浙江專用高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.1直線的方程講義含解析.docx

9.1直線的方程最新考綱考情考向分析1.理解平面直角坐標(biāo)系，理解直線的傾斜角與斜率的概念.2.掌握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式，了解直線方程與一次函數(shù)的關(guān)系.以考查直線方程的求法為主，直線的斜率、傾斜角也是考查的重點(diǎn).題型主要在解答題中與圓、圓錐曲線等知識交匯出現(xiàn)，有時也會在選擇、填空題中出現(xiàn).1.直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0.(2)范圍：直線l傾斜角的范圍是0，180).2.斜率公式(1)若直線l的傾斜角90，則斜率ktan.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上且x1x2，則l的斜率k.3.直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)y0k(xx0)不含直線xx0斜截式y(tǒng)kxb不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式(x1x2，y1y2)不含直線xx1和直線yy1截距式1(ab0)不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用概念方法微思考1.直線都有傾斜角，是不是都有斜率？傾斜角越大，斜率k就越大嗎？提示傾斜角0，)，當(dāng)時，斜率k不存在；因為ktan.當(dāng)時，越大，斜率k就越大，同樣時也是如此，但當(dāng)(0，)且時就不是了.2.“截距”與“距離”有何區(qū)別？當(dāng)截距相等時應(yīng)注意什么？提示“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個非負(fù)數(shù).應(yīng)注意過原點(diǎn)的特殊情況是否滿足題意.題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置.()(2)若直線的斜率為tan，則其傾斜角為.()(3)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等.()(4)經(jīng)過任意兩個不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.()題組二教材改編2.P86T3若過點(diǎn)M(2，m)，N(m，4)的直線的斜率等于1，則m的值為()A.1B.4C.1或3D.1或4答案A解析由題意得1，解得m1.3.P100A組T9過點(diǎn)P(2，3)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為.答案3x2y0或xy50解析當(dāng)截距為0時，直線方程為3x2y0；當(dāng)截距不為0時，設(shè)直線方程為1，則1，解得a5.所以直線方程為xy50.題組三易錯自糾4.直線x(a21)y10的傾斜角的取值范圍是()A.B.C.D.答案B解析由直線方程可得該直線的斜率為，又10，所以傾斜角的取值范圍是.5.如果AC0且BC0，在y軸上的截距0，故直線經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限.6.過直線l：yx上的點(diǎn)P(2，2)作直線m，若直線l，m與x軸圍成的三角形的面積為2，則直線m的方程為.答案x2y20或x2解析若直線m的斜率不存在，則直線m的方程為x2，直線m，直線l和x軸圍成的三角形的面積為2，符合題意；若直線m的斜率k0，則直線m與x軸沒有交點(diǎn)，不符合題意；若直線m的斜率k0，設(shè)其方程為y2k(x2)，令y0，得x2，依題意有22，即1，解得k，所以直線m的方程為y2(x2)，即x2y20.綜上可知，直線m的方程為x2y20或x2.題型一直線的傾斜角與斜率例1(1)直線xsiny20的傾斜角的范圍是()A.0，) B.C.D.答案B解析設(shè)直線的傾斜角為，則有tansin，又sin1，1，0，)，所以0或.(2)直線l過點(diǎn)P(1，0)，且與以A(2，1)，B(0，)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為.答案(，1，)解析如圖，kAP1，kBP，k(， 1，).引申探究1.若將本例(2)中P(1，0)改為P(1，0)，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍.解P(1，0)，A(2，1)，B(0，)，kAP，kBP.如圖可知，直線l斜率的取值范圍為.2.若將本例(2)中的B點(diǎn)坐標(biāo)改為(2，1)，其他條件不變，求直線l傾斜角的取值范圍.解如圖，直線PA的傾斜角為45，直線PB的傾斜角為135，由圖象知l的傾斜角的范圍為0，45135，180).思維升華 (1)傾斜角與斜率k的關(guān)系當(dāng)時，k0，).當(dāng)時，斜率k不存在.當(dāng)時，k(，0).(2)斜率的兩種求法定義法：若已知直線的傾斜角或的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù)ktan求斜率.公式法：若已知直線上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根據(jù)斜率公式k(x1x2)求斜率.