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碩士論文答辯： 有理三次Bzier樣條曲線與PH樣條曲線造型,答辯人：陳錦輝 （導(dǎo)師：彭群生教授） 浙江大學(xué)CADCG國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 2002.6,2019/7/6,2,主要工作,有理三次Bzier樣條 曲線的G 3連續(xù),以往的曲線造型設(shè)計(jì)中，一般通過改變控制頂點(diǎn)的方法使Bzier曲線樣條達(dá)到一定的連續(xù)階。 本文提出了通過調(diào)整權(quán)因子而不是改變控制頂點(diǎn)來修改有理三次Bzier樣條曲線的形狀，實(shí)現(xiàn)了相鄰兩段Bzier曲線間的G 3連續(xù)拼接；實(shí)現(xiàn)了整體G3連續(xù)的閉曲線造型。,PH樣條曲線造型,三次平面Bzier曲線在端點(diǎn)與端切矢不變的情況下，通過改變中間兩個(gè)控制頂點(diǎn)使之成為PH曲線。利用三次Bzier-PH樣條曲線直接逼近一般的Bzier曲線，并就其誤差進(jìn)行了估計(jì)。,有理Bzier曲線造型,曲線造型是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)和圖形學(xué)的基礎(chǔ) ，其典型代表： 1. 參數(shù)形式的曲線，如Bzier曲線、B-樣條曲線等； 2. 隱式曲線，如代數(shù)曲線等.,Bzier曲線是由法國工程師Bzier(1910-1999)于1962年提出的，其最初形式十分奇特，令人難以理解：,Bzier曲線,1972年，F(xiàn)orrest把Bzier曲線表示為如下形式： 其中， 為n次Bernstien基函數(shù)，Pi為控制多邊形的頂點(diǎn)。,Bzier曲線的表達(dá)形式簡單，具有很強(qiáng)的幾何直觀性，并有許多良好的性質(zhì) 。 Bzier曲線比較好地解決了整體形狀控制問題。 但Bzier多項(xiàng)式曲線對(duì)曲線拼接與局部修改仍存在著許多問題。,1974年，Gordon與Riesenfeld將Bzier曲線進(jìn)行了拓廣，把n次Bernstien基函數(shù)轉(zhuǎn)換成n次B-樣條基函數(shù)，構(gòu)造了等距節(jié)點(diǎn)B -樣條曲線。 B-樣條曲線不僅具有Bzier曲線的幾何特征，而且還具有曲線形狀局部可調(diào)及連續(xù)階數(shù)可調(diào)等Bzier曲線所沒有的特征。 Boehm和Cohem等人又給出了B-樣條曲線的節(jié)點(diǎn)插入技術(shù)和升階技術(shù)。,B-樣條曲線,有理Bzier曲線,有理Bzier曲線既能表示多項(xiàng)式曲線，又能表示圓錐曲線，可把兩者統(tǒng)一起來，便于編程。 有理Bzier曲線可表示為： 其中 ，為權(quán)因子。,有理Bzier曲線具有與Bzier曲線類似的性質(zhì)。 有理Bzier曲線在特定的線性變換下還具有形狀不變性，即其形狀取決于形狀因子。,有理Bzier曲線造型,在曲線造型設(shè)計(jì)中，一般采用改變控制頂點(diǎn)的方法來達(dá)到所需要的連續(xù)階。 在控制頂點(diǎn)給定而不能改變的情況下，通過權(quán)因子（形狀因子）的調(diào)整，利用三次Bzier曲線構(gòu)造整體連續(xù)的樣條曲線。 