數(shù)極值的判別法 三、函數(shù)的最大值、最小值的求法,一、函數(shù)單調(diào)性的判別方法,羅爾定理 拉格郎日定理 函數(shù)單調(diào)性的判別方法,定理1 羅爾（ Rolle ）定理,滿足:,(1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù),(2) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo),(3) f ( a ) = f ( b ),使,注意:,1) 定理?xiàng)l件條件不全具備, 結(jié)論不一定成立.,例如,使,2) 定理?xiàng)l件只是充分的.,本定理可推廣為,在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且,在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn),定理2 拉格朗日中值定理,(1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù),滿足:,(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo),至少存在一點(diǎn),使,思路: 利用逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù),作輔助函數(shù),顯然 ,在 a , b 上連續(xù) ,在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo),且,證:,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證,由羅爾定理知至少存在一點(diǎn),即定理結(jié)論成立 .,證畢,推論1:,若函數(shù),在區(qū)間 I 上滿足,則,在 I 上必為常數(shù).,推論2：如果函數(shù) 在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)于(a,b)中任意 有 則在(a,b)內(nèi) ， ， 其中c為常數(shù)。,函數(shù)單調(diào)性的判定法,若,定理 3. 設(shè)函數(shù),則 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增,(遞減) .,證: 無(wú)妨設(shè),任取,由拉格朗日中值定理得,故,這說(shuō)明 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增.,在開(kāi)區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo),例2. 確定函數(shù),的單調(diào)區(qū)間.,解:,令,得,故,的單調(diào)增區(qū)間為,的單調(diào)減區(qū)間為,說(shuō)明:,單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)外, 也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).,例如,2) 如果函數(shù)在某點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào), 則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .,例如,確定函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟： 1、確定函數(shù)的定義域； 2、求出使函數(shù) 并以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)，將定義域分成若干 個(gè)子區(qū)間； 3、確定 在各個(gè)子區(qū)間的符號(hào)，從而判斷出 的單調(diào)性。,例4. 證明方程,有且僅有一個(gè)小于1 的,正實(shí)根 .,證: 1) 存在性 .,則,在 0 , 1 連續(xù) ,且,由介值定理知存在,使,即方程有小于 1 的正根,2) 唯一性 .,假設(shè)另有,為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件 ,至少存在一點(diǎn),但,矛盾,故假設(shè)不真!,設(shè),例5. 證明等式,證: 設(shè),由推論可知,(常數(shù)),令 x = 0 , 得,又,故所證等式在定義域 上成立.,自證:,經(jīng)驗(yàn):,欲證,時(shí),只需證在 I 上,例6. 證明不等式,證法1: 設(shè),中值定理?xiàng)l件,即,因?yàn)?故,因此應(yīng)有,二、函數(shù)的極值,定義:,在其中當(dāng),時(shí),(1),則稱 為 的極大點(diǎn) ,稱 為函數(shù)的極大值 ;,(2),則稱 為 的極小點(diǎn) ,稱 為函數(shù)的極小值 .,極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn) .,注意:,為極大點(diǎn),為極小點(diǎn),不是極值點(diǎn),2) 對(duì)常見(jiàn)函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為 0 或 不存在的點(diǎn).,1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).,例如,為極大點(diǎn) ,是極大值,是極小值,為極小點(diǎn) ,定理 5 (極值第一判別法),且在空心鄰域,內(nèi)有導(dǎo)數(shù),例7. 求函數(shù),的極值 .,解:,1) 求導(dǎo)數(shù),2) 求極值可疑點(diǎn),令,得,令,得,3) 列表判別,是極大點(diǎn)，,其極大值為,是極小點(diǎn)，,其極小值為,定理6 (極值第二判別法),二階導(dǎo)數(shù) , 且,則 在點(diǎn) 取極大值 ;,則 在點(diǎn) 取極小值 .,求函數(shù)極值的一般步驟：,確定定義域，并求出所給函數(shù)的全部駐點(diǎn) 考察函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在駐點(diǎn)處的符號(hào)，確定極值點(diǎn) 求出極值點(diǎn)處的函數(shù)值，得到極值,求函數(shù)極值的一般步驟：,若函數(shù) 定理6失效，應(yīng)運(yùn)用定理5，其步驟為： 1、確定定義域并找出所給函數(shù)的駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)； 2、考察上述點(diǎn)兩側(cè)一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，確定極值點(diǎn)； 3、求出極值點(diǎn)處函數(shù)值，得到極值。,例8. 