平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用精品

平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用自主梳理1向量數(shù)量積的定義(1)向量數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為，則數(shù)量_ _叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作_，其中向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對(duì)值稱為射影；注意 在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的，范圍0q180。C規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為_(kāi). 即（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影_的乘積.(3) 平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：如果e是單位向量，則aeea_；非零向量a，b，ab_；當(dāng)a與b同向時(shí)，ab_；（兩個(gè)非零向量a與b垂直的充要條件是_）當(dāng)a與b反向時(shí)，ab_，aa_ a2_|a|2_，|a|_；（兩個(gè)非零向量a與b平行的充要條件是_ _）cos _；|ab|_|a|b|.2向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律：ab_；(2)分配律：(ab)c_；(3)數(shù)乘向量結(jié)合律：(a)b_.3向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與度量公式(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積的和，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab (2) 設(shè)兩個(gè)非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab .(3) 設(shè)兩個(gè)非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則cos _(4)若a(x，y)，則|a|2 或|a| . (5)若A（x1，y1），B（x2，y2），則 _，所以| _點(diǎn)評(píng)：1.向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，這個(gè)數(shù)量的大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角的余弦值有關(guān)，在運(yùn)用向量的數(shù)量積解題時(shí)，一定要注意兩向量夾角的范圍.2.ab0不能推出a0或b0，因?yàn)閍b0時(shí)，有可能ab.3.一般地，(ab)c(bc)a即乘法的結(jié)合律不成立.因ab是一個(gè)數(shù)量，所以(ab)c表示一個(gè)與c共線的向量，同理右邊(bc)a表示一個(gè)與a共線的向量，而a與c不一定共線，故一般情況下(ab)c(bc)a.4.abac(a0)不能推出bc，即消去律不成立.5.向量夾角的概念要領(lǐng)會(huì)，比如正三角形ABC中，應(yīng)為120，而不是60.自我檢測(cè)1.已知向量a和向量b的夾角為135，|a|2， |b|3，則向量a和向量b的數(shù)量積ab_.2.在RtABC中，C=90,AC=4,則等于 ()A16B8C8D163已知向量a，b滿足ab0，|a|1，|b|2，則|2ab| ()A0B2C4D84.已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b與ab垂直，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi).5.已知a(2,3)，b(4,7)，則a在b方向上的投影為_(kāi).6.設(shè)a，b，c是任意的非零向量，且相互不共線，則下列命題正確的有_(ab)c(ca)b0；|a|b|ab|；(bc)a(ac)b不與c垂直；(3a4b)(3a4b)9|a|216|b|2.7.平面上有三個(gè)點(diǎn)A（-2，y），B（0，），C（x，y），若，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為_(kāi)8.若等邊ABC的邊長(zhǎng)為2，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足，則_題型一平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算例1（1）已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(ac)(bc)0，則|c|的最大值是_. (2)如圖，在ABC中，ADAB， ，|1，則等于()A.2 B. C. D.法1基底法:法2坐標(biāo)法變式訓(xùn)練1 (1)若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是正東方向，且|a|b|1，則(3a)(ab)_.(2)如下圖，在中，是邊上的高，則的值等于 （ ）A0BC4D【思路點(diǎn)撥】充分利用已知條件的，借助數(shù)量積的定義求出題型二向量的夾角與向量的模例2已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61，(1)求a與b的夾角； (2)求|ab|； (3)若a，b，求ABC的面積.變式訓(xùn)練2 (1)已知平面向量，|1，(2,0)，(2)，求|2|的值；(2)已知三個(gè)向量a、b、c兩兩所夾的角都為120，|a|1，|b|2，|c|3，求向量abc與向量a的夾角. (3)已知i，j為互相垂直的單位向量，ai2j，bij，且a與b的夾角為銳角，實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)題型三平面向量的垂直問(wèn)題例3已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(00) 求證：ab與ab垂直；用k表示ab； 求ab的最小值以及此時(shí)a與b的夾角.