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光纖傳輸?shù)幕纠碚?返回主目錄,光纖結(jié)構,光纖如何導光？ 如何分析光纖傳輸？ 幾何光學法 麥克斯韋波動方程法,根據(jù)全反射原理， 存在一個臨界角c。 當c時，相應的光線將在交界面折射進入包層并逐漸消失，如光線3。 由此可見，只有在半錐角為c的圓錐內(nèi)入射的光束才能在光纖中傳播。,Acceptance angle: (接受角),定義臨界角c的正弦為數(shù)值孔徑(Numerical Aperture, NA)。根據(jù)定義和斯奈爾定律 NA=n0sinc=n1cosc ， n1sinc =n2sin90 (1.2) n0=1，由式（2.2）經(jīng)簡單計算得到,式中=(n1-n2)/n1為纖芯與包層相對折射率差。 NA表示光纖接收和傳輸光的能力。 ？NA越大越好，or 越小越好？ NA(或c)越大，光纖接收光的能力越強，從光源到光纖的耦合效率越高。 對于無損耗光纖，在c內(nèi)的入射光都能在光纖中傳輸。 NA越大， 纖芯對光能量的束縛越強，光纖抗彎曲性能越好; 但NA越大，經(jīng)光纖傳輸后產(chǎn)生的信號畸變越大，因而限制了信息傳輸容量。 所以要根據(jù)實際使用場合，選擇適當?shù)腘A。,(1.3),我要提問！,時間延遲 根據(jù)圖1.4，入射角為的光線在長度為L(ox)的光纖中傳輸，所經(jīng)歷的路程為l(oy)， 在不大的條件下，其傳播時間即時間延遲為,式中c為真空中的光速。由式(2.4)得到最大入射角(=c)和最小入射角(=0)的光線之間時間延遲差近似為,(1.4),(5.5),這種時間延遲差在時域產(chǎn)生脈沖展寬，或稱為信號畸變。 由此可見，突變型多模光纖的信號畸變是由于不同入射角的光線經(jīng)光纖傳輸后，其時間延遲不同而產(chǎn)生的。,式中，n1和n2分別為纖芯中心和包層的折射率， r和a分別為徑向坐標和纖芯半徑，=(n1-n2)/n1為相對折射率差，g為折射率分布指數(shù) g， (r/a)0的極限條件下，式(2.6)表示突變型多模光纖的折射率分布 g=2，n(r)按平方律(拋物線)變化，表示常規(guī)漸變型多模光纖的折射率分布。具有這種分布的光纖，不同入射角的光線會聚在中心軸線的一點上，因而脈沖展寬減小,2. 漸變型多模光纖 漸變型多模光纖具有能減小脈沖展寬、增加帶寬的優(yōu)點。 漸變型光纖折射率分布的普遍公式為,由于漸變型多模光纖折射率分布是徑向坐標r的函數(shù)，纖芯各點數(shù)值孔徑不同. 局部數(shù)值孔徑NA(r)和最大數(shù)值孔徑NAmax,漸變折射率光纖的纖芯可以看作是一組層與層之間有細微的折射率變化的薄層, 其中在中心軸線處的層具有的折射率為n1，在包層邊界的折射率為n2。這也是制造商如何來制造光纖的方法。,圖 1.5 漸變型多模光纖的光線傳播原理,射線方程的解,式中，為特定光線的位置矢量， s為從某一固定參考點起的光線長度。選用圓柱坐標(r, ，z)，把漸變型多模光纖的子午面(r - z)示于圖1.5。 如式(1.6)所示，一般光纖相對折射率差都很小，光線和中心軸線z的夾角也很小，即sin。由于折射率分布具有圓對稱性和沿軸線的均勻性，n與和z無關。在這些條件下， 式(1.7)可簡化為,(1.8),射線方程的解 用幾何光學方法分析漸變型多模光纖要求解射線方程， 射線方程一般形式為,(1.7),解這個二階微分方程， 得到光線的軌跡為 r(z)=C1sin(Az)+C2 cos(Az) (1.10) 式中，A= ， C1和C2是待定常數(shù)，由邊界條件確定。 設光線以0從特定點(z=0, r=ri)入射到光纖，并在任意點(z, r)以*從光纖射出。 由方程(1.10)及其微分得到,(1.9),把式(1.6)和g=2代入式(1.8)得到,由圖1.5的入射光得到dr/dz=tanii0/n(r)0/n(0)， 把這個近似關系代入式 (1.11) 得到,由出射光線得到dr/dz=tan*/n(r)，由這個近似關系和對式(2.10)微分得到,*=-An(r)risin(Az)+0 cos(Az) (1.12b) 取n(r)n(0)，由式(2.12)得到光線軌跡的普遍公式為,r *,=,cos(Az) -An(0) sin(Az) cos(Az),r1,這個公式是自聚焦透鏡的理論依據(jù)。