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函數(shù)的最大值 與最小值,一、復(fù)習(xí)與引入,1.當(dāng)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)時(shí),判別f(x0)是極大(小)值的方 法是: 如果在x0附近的左側(cè) 右側(cè) ,那么,f(x0) 是極大值; 如果在x0附近的左側(cè) 右側(cè) ,那么,f(x0) 是極小值.,2.導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件,而不是充 分條件.極值只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)或?qū)?shù)為零的點(diǎn) 取到.,3.在某些問(wèn)題中,往往關(guān)心的是函數(shù)在一個(gè)定義區(qū)間上, 哪個(gè)值最大,哪個(gè)值最小,而不是極值.,二、新課函數(shù)的最值,觀察右邊一個(gè)定義在區(qū)間a,b上的函數(shù)y=f(x)的圖象.,發(fā)現(xiàn)圖中_是極小值,_是極大值,在區(qū)間上的函數(shù)的最大值是_,最小值是_。,問(wèn)題在于如果在沒(méi)有給出函數(shù)圖象的情況下,怎樣才能判斷出f(x3)是最小值,而f(b)是最大值呢?,設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則求f(x) 在a,b上的最大值與最小值的步驟如下:,:求y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值(極大值與極小值);,:將函數(shù)y=f(x)的各極值與f(a)、f(b)作比較,其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值.,求函數(shù)的最值時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn):,(1)函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問(wèn)題,是一個(gè)局部概 念,而函數(shù)的最值是對(duì)整個(gè)定義域而言,是在整體范圍 內(nèi)討論問(wèn)題,是一個(gè)整體性的概念.,(2)閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)一定有最值.開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi) 的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值,但若有唯一的極值,則此極 值必是函數(shù)的最值.,(3)函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個(gè), 而函數(shù)的極值則可能不止一個(gè),也可能沒(méi)有極值,并且 極大值(極小值)不一定就是最大值(最小值),但除端點(diǎn) 外在區(qū)間內(nèi)部的最大值(或最小值),則一定是極大值 (或極小值).,(4)如果函數(shù)不在閉區(qū)間a,b上可導(dǎo),則在確定函數(shù)的最 值時(shí),不僅比較該函數(shù)各導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)與端點(diǎn)處的值, 還要比較函數(shù)在定義域內(nèi)各不可導(dǎo)的點(diǎn)處的值.,(5)在解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中,如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè) 極值點(diǎn)(這樣的函數(shù)稱為單峰函數(shù)),那么要根據(jù)實(shí)際 意義判定是最大值還是最小值即可,不必再與端點(diǎn)的 函數(shù)值進(jìn)行比較.,三、例題選講,例1:求函數(shù)y=x4-2x2+5在區(qū)間-2,2上的最大值與最小 值.,解:,令 ,解得x=-1,0,1.,當(dāng)x變化時(shí), 的變化情況如下表:,從上表可知,最大值是13,最小值是4.,例2:求函數(shù) 在區(qū)間-1,3上的最大值與 最小值.,解:,令 ,得,相應(yīng)的函數(shù)值為:,又f(x)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值為:f(-1)=6,f(3)=0,比較得, f(x)在點(diǎn) 處取得最大值 在點(diǎn) 處取得最小值,延伸 :設(shè) ,函數(shù) 的最 大值為1,最小值為 ,求常數(shù)a,b.,解:令 得x=0或a.,當(dāng)x變化時(shí), ,f(x)的變化情況如下表:,由表知,當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得極大值b,而f(0)f(a),f(0) f(-1),f(1)f(-1).故需比較f(1)與f(0)的大小.,f(0)-f(1)=3a/2-10,所以f(x)的最大值為f(0)=b,故b =1.,又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/20,所以f(x)的最小值為f(-1) =-1-3a/2+b=-3a/2,所以,四、應(yīng)用,1.實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.,在日常生活、生產(chǎn)和科研中,常常會(huì)遇到求函數(shù)的 最大(小)值的問(wèn)題.