自動控制-數(shù)學模型,laplace變換.ppt

2.2 系統(tǒng)的傳遞函數(shù),微分方程傳遞函數(shù),傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中對線性系統(tǒng)進行研究、分析與綜合的基本數(shù)學工具。 對標準形式的微分方程進行Laplace變換，可將其化為代數(shù)方程。在此基礎(chǔ)上前進一步，將此代數(shù)方程右端變量的算子除以左端變量的算子，則可獲得傳遞函數(shù)。,數(shù)學工具拉普拉斯變換與反變換, 拉氏變換定義 設(shè)函數(shù)f(t)滿足 t0時，f(t)分段連續(xù) 則f(t)的拉氏變換存在，其表達式記作 拉氏變換基本定理 線性定理 位移定理 延遲定理 終值定理,數(shù)學工具拉普拉斯變換與反變換續(xù),初值定理 微分定理 積分定理 拉氏反變換 F(s)化成下列因式分解形式： (a).F(s)中具有不同的極點時，可展開為,(b).F(s)含有共扼復數(shù)極點時，可展開為,(c).F(s)含有多重極點時，可展開為,其余各極點的留數(shù)確定方法與上同。,一、傳遞函數(shù),設(shè)有線性定常系統(tǒng)，若輸入為xi (t )，輸出為xo (t),在零初始條件下，即當外界輸入作用前，輸入、輸出的初始條件xi (t )， xo (t)其各階系數(shù)在t=0是的值均為零，即零初始條件,對上式中各項分別求拉氏變換，并令 Xi(s)Lxi(t)，Xo(s)=Lxo(t) 可得s的代數(shù)方程為,在外界輸入作用前，輸入、輸出的初始條件為零時，線性定常系統(tǒng)、環(huán)節(jié)或元件的輸出xo(t)的Laplace變換Xo (S)與輸入xi (t)的Laplace變換Xi (s)之比，稱為該系統(tǒng)、環(huán)節(jié)或元件的傳遞函數(shù)G（s),(2.2.3),輸入 r(t) 輸出 c(t),傳遞函數(shù)的主要性質(zhì),G(s)取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量的形式（幅度與大小）無關(guān)。,傳遞函數(shù)是復變量s的有理真分式函數(shù)， mn，具有復變量函數(shù)的所有性質(zhì)。,性質(zhì)1,性質(zhì)2,性質(zhì)3,G(s)雖然描述了輸出與輸入之間的關(guān)系，但它不提供任何該系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。因為許多不同的物理系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數(shù)。,如果將,置換,如果G(s)已知，那么可以研究系統(tǒng)在各種輸入信號作用下的輸出響應。,性質(zhì)4,如果系統(tǒng)的G(s)未知，可以給系統(tǒng)加上已知的輸入，研究其輸出，從而得出傳遞函數(shù)，一旦建立G(s)可以給出該系統(tǒng)動態(tài)特性的完整描述，與其它物理描述不同。,性質(zhì)5,傳遞函數(shù)數(shù)學模型 是（表示）輸出變量和輸入變量微分方程的運算模型（operational mode）,傳遞函數(shù)與微分方程之間有關(guān)系。,性質(zhì)6,二、傳遞函數(shù)的零點、極點和放大系數(shù),因式分解傳遞函數(shù)G(s),極點是微分方程的特征跟，因此，決定了所描述系統(tǒng)自由運動的模態(tài)。,為傳遞函數(shù)的零點,為傳遞函數(shù)的極點,極點,p和+j是系統(tǒng)傳遞函數(shù)極點，也就是微分方程的特征根，假定所有的極點是負數(shù)或具有負實部的復數(shù)，即p0, 0,當t 時，上述分量將趨近于零，瞬態(tài)響應是收斂的。 在這種情況下，系統(tǒng)是穩(wěn)定的 系統(tǒng)是否穩(wěn)定由極點性質(zhì)決定,根據(jù)Laplace變換求解微分方程可知，系統(tǒng)的瞬態(tài)響應，由以下形式的分量構(gòu)成,零點距極點的距離越遠，該極點所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越大 零點距極點的距離越近，該極點所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越小 如果零極點重合該極點所產(chǎn)生的模態(tài)為零，因為分子分母相互抵消。,放大系數(shù)G(0),S=0,Xi(s)=1/s 單位階躍函數(shù)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出,G(0)決定著系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出值，由式(2.2.3)可知,G(0)就是系統(tǒng)的放大系數(shù)，它由系統(tǒng)微分方程的常數(shù)項決定。,小節(jié),系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點、極點和放大系數(shù)決定著系統(tǒng)的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。所以，對系統(tǒng)的研究可變成對系統(tǒng)傳遞函數(shù)零點、極點和放大系數(shù)的研究。,三、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),1.比例環(huán)節(jié) 輸出量與輸入量成正比，輸出不失真也不延遲而按比例地反映輸入的環(huán)節(jié)稱為比例環(huán)節(jié) 動力學方程,傳遞函數(shù),電位器將線位移或角位移變換為電壓量的裝置。 