福建省晉江市季延中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)必修二課件：1.3簡單幾何體體積(共45張PPT).pptVIP

1.3 簡單幾何體體積,晉江季延中學(xué) 劉佳佳,數(shù)學(xué)學(xué)科：必修二,幾何體占有空間部分的大小叫做它的體積,一、體積的概念與公理:,公理1、長方體的體積等于它的長、寬、高的積。,V長方體= abc,推論1 、長方體的體積等于它的底面積s和高h(yuǎn)的積。,V長方體= sh,推論2 、正方體的體積等于它的棱長a 的立方。,V正方體= a3,公理2、夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等。,冪勢既同，則積不容異,祖暅原理,定理1： 柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積 s 和高 h 的積。,V柱體= sh,二：柱體的體積,三:錐體體積,例2：,如圖：三棱柱AD1C1-BDC,底面積為S,高為h.,答:可分成棱錐A-D1DC, 棱錐A-D1C1C, 棱錐A-BCD.,問：（1）從A點(diǎn)出發(fā)棱柱能分割成幾個(gè)三棱錐？,3.1錐體（棱錐、圓錐）的體積 （底面積S，高h(yuǎn)）,注意：三棱錐的頂點(diǎn)和底面可以根據(jù)需要變換，四面體的每一個(gè)面都可以作為底面，可以用來求點(diǎn)到面的距離,問題:錐體(棱錐、圓錐）的體積,定理如果一個(gè)錐體（棱錐、圓錐）的底面 積是，高是，那么它的體積是：,推論：如果圓錐的底面半徑是，高是， 那么它的體積是：,錐體 ,圓錐 ,h,x,四.臺體的體積,V臺體=,上下底面積分別是s/,s,高是h，則,推論：如果圓臺的上,下底面半徑是r1.r2,高是，那么它的體積是：,圓臺 h,五.柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關(guān)系？,S為底面面積，h為柱體高,S分別為上、下底面面積，h 為臺體高,S為底面面積，h為錐體高,(1)長方體的體積 V長方體abc . (其中a、b、c為長、寬、高，S為底面積，h為高) (2)柱體(圓柱和棱柱)的體積 V柱體Sh. 其中，V圓柱r2h(其中r為底面半徑),Sh,知識點(diǎn)二柱、錐、臺、球的體積,(3)錐體(圓錐和棱錐)的體積 V錐體 Sh. 其中V圓錐 ， r為底面半徑,13r2h,(4)臺體的體積公式 V臺h(SS) 注：h為臺體的高，S和S分別為上下兩個(gè)底面的面積 其中V圓臺 注：h為臺體的高，r、r分別為上、下兩底的半徑 (5)球的體積 V球 .,13h(r2rrr2),13R3,例 從一個(gè)正方體中，如圖那樣截去4個(gè)三棱錐后，得到一個(gè)正三棱錐ABCD，求它的體積是正方體體積的幾分之幾？,1求空間幾何體的體積除利用公式法外，還常用分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計(jì)算問題的常用方法,幾何體的體積小結(jié),2計(jì)算柱體、錐體、臺體的體積關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分利用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,R,R,球的體積：,一個(gè)半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個(gè) 以上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐 后，所得的幾何體的體積與一個(gè)半徑為R的 半球的體積相等。,探究,R,R,第一步：分割,O,球面被分割成n個(gè)網(wǎng)格， 表面積分別為：,則球的表面積：,則球的體積為：,設(shè)“小錐體”的體積為：,知識點(diǎn)三、球的表面積和體積,（,O,第二步：求近似和,O,由第一步得：,第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積,如果網(wǎng)格分的越細(xì),則:,由 得:,設(shè)球的半徑為R，則球的體積公式為 V球 .,43R3,例1(2009年高考上海卷)若球O1、O2表面積之比4，則它們的半徑之比_.,(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼谋丁?(2)若球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼谋丁?(3)若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是。 (4)若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是。,例2：,例3.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，問球O的表面積。