（3）設(shè)向量a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin ) 若a與b2c垂直，求tan()的值；求|bc|的最大值； 若tan tan 16，求證：ab.（4）如圖441所示，在等腰直角三角形ABC中，ACB90，CACB，D為BC的中點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且AE2EB.求證：ADCE.（5） 在ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角， 求k值題型四向量的數(shù)量積在三角函數(shù)中的應(yīng)用例4已知向量a，b，且x.(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab|ab|，求f(x)的最大值和最小值變式遷移4 已知ABC的面積S， 3S，且cos B，求cos C.1一些常見(jiàn)的錯(cuò)誤結(jié)論：(1)若|a|b|，則ab；(2)若a2b2，則ab；(3)若ab，bc，則ac；(4)若ab0，則a0或b0；(5)|ab|a|b|；(6)(ab)ca(bc)；(7)若abac，則bc.以上結(jié)論都是錯(cuò)誤的，應(yīng)用時(shí)要注意2平面向量的坐標(biāo)表示與向量表示的比較：已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，是向量a與b的夾角.向量表示坐標(biāo)表示向量a的模|a|a|a與b的數(shù)量積ab|a|b|cos abx1x2y1y2a與b共線的充要條件Ab(b0)ababx1y2x2y10非零向量a，b垂直的充要條件abab0abx1x2y1y20向量a與b的夾角cos cos 3.證明直線平行、垂直、線段相等等問(wèn)題的基本方法有：（1）要證AB=CD，可轉(zhuǎn)化證明22或|.（2）要證兩線段ABCD，只要證存在唯一實(shí)數(shù)0，使等式成立即可（3）要證兩線段ABCD，只需證0.平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用練習(xí)一一、選擇題1若向量a(3，m)，b(2，1)，ab0，則實(shí)數(shù)m的值為 ()AB. C2D62已知非零向量a，b，若|a|b|1，且ab，又知(2a3b)(ka4b)，則實(shí)數(shù)k的值為 ()A6 B3C3D63.已知ABC中，a，b，ab1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ()A.(，0) B.(2，)C.(，0)(2，) D.(0,2)二、填空題11設(shè)a(cos 2，sin )，b(1，2sin 1)，若ab，則sin _.12若|a|1，|b|2，cab，且ca，則向量a與b的夾角為_(kāi)13已知向量m(1,1)，向量n與向量m夾角為，且mn1，則向量n_.14.已知兩個(gè)單位向量e1，e2的夾角為，若向量b1e12e2，b23e14e2，則b1b2_.三、解答題15.設(shè)兩向量e1、e2滿足|e1|2，|e2|1，e1、e2的夾角為60，若向量2te17e2與向量e1te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1，2)，B(2,3)，C(2，1).(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)；(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(t)0，求t的值.17.已知(2,5)，(3,1)，(6,3)，在線段OC上是否存在點(diǎn)M，使，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用練習(xí)二一、選擇題1設(shè)R,向量,且,則（）ABCD102、定義：，其中為向量與的夾角，若，則等于（）A B C或 D3若向量a與b不共線，ab0，且cab，則向量a與c的夾角為_(kāi)4如圖，非零向量（ ）ABCD5在中，是邊上的高，若，則實(shí)數(shù)等于（ ）A B C D6已知,且關(guān)于的方程有實(shí)根,則與的夾角的取值范圍是 A. 0, B. C. D. 7.設(shè)非零向量、滿足，則( )A150 B.120 C.60 D.308、（2012湖南理）在ABC中,AB=2,AC=3,= 1則.（）ABCD9在平面直角坐標(biāo)系中,將向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,得向量，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）ABCD二、填空題10.若平面向量，滿足|1，|1，且以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積為，則與的夾角的取值范圍是_.11.已知向量a，b，c滿足abc0，(ab)c，ab，若|a|1，則|a|2|b|2|c|2的值是_.12.已知在平面直角坐標(biāo)系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足不等式01,01，則z的最大值為_(kāi).三、解答題13.設(shè)平面上有兩個(gè)向量a(cos ，sin ) (0360)，b.(1)求證：向量ab與ab垂直；(2)當(dāng)向量ab與ab的模相等時(shí)，求的大小.14已知向量a(cos()，sin()，b(cos，sin)(1)求證：ab；(2)若存在不等于0的實(shí)數(shù)k和t，使xa(t23)b，ykatb，滿足xy，試求此時(shí)的最小值15已知a(1,2sin x)，b，函數(shù)f(x)ab (xR)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若f(x)，求cos的值平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用練習(xí)三1在直角中，是斜邊上的高，則下列等式不成立的是（ ）A B C D2平面上O，A，B三點(diǎn)不共線，設(shè)a，b，則OAB的面積等于()A. B. C. D. 3已知非零向量和滿足，且，則ABC為（ ） A.等邊三角形 B. 等腰非直角三角形 C.非等腰三角形 D.等腰直角三角形4.己知向量，與的夾角為60，直線與圓的位置關(guān)系是 （ ） A相切 B相交