利用有理多項(xiàng)式曲線構(gòu)造G3連續(xù)的樣條曲線，次數(shù)最低的是有理三次Bzier曲線。,實(shí)現(xiàn)兩段有理三次Bzier曲線的連續(xù)拼接；兩段分離的有理三次Bzier曲線的連續(xù)過渡；并且實(shí)現(xiàn)了有理三次Bzier樣條曲線整體連續(xù)的閉曲線造型。 曲線間的G2連續(xù)就是曲率連續(xù)，而空間曲線間的G3連續(xù)的本質(zhì)是撓率連續(xù)。,PH樣條曲線,等距（offset）曲線曲面是基曲線曲面沿法線方向距離為d的點(diǎn)的軌跡 。 對(duì)于一條平面曲線 ，其等距距離為d的等距曲線可表示為：,等距曲線的形狀不僅受原曲線的影響，而且還受等距距離d 和局部曲率的影響。 曲線曲面的Offset一般無法表示為有理形式，從而不能被通用的CAGD系統(tǒng)處理。 九十年代初，F(xiàn)arouki給出了多項(xiàng)式曲線的等距曲線為有理曲線的充分條件Pythagorean Hodograph（簡稱PH）條件 。 呂偉給出了具有有理等距曲線的參數(shù)曲線(Offset-Rational)-OR曲線。,對(duì)等距曲線曲面目前采用的方法主要有：,等距移動(dòng)控制網(wǎng)格法 . 基圓包絡(luò)逼近法 . 基于插值或擬合的方法 .,平面三次Bzier-PH曲線,目前，大部分逼近方法所得到的等距曲線通常是Bzier曲線，但所得的Bzier曲線具有較高的次數(shù)，或需要對(duì)原曲線進(jìn)行多次離散，從而需要大量的數(shù)據(jù)存貯。 根據(jù)PH條件，得出了平面三次Bzier曲線在端點(diǎn)與端切矢不變的情況下，通過改變中間兩個(gè)控制頂點(diǎn)使之成為PH曲線平面三次Bzier-PH曲線。 利用所得的平面三次Bzier-PH曲線逼近一般的平面曲線，從而得到原曲線的等距曲線。,連續(xù)的有理三次 Bzier樣條曲線造型,有理三次Bzier曲線 的各階端點(diǎn)切向量,平面有理三次Bzier曲線： 兩個(gè)獨(dú)立的參數(shù)為形狀參數(shù)(形狀因子)：,有理三次Bzier曲線端點(diǎn) 處的各階導(dǎo)數(shù),兩段有理三次Bzier曲線段的G3連續(xù)拼接,兩段有理三次Bzier曲線 、 ：,兩段相鄰的有理三次Bzier曲線,P0,P1,P2,P3,P4,P5,P6,兩段相鄰的有理三次Bzier 曲線的G 2連續(xù)條件,三點(diǎn)共線.,.,五點(diǎn)必共面.,.,2.,1.,等號(hào)兩邊同時(shí)與 作叉積，并經(jīng)過計(jì)算整理可以得到：,G 2 連續(xù)為曲率連續(xù),計(jì)算出曲線段在P3點(diǎn)處的曲率：,則：,三次多項(xiàng)式Bzier曲線與有理三次Bzier曲線的比較,(a) 兩段三次多項(xiàng)式Bzier曲線,(b)兩段有理三次Bzier曲線,在兩段曲線的連接處，(a)曲率明顯不連續(xù)；而（b)曲率是連續(xù)的。,兩段有理三次Bzier曲線段的G 3連續(xù)拼接,兩段有理三次Bzier曲線段的G 3連續(xù)條件,1.,2.,3.,式3可用形狀參數(shù)及幾何參數(shù)表示 ( ),不共面,G 3連續(xù)的實(shí)質(zhì)是撓率連續(xù),當(dāng) P0 、P1、P2、P3共面時(shí),將P0 、 P6點(diǎn)沿著點(diǎn)P1、P2、P3所在的平面 法向N 方向作一個(gè)小的擾動(dòng)變成 、,用形狀參數(shù)及幾何參數(shù)表示：,對(duì)平面控制頂點(diǎn)而言，通過上兩式選擇形狀參數(shù) 就可使相鄰兩段有理三次Bzier曲線達(dá)到G3連續(xù)。