,(1.13),由此可見，漸變型多模光纖的光線軌跡是傳輸距離z的正弦函數(shù)，對于確定的光纖，其幅度的大小取決于入射角0， 其周期=2/A=2a/ ， 取決于光纖的結(jié)構參數(shù)(a, )， 而與入射角0無關。, 自聚焦效應 為觀察方便，把光線入射點移到中心軸線(z=0, ri=0)，由式(1.12)和式(1.13)得到,(1.14a),這說明不同入射角相應的光線， 雖然經(jīng)歷的路程不同，但是最終都會聚在P點上，見圖1.5和圖1.2(b)， 這種現(xiàn)象稱為自聚焦(Self-Focusing)效應。,漸變型多模光纖具有自聚焦效應，不僅不同入射角相應的光線會聚在同一點上，而且這些光線的時間延遲也近似相等。,1.2.2 光纖傳輸?shù)牟▌永碚?波動理論是一種比幾何光學方法更為嚴格的分析方法，其嚴格性在于： (1)從光波的本質(zhì)特性電磁波出發(fā)，通過求解電磁波所遵從的麥克斯韋方程，導出電磁場的場分布,具有理論上的嚴謹性； (2) 未作任何前提近似，因此適用于各種折射率分布的單模和多模光波導。,Maxwell方程組 求解思路 模式的概念 光纖模場求解,MAXWELLS EQUATIONS B = 0 D = E = B/t H = J +D/t From the first line, the normal components of D and B are continuous across a dielectric interface From the second line, the tangential components of E and H are continuous across a dielectric interface,分析思路,麥克斯韋方程組,波動方程 （亥姆赫茲方程）,特征方程,本征解,傳輸特性分析,分離變量,電矢量與磁矢量分離: 可得到只與電場強度E(x,y,z,t)有關的方程式及只與磁場強度H(x,y,z,t)有關的方程式； 時、空坐標分離: 亥姆霍茲方程，是關于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式； 空間坐標縱、橫分離：波導場方程，是關于E(x,y)和H(x,y)的方程式； 邊界條件：在兩種介質(zhì)交界面上電磁場矢量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要連續(xù)。,麥克斯韋方程組,波動方程,？,電矢量與磁矢量分離: 可得到只與電場強度E(x,y,z,t)有關的方程式及只與磁場強度H(x,y,z,t)有關的方程式；,時、空坐標分離：亥姆霍茲方程，是關于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式,單色波：,矢量的Helmholtz方程,空間坐標縱、橫分離：得到關于E(x,y)和H(x,y)的方程式；,用縱向場表示橫向場,波動光學方法的最基本方程。它是一個典型的本征方程。當給定波導的邊界條件時，求解波導場方程可得本征解及相應的本征值。通常將本征解定義為“模式”。,模式的概念,從而光場可表示為分離的形式：,式中 為相移常數(shù)，也稱為傳播常數(shù)； 和 都是復矢量，有幅度、相位和方向，表示了 和 沿光纖橫截面的分布，稱為模式場。,特征解模式,根據(jù)偏微分方程理論，對于給定的邊界條件，簡化的麥克斯韋方程組有無窮多個離散的特征解，并可進行排序。每一個特征解為：,一個特征解為一個模式，光纖中總的光場分布則是這些模式的線性組合：,一系列模式可以看成是一個光波導的場分布的空間譜。,模式的基本特性,穩(wěn)定性：一個模式沿縱向傳輸時，其場分布形式不變，即沿z方向有穩(wěn)定的分布。 有序性：模式是波動方程的一系列特征解，是離散的、可以排序的。