2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1部分第2章圓錐曲線與方程2.3雙曲線2.3.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程講義含解析.docx

23.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程在平面直角坐標(biāo)系中A(3,0)，B(3,0)，C(0，3)，D(0，3)問題1：若動(dòng)點(diǎn)M滿足|MAMB|4，設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，則x，y滿足什么關(guān)系？提示：1.問題2：若動(dòng)點(diǎn)M滿足|MCMD|4，設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，則x，y滿足什么關(guān)系？提示：1. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦點(diǎn)坐標(biāo)(c,0)(0，c)a，b，c的關(guān)系c2a2b21雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓不同，左邊是含x，y項(xiàng)的平方差，右邊是1.2在雙曲線中，a0且b0，但a與b的大小關(guān)系不確定3在雙曲線中a、b、c滿足c2a2b2，與橢圓不同用待定系數(shù)法求雙曲線方程例1已知雙曲線過點(diǎn)P(，)，Q兩點(diǎn)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程思路點(diǎn)撥解答本題可分情況設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再構(gòu)造關(guān)于a、b、c的方程組求解，從而得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程也可以設(shè)雙曲線方程為mx2ny21(mn0，b0)，P(，)，Q兩點(diǎn)在雙曲線上解得即a21，b23，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為1(a0，b0)，P(，)，Q 兩點(diǎn)在雙曲線上，解得(不符合題意，舍去)綜上：所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.法二：設(shè)雙曲線的方程為mx2ny21(mn0)，因?yàn)殡p曲線過兩點(diǎn)P(，)，Q，得解得所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.一點(diǎn)通用待定系數(shù)法求雙曲線方程的一般步驟為：1根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)已知雙曲線與橢圓1有共同的焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(，4)，求雙曲線的方程；(2)c，經(jīng)過點(diǎn)(5,2)，焦點(diǎn)在x軸上解：(1)橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)，故可設(shè)雙曲線的方程為1.由題意，知解得故雙曲線的方程為1.(2)焦點(diǎn)在x軸上，c，設(shè)所求雙曲線方程為1(其中05.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(5，)一點(diǎn)通給出方程1(mn0)，當(dāng)mn0時(shí)，方程表示雙曲線，當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線3k9是方程1表示雙曲線的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析：1表示雙曲線的充要條件是(9k)(k4)0，即k9或k4.因?yàn)閗9是k9或k4的充分不必要條件即k9是方程1表示雙曲線的充分不必要條件答案：充分不必要4若方程1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_；若該方程表示雙曲線，則m的取值范圍是_解析：若表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則3m2.若該方程表示雙曲線，則(2m)(|m|3)0.解得3m3.答案：(3,2)(3,2)(3，)雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用例3已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且PF1PF232，試求F1PF2的面積思路點(diǎn)撥本題是有關(guān)雙曲線的焦點(diǎn)三角形問題，解答本題的關(guān)鍵是求得F1PF2的大小由余弦定理，根據(jù)已知條件，結(jié)合雙曲線的定義即可求得結(jié)果精解詳析雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，可知a3，b4，c5.由雙曲線的定義，得|PF2PF1|2a6，將此式兩邊平方，得PFPF2PF1PF236，PFPF362PF1PF236232100.在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF20，F(xiàn)1PF290，SF1PF2PF1PF23216.一點(diǎn)通在解決雙曲線中與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題時(shí)，首先要考慮定義|PF1PF2|2a，其次要利用余弦定理(或勾股定理)建立關(guān)于PF1、PF2、F1F2的方程，解方程組可求得PF1、PF2或PF1PF2，再解決相關(guān)問題5已知雙曲線1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，且PF與圓x2y216相切于點(diǎn)N，M為線段PF的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則MNMO_.解析：如圖，設(shè)F是雙曲線的右焦點(diǎn)，連接PF，因?yàn)镸，O分別是FP，F(xiàn)F的中點(diǎn)，所以MOPF，又FN5，由雙曲線的定義知PFPF8，故MNMOPFMFFN(PFPF)FN851.答案：16如圖所示，已知定圓F1：x2y210x240，定圓F2：x2y210x90，動(dòng)圓M與定圓F1，F(xiàn)2都外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程解：圓F1：(x5)2y21，圓F2：(x5)2y242，F(xiàn)1(5,0)，半徑r11；F2(5,0)，半徑r24.設(shè)動(dòng)圓M的半徑為R，則MF1R1，MF2R4，MF2MF13F1F210.動(dòng)圓圓心M的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線左支，且a，c5.b225.動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為1(x)1用定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要注意是一支還是兩支2用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要先判斷焦點(diǎn)所在的位置，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，由條件列出a，b，c的方程組對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(十) 1雙曲線1上的點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為11，則它到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為_解析：設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，不妨設(shè)PF111，根據(jù)雙曲線的定義知|PF1PF2|2a10，PF21或PF221，而F1F214，當(dāng)PF21時(shí)，11114(舍去)，PF221.答案：212已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線1的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，I是PF1F2的內(nèi)心，且SIPF 2SIPF1SIF1F2，則_.解析：設(shè)PF1F2內(nèi)切圓的半徑為r，則由SIPF 2SIPF 1SIF 1F 2PF2rPF1rF1F2r PF1PF2F1F2，根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知2a2c，.答案：3若方程1(kR)表示雙曲線，則k的范圍是_解析：依題意可知：(k3)(k3)0，求得3k3.答案：3k0，且焦點(diǎn)在x軸上，根據(jù)題意知4a2a2，即a2a20，解得a1或a2(舍去)故實(shí)數(shù)a1.答案：15已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，M是此雙曲線上的一點(diǎn)，且滿足0，|2，則該雙曲線的方程是_解析：0，.|2|240.(|)2|22|2402236.|62a，a3.又c，b2c2a21，雙曲線方程為y21.答案：y216求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)以橢圓1的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)P(5，)；(2)過點(diǎn)P1(3，4 )，P2(，5)解：(1)因?yàn)闄E圓1的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為A1(5,0)，A2(5,0)，所以所求雙曲線的焦點(diǎn)為F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)由雙曲線的定義知，|PF1PF2| 8，即2a8，則a4.又c5，所以b2c2a29.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)雙曲線的方程為Ax2By21(AB0)，分別將點(diǎn)P1(3，4 )，P2(，5)代入，得解得故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.7設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線y21的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足F1PF2120.求F1PF2的面積解：由已知得a2，b1；c ，由余弦定理得：F1FPFPF2PF1PF2cos 120即(2 )2(PF1PF2)23PF1PF2|PF1PF2|4.PF1PF2.SF1PF2PF1PF2sin 120.8. 如圖，在ABC中，已知|AB|4 ，且三內(nèi)角A，B，C滿足2sin Asin C2sin B，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求頂點(diǎn)C的軌跡方程解： 以AB邊