求函數(shù),的極值 .,解: 1) 求導(dǎo)數(shù),2) 求駐點(diǎn),令,得駐點(diǎn),3) 判別,因,故 為極小值 ;,又,故需用第一判別法判別.,定理7 (判別法的推廣),則:,數(shù) , 且,1) 當(dāng) 為偶數(shù)時(shí),是極小點(diǎn) ;,是極大點(diǎn) .,2) 當(dāng) 為奇數(shù)時(shí),為極值點(diǎn) , 且,不是極值點(diǎn) .,例如 , 例2中,極值的判別法( 定理5 定理7 ) 都是充分的.,說(shuō)明:,當(dāng)這些充分條件不滿足時(shí), 不等于極值不存在 .,例如:,為極大值 ,但不滿足定理1, 定理3 的條件.,三、最大值與最小值問(wèn)題,則其最值只能,在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到 .,求函數(shù)最值的方法:,(1) 求 在 內(nèi)的極值可疑點(diǎn),(2) 最大值,最小值,特別:,當(dāng) 在 內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),當(dāng) 在 上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.,若在此點(diǎn)取極大 值 , 則也是最大 值 .,(小),對(duì)應(yīng)用問(wèn)題 , 有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的,可疑點(diǎn)是否為最大 值點(diǎn)或最小值點(diǎn) .,(小),例11. 求函數(shù),在閉區(qū)間,上的最大值和最小值 .,解: 顯然,且,故函數(shù)在,取最小值 0 ;,( k 為某一常數(shù) ),例13. 鐵路上 AB 段的距離為100 km , 工廠C 距 A 處20,AC AB ,要在 AB 線上選定一點(diǎn) D 向工廠修一條,已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)價(jià)之比為 3:5 ,為使貨,D 點(diǎn)應(yīng)如何選取?,解: 設(shè),則,令,得,又,所以 為唯一的,極小點(diǎn) ,故 AD =15 km 時(shí)運(yùn)費(fèi)最省 .,總運(yùn)費(fèi),物從B 運(yùn)到工廠C 的運(yùn)費(fèi)最省,從而為最小點(diǎn) ,問(wèn),Km ,公路,例14. 把一根直徑為 d 的圓木鋸成矩形梁 ,問(wèn)矩形截面,的高 h 和 b 應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大?,解: 由力學(xué)分析知矩形梁的抗彎截面模量為,令,得,從而有,即,由實(shí)際意義可知 , 所求最值存在 ,駐點(diǎn)只一個(gè),故所求,結(jié)果就是最好的選擇 .,用開(kāi)始移動(dòng),例16. 設(shè)有質(zhì)量為 5 kg 的物體置于水平面上 , 受力 作,解: 克服摩擦的水平分力,正壓力,即,令,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求,的最大值問(wèn)題 ., 為多少時(shí)才可使力,設(shè)摩擦系數(shù),的大小最小?,令,解得,而,因而 F 取最小值 .,解:,即,令,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求,的最大值問(wèn)題 .,清楚(視角 最大) ?,觀察者的眼睛1.8 m ,例17. 一張 1.4 m 高的圖片掛在墻上 , 它的底邊高于,解: 設(shè)觀察者與墻的距離為 x m ,則,令,得駐點(diǎn),根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義, 觀察者最佳站位存在 ,唯一,駐點(diǎn)又,因此觀察者站在距離墻 2.4 m 處看圖最清楚 .,問(wèn)觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最,內(nèi)容小結(jié),1. 連續(xù)函數(shù)的極值,(1) 極值可疑點(diǎn) :,使導(dǎo)數(shù)為0 或不存在的點(diǎn),(2) 第一充分條件,過(guò),由正變負(fù),為極大值,過(guò),由負(fù)變正,為極小值,(3) 第二充分條件,為極大值,為極小值,(4) 判別法的推廣,最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找 ;,應(yīng)用題可根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義判別 .,思考與練習(xí),(L. P500 題4),2. 連續(xù)函數(shù)的最值,1. 設(shè),則在點(diǎn) a 處( ).,的導(dǎo)數(shù)存在 ,取得極大值 ;,取得極小值;,的導(dǎo)數(shù)不存在.,B,提示: 利用極限的保號(hào)性 .,費(fèi)馬(1601 1665),法國(guó)數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué),只是他的業(yè)余愛(ài)好.,他興趣廣泛,博,覽群書并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多,重大貢獻(xiàn).,他特別愛(ài)好數(shù)論,他提出,的費(fèi)馬大定理:,至今尚未得到普遍的證明.,他還是微積分學(xué)的先驅(qū) ,費(fèi)馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中,提煉出來(lái)的.,拉格朗日 (1736 1813),法國(guó)數(shù)學(xué)家.,他在方程論, 解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn),近百,余年來(lái), 數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間,接地溯源于他的工作,他是對(duì)分析數(shù)學(xué),產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.,柯西(1789 1857),法國(guó)數(shù)學(xué)家,他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中,在微積分學(xué),柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué),校編寫的分析教程,無(wú)窮小分析概論, 微積,分在幾何上的應(yīng)用 等,有思想有創(chuàng)建,響廣泛而深遠(yuǎn) .,對(duì)數(shù)學(xué)的影,他是經(jīng)典分析的奠人之一,他為微積分,所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析的發(fā)展.,復(fù)變函數(shù)和微分方