函數(shù)的連續(xù)性與連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算(1).ppt

第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算,一、函數(shù)的連續(xù)性,二、函數(shù)的間斷點(diǎn),三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算,一、函數(shù)的連續(xù)性,1.函數(shù)的增量,2.連續(xù)(continuous)的定義,定義1 設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)有定義，如 果當(dāng)自變量的增量 趨向于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的函 數(shù)的增量 也趨向于零，即 或 ,那末就稱函數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù)， 稱為 的連續(xù)點(diǎn).,定義2 設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)有定義,如果 函數(shù) 當(dāng) 時(shí)的極限存在,且等于它在 點(diǎn) 處的函數(shù)值 ,即 那末就稱函數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù).,定義3,設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)有定義,稱函數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù).,例1,證,由定義2可推得：,3.單側(cè)連續(xù),定理,例1,解,4. 連續(xù)函數(shù)(continuous function)與連續(xù)區(qū)間,在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)，或者叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).,連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.,例3,證,例5,解,二、函數(shù)的間斷點(diǎn),(1) 跳躍間斷點(diǎn),例1,解,1.第一類間斷點(diǎn),(2) 可去間斷點(diǎn),例2,例3,例2,解,注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).,如例2中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).,特點(diǎn),如例3中,2. 第二類間斷點(diǎn),(1) 無窮間斷點(diǎn),例如,例4,解,(2) 振蕩間斷點(diǎn),例5,解,注意 不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).,間斷點(diǎn)的分類：,第一類 間斷點(diǎn),第二類 間斷點(diǎn),間斷點(diǎn),可去間斷點(diǎn)：,跳躍間斷點(diǎn)：,無窮間斷點(diǎn),振蕩間斷點(diǎn),練習(xí),三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算 1、四則運(yùn)算的連續(xù)性,定理1,例如,三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).,例,2、反函數(shù)的連續(xù)性,定理2 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).,例如,同理：反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).,3、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性,定理3,例如,意義,1.極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;,注意 定理3是定理4的特殊情況.,定理4,例1,解,4、初等函數(shù)的連續(xù)性,三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.,(均在其定義域內(nèi)連續(xù) ),4、初等函數(shù)的連續(xù)性,定理5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.,定理6 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.,定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的任一區(qū)間區(qū)間.,例1,解,例2,解,1. 初等函數(shù)求極限的方法代入法.,注意,2. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);,例如,這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.,在點(diǎn)x= 0的鄰域內(nèi)沒有定義.,求 f (x) 的連續(xù)區(qū)間, 就是求 f (x) 的定義區(qū)間.,3. 分段函數(shù)的連續(xù)性：各段內(nèi)部的連續(xù)性及各分段點(diǎn)處的連續(xù)性.,解,四、小結(jié),1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;,3.間斷點(diǎn)的分類與判別;,2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);,第一類間斷點(diǎn):可去型 , 跳躍型 .,第二類間斷點(diǎn):無窮型 , 振蕩型 .,間斷點(diǎn), 連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性., 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.,初等函數(shù)的連續(xù)性.,定義區(qū)間與定義域的區(qū)別; 求極限的又一種方法.,兩個(gè)定理; 兩點(diǎn)意義., 反函數(shù)的連續(xù)性.,思考題,思考題1解答,且,但反之不成立.,例,但,思考題2解答,是它的可去間斷點(diǎn),練 習(xí) 題 一,練習(xí)題一答案,練 習(xí) 題 二,練習(xí)題二答案,定理3,證,將上兩步合起來:,狄利克雷函數(shù),在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間斷點(diǎn).,僅在x=0處連續(xù), 其余各點(diǎn)處處間斷.,