建立目標(biāo)函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)的方法求最值是求解這類問(wèn)題常見(jiàn)的解題思路.,在建立目標(biāo)函數(shù)時(shí),一定要注意確定函數(shù)的定義域.,在實(shí)際問(wèn)題中,有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使 的情形,如果函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)有極大(小)值, 那么不與端點(diǎn)值比較,也可以知道這就是最大(小)值. 這里所說(shuō)的也適用于開(kāi)區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間.,滿足上述情況的函數(shù)我們稱之為“單峰函數(shù)”.,例1:在邊長(zhǎng)為60cm的正 方形鐵皮的四角切去相等 的正方形,再把它的邊沿虛 線折起(如圖),做成一個(gè)無(wú) 蓋的方底箱子,箱底邊長(zhǎng)為 多少時(shí),箱子的容積最大?最大容積是多少?,解:設(shè)箱底邊長(zhǎng)為x,則箱高h(yuǎn)=(60-x)/2.箱子容積 V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0x60).,令 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)= 16000.,由題意可知,當(dāng)x過(guò)小(接近0)或過(guò)大(接近60)時(shí),箱子的容積很小,因此,16000是最大值.,答:當(dāng)x=40cm時(shí),箱子容積最大,最大容積是16000cm3.,類題:圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí),它的高與底半徑 應(yīng)怎樣選取,才能使所用的材料最省?,解:設(shè)圓柱的高為h,底半徑為r,則表面積S=2rh+2r2.,由V=r2h,得 ,則,令 ,解得 ,從而 ,即h=2r.,由于S(r)只有一個(gè)極值,所以它是最小值.,答:當(dāng)罐的高是底半徑兩倍時(shí),所用的材料最省.,解:設(shè)DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= km.,又設(shè)鐵路上每噸千米的運(yùn)費(fèi)為3t元,則公路上每噸千米的運(yùn)費(fèi)為5t元.這樣,每噸原料從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的總運(yùn)費(fèi)為,令 ,在 的范圍內(nèi)有 唯一解x=15.,所以,當(dāng)x=15(km),即D點(diǎn)選在距A點(diǎn)15千米時(shí),總運(yùn)費(fèi)最省.,注:可以進(jìn)一步討論,當(dāng)AB的距離大于15千米時(shí),要找的 最優(yōu)點(diǎn)總在距A點(diǎn)15千米的D點(diǎn)處;當(dāng)AB之間的距離 不超過(guò)15千米時(shí),所選D點(diǎn)與B點(diǎn)重合.,練習(xí):已知圓錐的底面半徑為R,高為H,求內(nèi)接于這個(gè)圓 錐體并且體積最大的圓柱體的高h(yuǎn).,答:設(shè)圓柱底面半徑為r,可得r=R(H-h)/H.易得當(dāng)h=H/3 時(shí), 圓柱體的體積最大.,解:設(shè)細(xì)桿與另一走廊一邊夾角為 又設(shè)另一走 廊的寬為y.,令,由于y()只有一個(gè)極大值,所以它是最大值,這時(shí),故另一走廊的寬度至少是,解:設(shè)B(x,0)(0x2), 則 A(x, 4x-x2).,從而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面積 為:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0x2).,令 ,得,所以當(dāng) 時(shí),因此當(dāng)點(diǎn)B為 時(shí),矩形的最大面積是,2.與數(shù)學(xué)中其它分支的結(jié)合與應(yīng)用,例2:已知x,y為正實(shí)數(shù),且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.,解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.,設(shè) ,由x,y為正實(shí)數(shù)得:,設(shè),令 ,得 又,又f(0)=f()=0,故當(dāng) 時(shí),例3:證明不等式:,證:設(shè),則,令 ,結(jié)合x(chóng)0得x=1.,而01時(shí), ,所以x=1是f(x)的極小值點(diǎn).,所以當(dāng)x=1時(shí),f(x)取最小值f(1)=1.,從而當(dāng)x0時(shí),f(x)1恒成立,即: 成立.,五、小結(jié),1.求在a,b上連續(xù),(a,b)上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)在a,b上的 最值的步驟: (1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值; (2)將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較,其中最大的一個(gè) 是最大值,最小的一個(gè)是最小值.,2.求函數(shù)的最值時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn):,(1)要正確區(qū)分極值與最值這兩個(gè)概念.,(2)在a,b上連續(xù),(a,b)上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)未 必有最大值與最小值.,(3)一旦給出的函數(shù)在(a,b)上有個(gè)別不可導(dǎo)點(diǎn)的話,不 要忘記在步驟(2)中,要把這些點(diǎn)的函數(shù)值與各極值 和f(a)、f(b)放在一起比較.,3

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