排序方法有兩種：一種是以傳播常數(shù) 的大小排序， 越大，序號越??；另一種是以兩個自變量 排序，所以有兩列序號。 疊加性：光波導中總的場分布是這些模式的線性疊加。 正交性：一個正規(guī)光波導的不同模式之間滿足正交關系。,模式的基本特征,每一個模式對應于沿光波導軸向傳播的一種電磁波； 每一個模式對應于某一本征值并滿足全部邊界條件； 模式具有確定的相速群速和橫場分布。 模式是波導結(jié)構的固有電磁共振屬性的表征。給定的波導中能夠存在的模式及其性質(zhì)是已確定了的，外界激勵源只能激勵起光波導中允許存在的模式而不會改變模式的固有性質(zhì)。,數(shù)學表達式： 物理意義： 光波導中所有模式（導模、漏摸、輻射摸）相互正交，模式獨立載運光能量，光波場總功率等于各個模式攜帶功率的迭加； 光波導實際場分布可以表示為各個模式本征函數(shù)的迭加。,模式正交歸一性,模式命名,根據(jù)場的縱向分量Ez和Hz的存在與否，可將模式命名為： (1)橫電磁模(TEM)： Ez0，Hz0； (2)橫電模(TE)： Ez0，Hz0； (3)橫磁模(TM)： Ez0，Hz0； (4)混雜模(HE或EH)：Ez0，Hz0。,階躍折射率光纖中的場解,數(shù)學模型 圓柱坐標系中的波導場方程 邊界條件 本征解與本征值方程 本征值與模式分析,數(shù)學模型,數(shù)學模型：階躍折射率分布光纖是一種理想的數(shù)學模型，即認為光纖是一種無限大直圓柱系統(tǒng)，芯區(qū)半徑a，折射率為n1；包層沿徑向無限延伸，折射率為n2。光纖材料為線性、無損、各向同性的電介質(zhì)。,圖 2.6 光纖中的圓柱坐標,六個場分量：Er，E，Ez，Hr，H，Hz。 但并不是相互獨立的，橫向分量由兩個縱向分量唯一確定。,式中，E和H分別為電場和磁場在直角坐標中的任一分量， c為光速。選用圓柱坐標(r，z)，使z軸與光纖中心軸線一致， 如圖2.6所示。 將式(2.18)在圓柱坐標中展開，得到電場的z分量Ez 的波動方程為,(2.18a),(2.18b),(2.19),1. 波動方程和電磁場表達式 設光纖沒有損耗，折射率n變化很小，在光纖中傳播的是角頻率為的單色光，電磁場與時間t的關系為exp(jt)，則標量波動方程(Helmholtz方程)為,磁場分量Hz的方程和式(2.19)完全相同，不再列出。 解方程(2.19)，求出Ez 和Hz，再通過麥克斯韋方程組求出其他電磁場分量，就得到任意位置的電場和磁場。 變量分離法： 把Ez(r, , z)分解為Ez(r)、Ez()和Ez(z)。從物理概念出發(fā)，可直接寫出Ez()和Ez(z)的形式。設光沿光纖軸向(z軸)傳輸，其傳輸常數(shù)為，則Ez(z)應為exp(-jz)。 由于光纖的圓對稱性，Ez()應為方位角的周期函數(shù)， 設為exp( jv)，v為整數(shù)。 現(xiàn)在Ez(r)為未知函數(shù)，利用這些表達式， 電場z分量可以寫成 Ez(r, z)=Ez(r)ej(v-z) (2.20) 把式(2.20)代入式(2.19)得到,式中，k=2/=2f /c=/c，和f為光的波長和頻率。 這樣就把分析光纖中的電磁場分布，歸結(jié)為求解貝塞爾(Bessel)方程(2.21)。貝塞爾(Bessel)方程有不同的解，取什么解要根據(jù)物理意義來確定。 設纖芯(0ra)折射率n(r)=n1，包層(ra)折射率n(r)=n2，實際上突變型多模光纖和常規(guī)單模光纖都滿足這個條件。 為求解方程(2.21)，引入無量綱參數(shù)u, w和V。,(2.21),因為光能量要在纖芯(0ra)中傳輸， 在r=0處，電磁場應為有限實數(shù)；在包層(ra)，光能量沿徑向r迅速衰減，當r時， 電磁場應消逝為零。 根據(jù)這些特點，式(2.23a)的解應取v階貝塞爾函數(shù)Jv(ur/a)，而式(2.23b)的解則應取v階修正的貝塞爾函數(shù)Kv(wr/a)。