,兩段有理三次Bzier曲線段的過渡曲線,兩段給定曲線的過渡曲線,給定平面上兩段分離的有理三次Bzier曲線段C1、 C2要確定有理三次Bzier曲線段C必須確定它的控制頂點(diǎn) 及形狀參數(shù) 要使過渡曲線C與C 1、C 2分別在點(diǎn)R0及R3點(diǎn)達(dá)到G 3連續(xù)，則 與R1、R2必須滿足如下方程：,過渡曲線控制頂點(diǎn)的求法,其中s是一個(gè)與 無關(guān)的常數(shù),設(shè) ，則：,從而,，同理可以求出 。,利用有理三次Bzier曲線段 進(jìn)行閉曲線造型,給定平面上m(=3n+1)個(gè)點(diǎn)P1，P2，P3n，P3n+1，并且P3n+1=P1，要求構(gòu)造一條有理三次Bzier樣條曲線，以給定的點(diǎn)為控制頂點(diǎn)，并達(dá)到一定的幾何連續(xù)階。,G 1連續(xù)條件的圖示,1、G 1連續(xù)條件 P3i，P3i+1，P3i+2(i=1，n-1)共線 2、G 2連續(xù)閉曲線條件 不再改變控制頂點(diǎn)，通過調(diào)整形狀參數(shù)使它們達(dá)到G 2連續(xù)。 3、G 3連續(xù)閉曲線造型 首末兩段曲線一般不能達(dá)到連續(xù)，先構(gòu)造一條連續(xù)的開曲線樣條，再構(gòu)造一段G 3連續(xù)的過渡曲線。,小 結(jié),通過改變形狀參數(shù)而不是通過改變控制頂點(diǎn)的方法來控制曲線的形狀及協(xié)調(diào)曲線段之間的幾何連續(xù)性。 能否將該思想推廣到曲面，這對(duì)于洞的填補(bǔ)、曲面的拼接具有十分重大的意義,PH樣條曲線造型,等距（offset）曲線曲面是基曲線曲面沿法線方向距離為d的點(diǎn)的軌跡。 對(duì)于一條平面曲線 其等距距離為d的等距曲線可表示為：,平面三次Bzier曲線為 PH曲線的條件,平面三次Bzier曲線： 曲線r (t)為PH曲線的充要條件為：,三次Bzier曲線為PH曲線的條件,改變控制頂點(diǎn)使三次Bzier 曲線為PH曲線,給定一條平面三次Bzier曲線r (t)，在起點(diǎn)與終點(diǎn)不變，且端切矢相同的情況下，可以通過改變中間兩個(gè)控制點(diǎn)P1、P2使之成為PH曲線。,改變Bzier曲線的控制頂點(diǎn)成為PH曲線,1. 當(dāng) 時(shí)， 如果 ，則： 如果 ，則： （其中 ）,Q1，Q2的坐標(biāo)分別為,2. 當(dāng) 時(shí)，設(shè) 則： Q1，Q2的坐標(biāo)分別為,控制多邊形的兩邊平行時(shí) Bzier-PH曲線的構(gòu)造,3. 當(dāng) 時(shí)， 如果 ，則,如果 ，則： 如果 ，則： （對(duì)于后兩種情況所得的PH曲線為反方向，因此其逼近效果不好。),控制多邊形的兩個(gè)底角之和 大于 時(shí)PH曲線的構(gòu)造,Bzier曲線于由其生成的三次 Bzier-PH曲線之間的比較,逼近精度30，分割次數(shù)5,逼近精度20，分割次數(shù)8,逼近精度50，分割次數(shù)10,Bzier曲線與三次Bzier-PH 曲線之間的誤差,平面三次Bzier曲線 由其生成的Bzier-PH曲線 兩條曲線之間的誤差：,四次Bzier曲線與三次Bzier-PH 曲線之間的誤差,四次