2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1部分第2章圓錐曲線與方程2.2橢圓2.2.2橢圓的幾何性質(zhì)講義含解析.docx

22.2橢圓的幾何性質(zhì)建立了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，我們就可以通過方程研究橢圓的幾何性質(zhì)以方程1(ab0)為例，試著完成下列問題：問題1：方程中對x，y有限制的范圍嗎？提示：由10，得axa.同理byb.問題2：在方程中，用x代x，y代y，方程的形式是否發(fā)生了變化？提示：不變問題3：方程與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是什么？提示：令x0，得yb； 令y0，得xa；與x軸的交點(diǎn)為(a,0)，(a,0)，與y軸的交點(diǎn)為(0，b)，(0，b)橢圓的幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)范圍axa，bybaya，bxb頂點(diǎn)(a,0)，(0，b)(0，a)，(b,0)軸長短軸長2b，長軸長2a焦點(diǎn)(c,0)(0，c)焦距F1F22c對稱性對稱軸x軸，y軸，對稱中心(0,0)離心率e(0,1)1橢圓的對稱性橢圓的圖像關(guān)于x軸成軸對稱，關(guān)于y軸成軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱2橢圓的離心率與橢圓形狀變化間的關(guān)系(1)0e4時(shí)，由c2a2b2m4，得.解得m.當(dāng)mb0)由已知a2b，且橢圓過點(diǎn)(2，6)，從而有1或1.由得a2148，b237或a252，b213.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.一點(diǎn)通在求橢圓方程時(shí)，要注意根據(jù)題目條件判斷焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，從而確定方程的形式，若不能確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，則應(yīng)進(jìn)行討論一般地，已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可以確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；而已知橢圓的離心率、長軸長、短軸長或焦距時(shí)，則不能確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸3已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為，且G上一點(diǎn)到G的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓G的方程為_解析：由題意得2a12，所以a6，c3，b3.故橢圓方程為1.答案：14求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)在y軸上，焦距是4，且經(jīng)過點(diǎn)M(3,2)；(2)離心率為，且橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和為26.解：(1)由焦距是4可得c2，且焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，(0,2)由橢圓的定義知，2a8，所以a4，所以b2a2c216412.又焦點(diǎn)在y軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由題意知，2a26，即a13，又e，所以c5，所以b2a2c213252144，因?yàn)榻裹c(diǎn)所在的坐標(biāo)軸不確定，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.與橢圓離心率有關(guān)的問題例3已知橢圓M：1(ab0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.P是橢圓M上的任一點(diǎn)，且PF1PF2的最大值的取值范圍為，其中c2a2b2，求橢圓的離心率的取值范圍思路點(diǎn)撥由P是橢圓上一點(diǎn)，知PF1PF22a，進(jìn)而設(shè)法求出PF1PF2的最大值，再由已知的范圍求出離心率e的范圍精解詳析P是橢圓上一點(diǎn)，PF1PF22a，2aPF1PF22 ，即PF1PF2a2，當(dāng)且僅當(dāng)PF1PF2時(shí)取等號(hào)c2a23c2，2，e22，e.0e1，eb0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為橢圓M上任一點(diǎn)，且的最大值的取值范圍是c2,3c2，其中c，則橢圓M的離心率e的取值范圍是_解析：設(shè)P(x，y)、F1(c,0)、F2(c,0)，則(cx，y)，(cx，y)，x2y2c2，又x2y2可看作P(x，y)到原點(diǎn)的距離的平方，所以(x2y2)maxa2，()maxb2，所以c2b2a2c23c2，即e2，所以e.答案：與橢圓相關(guān)的應(yīng)用問題例4某宇宙飛船的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)地球半徑為R，若其近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離分別大約是R、R，求此宇宙飛船運(yùn)行的軌道方程思路點(diǎn)撥根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，設(shè)出橢圓方程，構(gòu)造方程，求得宇宙飛船運(yùn)行的軌道方程精解詳析如圖所示，以運(yùn)行軌道的中心為原點(diǎn)，其與地心的連線為x軸建立坐標(biāo)系，且令地心F2為橢圓的右焦點(diǎn)，則軌道方程為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，不妨設(shè)為1(ab0)，則地心F2的坐標(biāo)為(c,0)，其中a2b2c2，則解得b2a2c222R2.