,分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。,略解：,變題1.如果球O和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切，則有S=。 變題2.如果球O和這個(gè)正方體的各條棱都相切，則有S=。,關(guān)鍵：,找正方體的棱長a與球半徑R之間的關(guān)系,例4已知過球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心O的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的體積，表面積,解：如圖，設(shè)球O半徑為R， 截面O的半徑為r，,例5、有三個(gè)球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過正方體的各頂點(diǎn),求這三個(gè)球的體積之比.,作軸截面,規(guī)律方法總結(jié),1直棱柱的側(cè)面展開圖是一些矩形，正棱錐的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰三角形，正棱臺的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰梯形 2斜棱柱的側(cè)面積等于它的直截面(垂直于側(cè)棱并與每條側(cè)棱都相交的截面)的周長與側(cè)棱長的乘積,3如果直棱柱的底面周長是c，高是h，那么它的側(cè)面積是S直棱柱側(cè)ch. 4應(yīng)注意各個(gè)公式的推導(dǎo)過程，不要死記硬背公式本身，要熟悉柱體中的矩形、錐體中的直角三角形、臺體中的直角梯形等特征圖形在公式推導(dǎo)中的作用,規(guī)律方法總結(jié),5如果不是正棱柱、正棱錐、正棱臺，在求其側(cè)面積或全面積時(shí)，應(yīng)對每一個(gè)側(cè)面的面積分別求解后再相加 6求球的體積和表面積的關(guān)鍵是求出球的半徑反之，若已知球的表面積或體積，那么就可以得出其半徑的大小 7計(jì)算組合體的體積時(shí)，首先要弄清楚它是由哪些基本幾何體構(gòu)成，然后再通過軸截面分析和解決問題,8計(jì)算圓柱、圓錐、圓臺的體積時(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，應(yīng)注意充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解,題型一 幾何體的展開與折疊 有一根長為3 cm，底面半徑為1 cm的 圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并 使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端, 則鐵絲的最短長度為多少？ 把圓柱沿這條母線展開，將問題轉(zhuǎn) 化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離.,題型分類 深度剖析,解 把圓柱側(cè)面及纏繞其上 的鐵絲展開，在平面上得到 矩形ABCD（如圖所示）， 由題意知BC=3 cm， AB=4 cm，點(diǎn)A與點(diǎn)C分別是鐵絲的起、止位 置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度. 故鐵絲的最短長度為5 cm.,求立體圖形表面上兩點(diǎn)的最短距離 問題，是立體幾何中的一個(gè)重要題型.這類題目的 特點(diǎn)是：立體圖形的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系分散在立體 圖形的幾個(gè)平面上或旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面上.為了便于發(fā) 現(xiàn)它們圖形間性質(zhì)與數(shù)量上的相互關(guān)系，必須將 圖中的某些平面旋轉(zhuǎn)到同一平面上，或者將曲面 展開為平面，使問題得到解決.其基本步驟是：展 開（有時(shí)全部展開，有時(shí)部分展開）為平面圖形， 找出表示最短距離的線段，再計(jì)算此線段的長.,題型二 旋轉(zhuǎn)體的表面積及其體積 如圖所示,半徑為R的半圓內(nèi)的 陰影部分以直徑AB所在直線為軸,旋 轉(zhuǎn)一周得到一幾何體,求該幾何體的 表面積(其中BAC=30)及其體積. 先分析陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成幾何體的 形狀,再求表面積.,解 如圖所示, 過C作CO1AB于O1,在半圓中可得 BCA=90,BAC=30,AB=2R, AC= ,BC=R, S球=4R2,解決這類題的關(guān)鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所 形成的圖形的形狀，再將圖形進(jìn)行合理的分割， 然后利用有關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算.,知能遷移2 已知球的半徑為R，在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi) 接圓柱，這個(gè)圓柱底面半徑與高為何值時(shí)，它 的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？ 