函數(shù)、極限與連續(xù)(9).ppt

劉外喜 L高等數(shù)學(xué),課程介紹,課程名稱：高等數(shù)學(xué) 課程類型：公共必修課/公共基礎(chǔ)課 總學(xué)時(shí)數(shù)：70 考核方式：考試 成績(jī)：平時(shí)占30，期末考試占70 重要性和目標(biāo)：重要的基礎(chǔ)課,參考書籍,微積分學(xué)的研究對(duì)象是函數(shù)函數(shù)概念是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本而重要的概念 直到公元1837年，德國(guó)數(shù)學(xué)家P.G.L.狄利克雷（Dirichlet,1805-1859)才提出現(xiàn)今通用的函數(shù)定義，使函數(shù)關(guān)系更加明確，從而推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展和應(yīng)用,背 景,1.1 函數(shù),1.1.1 函數(shù) 1.1.2 復(fù)合函數(shù) 1.1.3 初等函數(shù),1. 我們用符號(hào)“” 表示“任取”,或“對(duì)于任意的”,或“對(duì)于所有的” ,幾種重要的符號(hào),2. 我們用符號(hào)“”表示“存在”.,例：命題“對(duì)任意的實(shí)數(shù)x, 都存在實(shí)數(shù)y, 使得x+y=1”,可表示為： “xR, yR,使x+y=1”,3. 我們用符號(hào)“”表示“充分條件”,比如, 若用p, q分別表示兩個(gè)命題或陳述句.,或 “推出” 這一意思.,則“ p q”表示： “ 若p成立, 則q也成立”,即p是q成立的充分條件.,4. 我們用符號(hào)“”表示“當(dāng)且僅當(dāng)”,比如“p q”表示“p成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立” 或者說p成立的充要條件是q成立.,或 “充要條件” 這一意思.,鄰域,當(dāng),去心鄰域,函數(shù)的概念,一、案例 二、概念和公式的引出 三、進(jìn)一步的練習(xí),我們知道，一天的氣溫隨著時(shí)間的,時(shí)間之間的變化關(guān)系呢？,變化而變化如何準(zhǔn)確地表示氣溫與,案例1 氣溫與時(shí)間的關(guān)系,案例2 圓面積公式,圓的面積A與半徑r的函數(shù)關(guān)系為,函數(shù),設(shè) x 和 y 是兩個(gè)變量，D 是一個(gè)給定的數(shù)集。,若對(duì)于x在D內(nèi)每取一個(gè)數(shù)值,變量 y 按照 一定的法則f，,總有唯一確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱 y 是 x 的函數(shù)，記,作y = f (x) ，其中 x 為自變量，y為因變量。,定義域：其中的數(shù)集D，記做Df 函數(shù)值：對(duì)應(yīng)的y取到的數(shù)值。 值域：函數(shù)值的全體，記做Rf 。,單值函數(shù)：每個(gè)x對(duì)應(yīng)唯一的y。 多值函數(shù)：每個(gè)x對(duì)應(yīng)的y不是唯一。,判斷兩個(gè)函數(shù)相同的依據(jù),定義域相同 對(duì)應(yīng)法則相同,(1)解析法,y = f (x)=x2,因變量,法則,自變量,解析法的優(yōu)點(diǎn)是便于數(shù)學(xué)上的分析和計(jì)算,(2) 列表法,列表法的優(yōu)點(diǎn)是直觀、精確,內(nèi)氣溫（單位：oC）的變化規(guī)律,下表列出了在上午10:00到中午12:00每隔,20min測(cè)得的氣溫?cái)?shù)據(jù)，由此可以觀察出這段時(shí)間,(3) 圖形法,圖形法的優(yōu)點(diǎn)是直觀、通俗、容易比較,定義域的求法,例題,練習(xí)1 自由落體運(yùn)動(dòng)方程,在自由落體運(yùn)動(dòng)中，物體下落的距離隨下落,時(shí)間的變化而變化，下落距離s與時(shí)間t之間的,其中g(shù) 為重力加速度,函數(shù)關(guān)系為:,分段函數(shù),在不同的定義域上用不同的函數(shù)表達(dá)式,表示的函數(shù)稱為分段函數(shù),絕對(duì)值函數(shù),符號(hào)函數(shù),1. 