此宇宙飛船運(yùn)行的軌道方程為1.一點(diǎn)通解決此類問題，首先要根據(jù)條件建立平面直角坐標(biāo)系，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為有關(guān)橢圓的問題，再將條件轉(zhuǎn)化為a，b，c的關(guān)系，進(jìn)而求出橢圓方程，解決其它問題注意：(1)橢圓方程中變量的范圍對實(shí)際問題的限制；(2)最后要將數(shù)學(xué)模型還原回實(shí)際問題作答7某航天飛行控制中心對某衛(wèi)星成功實(shí)施了第二次近月制動(dòng)，衛(wèi)星順利進(jìn)入周期為3.5 h的環(huán)月小橢圓軌道(以月球球心為焦點(diǎn))衛(wèi)星遠(yuǎn)月點(diǎn)(距離月球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn))高度降至1 700 km，近月點(diǎn)(距離月球表面最近的點(diǎn))高度是200 km，月球的半徑約是1 800 km，且近月點(diǎn)、遠(yuǎn)月點(diǎn)及月球的球心在同一直線上，此時(shí)小橢圓軌道的離心率是_解析：可設(shè)小橢圓的長軸長為2a，焦距為2c，由已知得2a1 70021 800200，a2 750.又a2c1 7001 800，c375.e.答案：8已知某荒漠上F1、F2兩點(diǎn)相距2 km，現(xiàn)準(zhǔn)備在荒漠上開墾出一片以F1、F2為一條對角線的平行四邊形區(qū)域，建農(nóng)藝園按照規(guī)劃，平行四邊形區(qū)域邊界總長為8 km.(1)試求平行四邊形另兩個(gè)頂點(diǎn)的軌跡方程；(2)問農(nóng)藝園的最大面積能達(dá)到多少？解：(1)以F1F2所在直線為x軸，F(xiàn)1F2的中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)設(shè)平行四邊形的另兩個(gè)頂點(diǎn)為P(x，y)，Q(x，y)，則由已知得PF1PF24.由橢圓定義知點(diǎn)P在以F1、F2為焦點(diǎn)，以4為長軸長的橢圓上，此時(shí)a2，c1，則b.P點(diǎn)的軌跡方程為1(y0)，同理Q點(diǎn)軌跡方程同上(2)SPF1QF2F1F2|yP|2cb2(km2)，所以當(dāng)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，農(nóng)藝園的面積最大為2 km2.1橢圓的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心坐標(biāo)等幾何性質(zhì)與坐標(biāo)有關(guān)，它們反映了橢圓在平面內(nèi)的位置2橢圓的長軸長、短軸長、焦距、離心率等幾何性質(zhì)與坐標(biāo)無關(guān)，它們反映了橢圓的形狀3討論與坐標(biāo)有關(guān)的幾何性質(zhì)應(yīng)先由焦點(diǎn)確定出橢圓的類型，不能確定的應(yīng)分焦點(diǎn)在x軸上、y軸上進(jìn)行討論對應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(九) 1(新課標(biāo)全國卷改編)設(shè)橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2F1F2，PF1F230，則C的離心率為_解析：法一：由題意可設(shè)|PF2|m，結(jié)合條件可知|PF1|2m，|F1F2|m，故離心率e.法二：由PF2F1F2可知P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c，將xc代入橢圓方程可解得y，所以|PF2|.又由PF1F230可得|F1F2|PF2|，故2c，變形可得(a2c2)2ac，等式兩邊同除以a2，得(1e2)2e，解得e或e(舍去)答案：2(廣東高考改編)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是_解析：依題意，設(shè)橢圓方程為1(ab0)，所以解得a24，b23.答案：13曲線1與曲線1(kb0)的離心率是，過橢圓上一點(diǎn)M作直線MA，MB分別交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k1，k2，若點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，則k1k2的值為_解析：設(shè)點(diǎn)M(x，y)，A(x1，y1)，B(x1，y1)，則y2b2，yb2.所以k1k21e21，即k1k2的值為.答案：5設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線x上一點(diǎn)，F(xiàn)2PF1是底角為30的等腰三角形，則E的離心率是_解析：設(shè)直線x與x軸交于點(diǎn)M，則PF2M60.由題意知，F(xiàn)1F2PF22c，F(xiàn)2Mc.在RtPF2M中，F(xiàn)2MPF2，即cc.e.答案：6已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率e，經(jīng)過點(diǎn)A(，2)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，則1.由已知e，ca.b2a2c2a2(a)2，即b2a2.把代入，得1，解得a225，b216，所求方程為1.7已知橢圓x2(m3)y2m(m0)的離心率e，求m的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)解：橢圓方程可化為1，由m0，易知m，a2m，b2.c.由e，得 ，解得m1，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.a1，b，c.橢圓的長軸長為2，短軸長為1，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1，F(xiàn)2，頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A1(1,0)，A2(1,0)，B1，B2.8若橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，