,圖2.7 （a)貝賽爾函數(shù)；（b)修正的貝賽爾函數(shù),Jv(u),1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6,4 3 2 1 0,2 4 6 8 10 u,v=1,v=0,v=2,(a),(b),v=1,1 2 3 4 5 w,kv(w),因此，在纖芯和包層的電場Ez(r, , z)和磁場Hz(r, , z)表達式為 Ez1(r, , z) (0ra),Hz1(r, , z)=,Ez2(r, , z),Hz2(r, , z),(0ra),(ra),(ra),(2.24a),(2.24b),(2.24c),(2.24d),式中，腳標1和2分別表示纖芯和包層的電磁場分量，A和B為待定常數(shù)，由激勵條件確定。Jv(u)和Kv(w)如圖2.7所示，Jv(u)類似振幅衰減的正弦曲線，Kv(w)類似衰減的指數(shù)曲線。 式(2.24)表明，光纖傳輸模式的電磁場分布和性質(zhì)取決于特征參數(shù)u、w和的值。 u和w決定纖芯和包層橫向(r)電磁場的分布，稱為橫向傳輸常數(shù)；決定縱向(z)電磁場分布和傳輸性質(zhì)，所以稱為(縱向)傳輸常數(shù)。,圓柱坐標系下縱向分量與橫向分量的關系,2. 特征方程和傳輸模式 由式(2.24)確定光纖傳輸模式的電磁場分布和傳輸性質(zhì)， 必須求得u, w和的值。 由式(2.22)看到，在光纖基本參數(shù)n1、n2、a和k已知的條件下， u和w只和有關。利用邊界條件，導出滿足的特征方程， 就可以求得和u、w的值。 由式(2.24)確定電磁場的縱向分量Ez和Hz后，就可以通過麥克斯韋方程組導出電磁場橫向分量Er、Hr和E、H的表達式。 因為電磁場強度的切向分量在纖芯包層交界面連續(xù)，在r=a處應該有 Ez1=Ez2 Hz1=Hz2 E1=E2 H1=H2 (2.25),由式(2.24)可知，Ez和Hz已自動滿足邊界條件的要求。 由E和H的邊界條件導出滿足的特征方程為,這是一個超越方程，由這個方程和式(2.22)定義的特征參數(shù)V聯(lián)立，就可求得值。 但數(shù)值計算十分復雜，其結(jié)果示于圖2.8。 圖中縱坐標的傳輸常數(shù)取值范圍為 n2kn1k (2.27),(2.26),橫坐標的V稱為歸一化頻率， 根據(jù)式(2.22),(2.29),圖中每一條曲線表示一個傳輸模式的隨V的變化， 所以方程(2.26)又稱為色散方程。,圖 2.8 若干低階模式歸一化傳輸常數(shù)隨歸一化頻率變化的曲線,對于每個確定的v值，可以從特征方程(2.26)求出一系列值，每個值對應一定的模式，具有特定的電磁場分布。,當v=0時，電磁場可分為兩類。一類只有Ez、Er和H分量，Hz=Hr=0，E=0， 這類在傳輸方向無磁場的模式稱為橫磁模(波)，記為TM0。 另一類只有Hz、Hr和E分量，Ez=Er=0，H=0，這類在傳輸方向無電場的模式稱為橫電模(波)，記為TE0。 當v0時，電磁場六個分量都存在，這些模式稱為混合模(波)。 混合模也有兩類， 一類EzHz，記為HEv，另一類HzEz，記為EHv。下標v和都是整數(shù)。 第一個下標v是貝塞爾函數(shù)的階數(shù)，稱為方位角模數(shù)，它表示在纖芯沿方位角繞一圈電場變化的周期數(shù)。 第二個下標是貝塞爾函數(shù)的根按從小到大排列的序數(shù)， 稱為徑向模數(shù)。 ,波動方程和特征方程的精確求解都非常繁雜，一般要進行簡化。 大多數(shù)通信光纖的纖芯與包層相對折射率差都很小(例如0.01)，因此有n1n2n和=nk的近似條件。這種光纖稱為弱導光纖，對于弱導光纖滿足的本征方程可以簡化為,（2.30）,由此得到的混合模HEv+1和EHv-1(例如HE31和EH11)傳輸常數(shù)相近，電磁場可以線性疊加。 用直角坐標代替圓柱坐標，使電磁場由六個分量簡化為四個分量，得到Ey、 Hx、 Ez、 Hz或與之正交的Ex、Hy、Ez、Hz。這些模式稱為線性偏振(Linearly Polarized)模，并記為LPv。 LP0即HE1，LP1由HE2和TE0、TM0組成，包含4重簡并， LPv(v1)由HEv+1和EHv-1組成，包含4重簡