(3)傾斜角范圍與直線斜率范圍互求時，要充分利用ytan的單調(diào)性.跟蹤訓(xùn)練1(1)若平面內(nèi)三點(diǎn)A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則a等于()A.1或0B.或0C.D.或0答案A解析平面內(nèi)三點(diǎn)A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，kABkAC，即，即a(a22a1)0，解得a0或a1.故選A.(2)直線l經(jīng)過點(diǎn)A(3，1)，B(2，m2)(mR)兩點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是.答案解析直線l的斜率k1m21，所以ktan1.又ytan在上是增函數(shù)，因此.題型二求直線的方程例2求適合下列條件的直線方程：(1)求經(jīng)過點(diǎn)A(5，2)，且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線方程；(2)過點(diǎn)A(1，3)，斜率是直線y3x的斜率的；(3)過點(diǎn)A(1，1)與已知直線l1：2xy60相交于B點(diǎn)且|AB|5.解(1)當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)所求直線方程為1，將(5，2)代入所設(shè)方程，解得a，所以直線方程為x2y10；當(dāng)直線過原點(diǎn)時，設(shè)直線方程為ykx，則5k2，解得k，所以直線方程為yx，即2x5y0.故所求直線方程為2x5y0或x2y10.(2)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k3.又直線經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)，因此所求直線方程為y3(x1)，即3x4y150.(3)過點(diǎn)A(1，1)與y軸平行的直線為x1.解方程組求得B點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)，此時|AB|5，即x1為所求.設(shè)過A(1，1)且與y軸不平行的直線為y1k(x1)，解方程組得兩直線交點(diǎn)為(k2，否則與已知直線平行).則B點(diǎn)坐標(biāo)為.由已知2252，解得k，y1(x1)，即3x4y10.綜上可知，所求直線的方程為x1或3x4y10.思維升華在求直線方程時，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件.若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況.跟蹤訓(xùn)練2根據(jù)所給條件求直線的方程：(1)直線過點(diǎn)(4，0)，傾斜角的正弦值為；(2)經(jīng)過點(diǎn)P(4，1)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；(3)直線過點(diǎn)(5，10)，到原點(diǎn)的距離為5.解(1)由題設(shè)知，該直線的斜率存在，故可采用點(diǎn)斜式.設(shè)傾斜角為，因為sin(00，b0，直線l的方程為1，所以1.|(a2，1)(2，b1)2(a2)b12ab5(2ab)54，當(dāng)且僅當(dāng)ab3時取等號，此時直線l的方程為xy30.命題點(diǎn)2由直線方程解決參數(shù)問題例4已知直線l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，當(dāng)0a0，b0)，因為直線l經(jīng)過點(diǎn)P(4，1)，所以1.(1)12，所以ab16，當(dāng)且僅當(dāng)a8，b2時等號成立，所以當(dāng)a8，b2時，AOB的面積最小，此時直線l的方程為1，即x4y80.(2)因為1，a0，b0，所以|OA|OB|ab(ab)5529，當(dāng)且僅當(dāng)a6，b3時等號成立，所以當(dāng)|OA|OB|取最小值時，直線l的方程為1，即x2y60.1.(2018浙江省東陽中學(xué)期中)下列四條直線中，傾斜角最大的是()A.yx1B.y2x1C.yx1D.x1答案C解析直線方程yx1的斜率為1，傾斜角為45，直線方程y2x1的斜率為2，傾斜角為(600，b0時，a0，b0，所以A，B(0，12k)，故S|OA|OB|(12k)(44)4，當(dāng)且僅當(dāng)4k，即k時取等號，故S的最小值為4，此時直線l的方程為x2y40.13.過點(diǎn)A(3，1)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線有()A.1條B.2條C.3條D.4條答案B解析當(dāng)所求的直線與兩坐標(biāo)軸的截距都不為0時，設(shè)該直線的方程為xya，把(3，1)代入所設(shè)的方程得a2，則所求直線的方程為xy2，即xy20；當(dāng)所求的直線與兩坐標(biāo)軸的截距為0時，設(shè)該直線的方程為ykx，把(3，1)代入所設(shè)的方程得k，則所求直線的方程為yx，即x3y0.綜上，所求直線的方程為xy20或x3y0，故選B.14.設(shè)點(diǎn)A(2，3)，B(3，2)，若直線axy20與線段AB沒有交點(diǎn)，則a的取值范圍是()A.B.C.