解 如圖為軸截面. 設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r， 側(cè)面積為S，則,知能遷移2 已知球的半徑為R，在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi) 接圓柱，這個(gè)圓柱底面半徑與高為何值時(shí)，它 的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？ 解 如圖為軸截面. 設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r， 側(cè)面積為S，則,題型三 多面體的表面積及其體積 一個(gè)正三棱錐的底面邊長為6，側(cè)棱長 為 ，求這個(gè)三棱錐的體積. 本題為求棱錐的體積問題.已知底面 邊長和側(cè)棱長，可先求出三棱錐的底面面積 和高，再根據(jù)體積公式求出其體積. 解 如圖所示， 正三棱錐SABC. 設(shè)H為正ABC的中心， 連接SH， 則SH的長即為該正三棱錐的高.,連接AH并延長交BC于E， 則E為BC的中點(diǎn)，且AHBC. ABC是邊長為6的正三角形，,求錐體的體積，要選擇適當(dāng)?shù)牡酌婧?高，然后應(yīng)用公式 進(jìn)行計(jì)算即可.常用方 法：割補(bǔ)法和等積變換法. （1）割補(bǔ)法：求一個(gè)幾何體的體積可以將這個(gè)幾 何體分割成幾個(gè)柱體、錐體，分別求出錐體和柱 體的體積，從而得出幾何體的體積. （2）等積變換法：利用三棱錐的任一個(gè)面可作為 三棱錐的底面.求體積時(shí)，可選擇容易計(jì)算的方 式來計(jì)算；利用“等積性”可求“點(diǎn)到面的 距離”.,題型四 組合體的表面積及其體積 (12分)如圖所示,在等腰梯形ABCD中, AB=2DC=2，DAB=60，E為AB的中點(diǎn)， 將ADE與BEC分別沿ED、EC向上折起， 使A、B重合,求形成的三棱錐的外接球的體積. 易知折疊成的幾何體是棱長為1的正 四面體，要求外接球的體積只要求出外接球的 半徑即可. 解 由已知條件知，平面圖形中 AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1. 折疊后得到一個(gè)正四面體. 2分,方法一 作AF平面DEC，垂足為F， F即為DEC的中心. 取EC的中點(diǎn)G，連接DG、AG， 過球心O作OH平面AEC. 則垂足H為AEC的中心. 4分 外接球半徑可利用OHAGFA求得. 在AFG和AHO中，根據(jù)三角形相似可知，,6分,10分,12分,方法二 如圖所示，把正四面體放在正 方體中.顯然，正四面體的外接球就 是正方體的外接球. 3分 正四面體的棱長為1， 正方體的棱長為 ， 6分,9分,12分,方法與技巧 1.對于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱 錐、棱臺與球的表面積的問題，要結(jié)合它們的 結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與平面幾何知識來解決. 2.要注意將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. 3.當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計(jì)算公式無 法運(yùn)用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中 的已知元素彼此離散時(shí),我們可采用“割”、 “補(bǔ)”的技巧，化復(fù)雜幾何體為簡單幾何體 （柱、錐、臺），或化離散為集中，給解題提供 便利.,思想方法 感悟提高,（1）幾何體的“分割” 幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要 求,分割成若干個(gè)易求體積的幾何體,進(jìn)而求之. (2)幾何體的“補(bǔ)形” 與分割一樣，有時(shí)為了計(jì)算方便，可將幾何體補(bǔ) 成易求體積的幾何體，如長方體、正方體等.另外 補(bǔ)臺成錐是常見的解決臺體側(cè)面積與體積的方法, 由臺體的定義，我們在有些情況下，可以將臺體 補(bǔ)成錐體研究體積. （3）有關(guān)柱、錐、臺、球的面積和體積的計(jì)算， 應(yīng)以公式為基礎(chǔ)，充分利用幾何體中的直角三角 形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素.,失誤與防范 1.將幾何體展開為平面圖形時(shí),要注意在何處剪 開，多面體要選擇一