2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明2.2直接證明與間接證明2.2.1直接證明講義含解析蘇教版.docx

2.2.1直 接 證 明對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P261若實(shí)數(shù)a，b滿足ab3，證明：2a2b4.證明：因?yàn)?a2b22，又ab3，所以2a2b24.故2a2b4成立問(wèn)題1：本題利用什么公式？提示：基本不等式問(wèn)題2：本題證明順序是什么？提示：從已知到結(jié)論2求證：22. 證明：要證明20,20，只需證明(2)2(2)2，展開(kāi)得114114，只需證明67，顯然67成立所以2.證明：a0，b0，c0，且abc1，bccaab.又bcca222，同理bcab2，caab2.a、b、c不全相等上述三個(gè)不等式中的“”不能同時(shí)成立2(bccaab)2()，即bccaab，故.2.(1)如圖，證明命題“a是平面內(nèi)的一條直線，b是外的一條直線(b不垂直于)，c是直線b在上的投影，若ab，則ac”為真；(2)寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假(不需證明)解：(1)證明：法一：如圖，過(guò)直線b上任一點(diǎn)作平面的垂線n，設(shè)直線a，b，c，n的方向向量分別是a，b，c，n，則b，c，n共面根據(jù)平面向量基本定理，存在實(shí)數(shù)，使得cbn，則aca(bn)(ab)(an)，因?yàn)閍b，所以ab0，又因?yàn)閍，n，所以an0，故ac0，從而ac.法二：如圖，記cbA，P為直線b上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，過(guò)P作PO，垂足為O，則Oc.PO，a，直線POa.又ab，b平面PAO，PObP，a平面PAO.又c平面PAO，ac.(2)逆命題為：a 是平面內(nèi)的一條直線，b是外的一條直線(b不垂直于)，c是直線b在上的投影，若ac，則ab.逆命題為真命題分析法的應(yīng)用例2已知ab0，求證：.思路點(diǎn)撥本題條件較為簡(jiǎn)單，結(jié)論比較復(fù)雜，我們可以從要證的結(jié)論入手，一步步探求結(jié)論成立的充分條件，即用分析法精解詳析要證明成立，只需證ab2成立，即證()2成立只需證成立只需證1成立，即證2，即b0，成立成立一點(diǎn)通在已知條件較為簡(jiǎn)單，所要證的問(wèn)題較為復(fù)雜，無(wú)從入手的情況下，我們可從結(jié)論入手逆推，執(zhí)果索因，找到結(jié)論成立的條件，注明必要的文字說(shuō)明，再用綜合法寫出步驟3若P，Q，a0，求證：PQ.證明：要證PQ，主要證P2Q2，只要證2a722a72，即證a27aa27a12，即證012.因?yàn)?12成立，所以PQ成立4已知a、b是正實(shí)數(shù)，求證： .證明：要證 ，只需證ab()即證(ab)()()，即證ab.也就是要證ab2.因?yàn)閍，b為正實(shí)數(shù)，所以ab2成立，所以 .綜合法與分析法的綜合應(yīng)用例3已知0a1,0b1,0c1，求證：1.思路點(diǎn)撥因?yàn)?a1,0b1,00，b0，c0，要證1，只需證1abbccaabcabc，即證1abbcca(abcabc)0.1abbcca(abcabc)(1a)b(a1)c(a1)bc(1a)(1a)(1bcbc)(1a)(1b)(1c)，又a1，b1，c1，(1a)(1b)(1c)0，1abbcca(abcabc)0成立，即證明了1.一點(diǎn)通(1)較為復(fù)雜問(wèn)題的證明如單純利用分析法和綜合法證明較困難，這時(shí)可考慮分析法、綜合法輪流使用以達(dá)到證題目的(2)綜合法和分析法的綜合應(yīng)用過(guò)程既可先用分析法再用綜合法，也可先用綜合法再用分析法，一般無(wú)具體要求，只要達(dá)到證題的目的即可5在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列求證：.證明：要證，只需證3，即1，只需證1，即1.下面證明：1.AC2B，ABC180，B60.b2a2c2ac.1.故原等式成立6若a，b，c是不全相等的正數(shù)求證：lglglglg alg blg c.證明：要證lglglglg alg blg c成立，即證lglg(abc)成立，只需證abc成立，0，0，0，abc0，(*)又a，b，c是不全相等的正數(shù)，(*)式等號(hào)不成立，原不等式成立1綜合法是由因?qū)Ч?，步驟嚴(yán)謹(jǐn)，逐層遞進(jìn)、步步為營(yíng)，書(shū)寫表達(dá)過(guò)程是條理清晰、形式簡(jiǎn)潔，宜于表達(dá)推理的思維軌跡、缺點(diǎn)是探路艱難，不易達(dá)到所要證明的結(jié)論2分析法是執(zhí)果索因，方向明確、利于思考，便于尋找解題思路缺點(diǎn)是思路逆行、敘述繁瑣、表述易出錯(cuò)3在解決一個(gè)問(wèn)題時(shí)，我們常常把綜合法和分析法結(jié)合起來(lái)使用根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論P(yáng)1；根據(jù)原結(jié)論的特點(diǎn)去尋求使結(jié)論成立的條件，尋找到條件P2；當(dāng)由P1可以推出P2時(shí)，結(jié)論得證一、填空題1在ABC中，AB是sin Asin B的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析：在ABC中，由正弦定理得.又AB，ab，sin Asin B反之，若sin Asin B，則ab，ABAB是sin Asin B的充要條件答案：充要2設(shè)nN，則_(判斷大小)解析：要證，只需證，只需證()2()2，即2n522n52.只需證，只需證(n1)(n4)(n2)(n3)，即n25n4n25n6，即46即可而46成立，故.答案：ab，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件是_解析：ababaabba()b()(ab)()0()()20，故只需ab且a，b都不小于零即可答案：a0，b0且ab4若三棱錐SABC中，SABC，SBAC，則S在底面ABC上的射影為ABC的_(填重心、垂心、內(nèi)心、外心之一)解析：如圖，設(shè)S在底面ABC上的射影為點(diǎn)O，SO平面ABC，連接AO，BO，SABC，SOBC，BC平面SAO，BCAO.同理可證，ACBO.O為ABC的垂心答案：垂心5已知函數(shù)f(x)10x，a0，b0，Af，Bf，Cf，則A，B，C的大小關(guān)系為_(kāi)解析：由，又f(x)10x在R上是單調(diào)增函數(shù)，所以fff，即ABC.答案：ABC二、解答題6已知函數(shù)f(x)log2(x2)，a，b，c是兩兩不相等的正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，試判斷f(a)f(c)與2f(b)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論解：f(a)f(c)2f(b)證明如下：因?yàn)閍，b，c是兩兩不相等的正數(shù)，所以ac2.因?yàn)閎2ac，所以ac2(ac)b24b，即ac2(ac)4b24b4，從而(a2)(c2)(b2)2.因?yàn)閒(x)log2(x2)是增函數(shù)，所以log2(a2)(c2)log2(b2)2，即log2(a2)log2(c2)2log2(b2)故f(a)f(c)2f(b)7已知a0，用分析法證明： a2.證明：要證 a2，只需證 2a.因?yàn)閍0，故只需證22，即a24 4a222 2，從而只需證2 ，只需證42，即a22，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立8(江蘇高考改編)設(shè)an是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列(d0)，Sn是其前n項(xiàng)的和記bn，nN*，其中 c為實(shí)數(shù)若c0，且b1