單個電位器用作為信號變換裝置。,單位角位移，輸出電壓(v/rad) E -電位器電源(v) 電位器最大工作角(rad),2.慣性環(huán)節(jié)（一階慣性環(huán)節(jié)）,慣性環(huán)節(jié)一般包含一個儲能元件和一個耗能元件。 動力學方程,傳遞函數(shù),3.微分環(huán)節(jié),輸出正比于輸入的微分，T為時間常數(shù)。 微分環(huán)節(jié)不能單獨存在 動力學方程,傳遞函數(shù),微分環(huán)節(jié)的作用,(1)使輸出提前 是輸入的導數(shù)，反映輸入的變化趨勢 (2)增加系統(tǒng)的阻尼 (3)強化了噪聲的作用 對噪聲的靈敏度提高，增大了因干擾引起的誤差。,4.積分環(huán)節(jié),具有輸出正比于輸入對時間的積分的環(huán)節(jié) 在系統(tǒng)中凡有儲存或積累特點的元件，都有積分環(huán)節(jié)的特性。 T為積分環(huán)節(jié)的時間常數(shù) 動力學方程,傳遞函數(shù),5.振蕩環(huán)節(jié)（二階慣性環(huán)節(jié)）,傳遞函數(shù),6.延時環(huán)節(jié)（遲延環(huán)節(jié)）,延時環(huán)節(jié)是輸出滯后輸入時間但不失真地反映輸入的環(huán)節(jié) 動力學方程,傳遞函數(shù),四、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 任何一個復雜系統(tǒng)都是由有限個典型環(huán)節(jié)組合而成的。,典型環(huán)節(jié)通常分為以下六種：,1 比例環(huán)節(jié),2 慣性環(huán)節(jié),式中 K-增益 特點：輸入輸出量成比例，無失真和時間延遲。 實例：電子放大器，齒輪，電阻(電位器)，感應式變送器等。,式中 T-時間常數(shù) 特點：含一個儲能元件，對突變的輸入,其輸出,不能立即復現(xiàn)，輸出無振蕩。 實例：RC網(wǎng)絡(luò)，直流伺服電動機的傳遞函數(shù)也包含這一環(huán)節(jié)。,特點： 輸出量正比輸入量變化的速度，能預示輸入 信號的變化趨勢。 實例： 測速發(fā)電機輸出電壓與輸入角度間的傳遞函數(shù)即為微分環(huán)節(jié)。,3 微分環(huán)節(jié),理想微分 一階微分 二階微分,4 積分環(huán)節(jié),式中 阻尼比 -自然振蕩角頻率（無阻尼振蕩角頻率） 特點：環(huán)節(jié)中有兩個獨立的儲能元件，并可進行能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩。 實例：RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù)。,特點： 輸出量與輸入量的積分成正比例，當輸入消失，輸出具有記憶功能。 實例： 電動機角速度與角度間的傳遞函數(shù)，模擬計算機中的積分器等。,5 振蕩環(huán)節(jié),6 純時間延時環(huán)節(jié),式中 延遲時間 特點： 輸出量能準確復現(xiàn)輸入量，但須延遲一固定的時間間隔。 實例：管道壓力、流量等物理量的控制，其數(shù)學模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。,五、傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)與負載效應,(1)傳遞函數(shù)框圖中的環(huán)節(jié)和實物不是一一對應 傳遞函數(shù)框圖中的環(huán)節(jié)是根據(jù)運動微分方程劃分的，一個環(huán)節(jié)并不一定代表一個物理的元件（物理的環(huán)節(jié)或子系統(tǒng)），一個物理的元件（物理的環(huán)節(jié)或子系統(tǒng)）也不一定就是一個傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)； 換言之，也許幾個物理元件的特性才組成一個傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)，也許一個物理元件的特性分散在幾個傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)之中。 從根本上講，這取決于組成系統(tǒng)的各物理的元件（物理的環(huán)節(jié)或子系統(tǒng)）之間有無負載效應。,五、傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)與負載效應（續(xù)1）,（2)不要把表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)情況的物理框圖與分析系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的框圖混淆起來。 千萬不要不加分析地將物理框圖中的每一個物理元件（環(huán)節(jié)、子系統(tǒng)）本身的傳遞函數(shù)代入到物理框圖中的相應框中，并進而將整個框圖作為傳遞函數(shù)框圖進行數(shù)學分析，這就會造成不計及負載效應的錯誤。 只有組成整個系統(tǒng)的物理的元件（物理的環(huán)節(jié)或子系統(tǒng)）之間無負載效應時，上述的代入才是正確的，物理框圖與傳遞函數(shù)框圖才是一致的。,負載效應,忽略負載效應,五、傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)