單調(diào)性.,單調(diào)遞增函數(shù)和單調(diào)遞減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).,設(shè)f (x)在(a, b)有定義. 若x1, x2(a, b). x1 x2, 有f (x1)f (x2) , 則稱f (x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增。,區(qū)間I稱為f (x)的單調(diào)區(qū)間.,三、函數(shù)的特性,如, y = x2,y=x2,0,x,y,在(, 0上單調(diào)遞減, 而在0, +)上單調(diào)遞增.,2. 奇偶性.,(1) 若xDf . 有f (x)= f (x). 則稱f (x)為偶函數(shù). 其圖形關(guān)于y 軸對(duì)稱.,(2) 若xDf. 有f (x)= f (x). 則稱f (x)為奇函數(shù). 其圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.,設(shè)f (x)的定義域?yàn)镈f ， Df并且是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的。,易見, 常函數(shù)y=c是偶函數(shù).,例題,3. 有界性,定義3.,幾何意義： 由于| f (x)|M M f (x) M.因此, f (x)在(a, b)內(nèi)有界. 就表示了f (x)的圖形夾在兩平行直線y = M 之間.,設(shè)f (x)在(a, b)有定義,若存在常數(shù)M0, 使x(a, b), 有| f (x) |M.則稱f (x)在(a, b)內(nèi)有界.,若M1, 使x(a, b), 有 f (x) M1, 則稱f (x)在(a, b)內(nèi)有上界. M1稱為它的一個(gè)上界,看圖.,若M2, 使x(a, b), 有 M2 f (x), 則稱f (x)在(a, b)內(nèi)有下界. M2稱為它的一個(gè)下界,看圖.,f (x)在(a, b)有界 f (x)在(a, b)既有上界, 又有下界.,若f (x)在(a, b)內(nèi)不滿足有界性定義3, 則稱f (x)在(a, b)無界。,即, 若對(duì)M 0, x0(a, b), 使得 | f (x0)| M, 則稱f (x)在(a, b)無界。,比如, , 在(0, 1)內(nèi)無界.,從幾何上看, 它的圖形不能全部夾在任何兩條平等于x 軸的直線之間.,4. 周期性.,設(shè)f (x)的定義域?yàn)镈f . 若存在常數(shù)l0, 使x Df. 有x l Df . 且 f (xl)=f (x).則稱f (x)為周期函數(shù). l為f (x)的周期.,最小正周期：滿足以上定義的的最小正數(shù)l 通常稱最小正周期為f (x)的周期.,易見, 若l為f (x)的周期, 則nl均為f (x)的周期, n=1,2, 。,由于周期函數(shù)的函數(shù)值是呈周期變化. 因此, 周期函數(shù)的圖形也是呈周期性變化. 會(huì)周而復(fù) 始的重復(fù)出現(xiàn). 如y=sinx, y=cosx.,如y=sinx, 2n都是sinx的周期, 其中n=1,2, 它的最小正周期為2.,是周期函數(shù),它的周期為n, n=1,2,最小正周期為.,有些周期函數(shù)沒有最小正周期.,如常數(shù)函數(shù)y=f (x)=c (常數(shù)), 是一個(gè)周期函數(shù). 任何一個(gè)大于0的常數(shù)T都是它的一個(gè)周期.,這是因?yàn)?f (x)= c= f (x+T),在這無窮多個(gè)大于0的周期T中, 找不到一個(gè)最小的正周期T.,四、反函數(shù),定義1.2中的注意點(diǎn)：,例題,注意定義域和值域,基本初等函數(shù)為以下五類函數(shù)：,， 是常數(shù),基本初等函數(shù),(1) 冪函數(shù),(2) 指數(shù)函數(shù),(3) 對(duì)數(shù)函數(shù),1.1.2 復(fù)合函數(shù),1、初等函數(shù),正弦函數(shù),余弦函數(shù),正切函數(shù),余切函數(shù),(4) 三角函數(shù),反正弦函數(shù),反