浙江高考數(shù)學二輪復習三角函數(shù)解三角形與平面向量第3講平面向量學案.doc

第3講平面向量考情考向分析1.考查平面向量的基本定理及基本運算，多以熟知的平面圖形為背景進行考查，多為選擇題、填空題，且為基礎題.2.考查平面向量數(shù)量積及模的最值問題，以選擇題、填空題為主，難度為中高檔，是高考考查的熱點內(nèi)容.3.向量作為工具，還常與解三角形、不等式、解析幾何等結合，進行綜合考查熱點一平面向量的線性運算1在平面向量的化簡或運算中，要根據(jù)平面向量基本定理選好基底，變形要有方向不能盲目轉(zhuǎn)化2在用三角形加法法則時，要保證“首尾相接”，結果向量是第一個向量的起點指向最后一個向量的終點所得的向量；在用三角形減法法則時，要保證“同起點”，結果向量的方向是指向被減向量例1(1)如圖，在ABC中，AB3DB，AE2EC，CD與BE交于點F.設a，b，xayb，則(x，y)為()A. B.C. D.答案A解析由D，F(xiàn)，C三點共線，可得存在實數(shù)，使得，即()，則(1)(1)(1)ab.由E，F(xiàn)，B三點共線，可得存在實數(shù)，使得，即()，則(1)(1)a(1)b.又a，b不共線，由平面向量基本定理可得解得所以ab.所以x，y，即(x，y)，故選A.(2)已知A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，過點P(m,0)的直線分別與線段AC，BC交于點M，N(點M，N不同于點A，B，C)，且xy(x，yR)，若2|m|3，則xy的取值范圍是_答案解析設，則有|m|.M，N，P三點共線，且點O不在直線MN上，n(1n).從而有n(1n)xy，又與是不共線向量，得xy.由2|3，得xy的取值范圍是.思維升華(1)對于平面向量的線性運算，要先選擇一組基底，同時注意平面向量基本定理的靈活運用(2)運算過程中重視數(shù)形結合，結合圖形分析向量間的關系跟蹤演練1(1)在ABC中，P是直線BN上的一點，若m，則實數(shù)m的值為()A4 B1C1 D4答案B解析因為kk(1k)，且m，又，不共線，所以解得k2，m1，故選B.(2)如圖，矩形ABCD中，AB3，AD4，M，N分別為線段BC，CD上的點，且滿足1，若xy，則xy的最小值為_答案解析連接MN交AC于點G.由勾股定理知，MN2CM2CN2，所以1，即MNCMCN，所以C到直線MN的距離為定值1，此時MN是以C為圓心，1為半徑的圓的一條切線(如圖所示).xy(xy).由向量共線定理知，(xy)，所以xy，又因為|max514，所以xy的最小值為.熱點二平面向量的數(shù)量積1數(shù)量積的定義：ab|a|b|cos .2三個結論(1)若a(x，y)，則|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|.(3)若非零向量a(x1，y1)，非零向量b(x2，y2)，為a與b的夾角，則cos .例2(1)已知在直角梯形ABCD中，ABAD2CD2，ADC90，若點M在線段AC上，則|的取值范圍為_答案解析建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，設(01)，則M(，2)，故(，22)，(2，2)，則(22，24)，|，當0時，|取得最大值2，當時，|取得最小值，|. (2)已知，|，|t，若點P是ABC所在平面內(nèi)的一點，且，則的最大值為_答案13解析建立如圖所示的平面直角坐標系，則B，C(0，t)，(0，t)，t(0，t)(1,4)，P(1,4)，(1，t4)1717213，當且僅當t時“”成立思維升華(1)數(shù)量積的計算通常有三種方法：數(shù)量積的定義，坐標運算，數(shù)量積的幾何意義(2)可以利用數(shù)量積求向量的模和夾角，向量要分解成題中模和夾角已知的向量進行計算跟蹤演練2(1)如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的邊長為1，E為AB的中點，若F為正方形內(nèi)(含邊界)任意一點，則的最大值為_答案解析E為AB的中點，正方形OABC的邊長為1，E，得，又F為正方形內(nèi)(含邊界)任意一點，設F(x，y)，(x，y)，滿足則xy，結合線性規(guī)劃知識可知，當F點運動到點B(1,1)處時，取得最大值.(2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，BAD90，ADC45，AD2，BC1，P是腰CD上的動點，則的最小值為_答案解析以DA為x軸，D為原點，過D與DA垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示由ADBC，BAD90，ADC45，AD2，BC1，可得D(0,0)，A(2,0)，B(2,1)，C(1,1)，P在CD上，可設P(t，t)(0t1)，則(2t，t)，(t2，t1)，3(42t，2t1)，(當且僅當t時取等號)，即的最小值為.真題體驗1(2017浙江)已知向量a，b滿足|a|1，|b|2，則|ab|ab|的最小值是_，最大值是_答案42解析設a，b的夾角為，|a|1，|b|2，|ab|ab|.令y.則y2102.0，cos20,1，y216,20，y4,2，即|ab|ab|4,22(2017浙江改編)如圖，已知平面四邊形ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC與BD交于點O，記I1，I2，I3，則I1，I2，I3的大小關系是_答案I3I1I2解析I1I2()，ABBC，ABBCAD2，CD3，與所成的角為鈍角，I1I20，即I1I2.I1I3|cosAOB|cosCODcosAOB(|)，又AOB為鈍角，OAOC，OB0，即I1I3.I3I1I2.3(2016浙江)已知向量a，b，|a|1，|b|2.若對任意單位向量e，均有|ae|be|，則ab的最大值是_答案解析由于e是任意單位向量，可設e，則|ae|be|ab|.|ae|be|，|ab|，(ab)26，|a|2|b|22ab6.|a|1，|b|2，142ab6，ab，ab的最大值為.4(2017北京)已知點P在圓x2y21上，點A的坐標為(2,0)，O為原點，則的最大值為_答案6解析方法一根據(jù)題意作出圖象，如圖所示，A(2,0)，P(x，y)由點P向x軸作垂線交x軸于點Q，則點Q的坐標為(x,0)|cos ，|2，|，cos ，所以2(x2)2x4.點P在圓x2y21上，所以x1,1所以的最大值為246.方法二因為點P在圓x2y21上，所以可設P(cos ，sin )(02)，所以(2,0)，(cos 2，sin )，2cos 4246，當且僅當cos 1，即0，P(1,0)時“”成立押題預測1已知向量a，b滿足|a|3，且向量b在向量a方向上的投影為2，則a(ab)的值為()A4 B3 C2 D1押題依據(jù)向量的數(shù)量積是高考命題的熱點，常?？疾槠矫嫦蛄康倪\算、化簡、證明及其幾何意義和平面向量平行、垂直的充要條件及其應用等幾個方面答案B解析由向量b在向量a方向上的投影為2，得2，即ab6，則a(ab)a2ab963.2如圖，在ABC中，DEBC交AC于點E，BC邊上的中線AM交DE于點N，設a，b，用a，b表示向量，則等于()A.(ab) B.(ab)C.(ab) D.(ab)押題依據(jù)平面向量基本定理是向量表示的基本依據(jù)，而向量表示(用基底或坐標)是向量應用的基礎答案C解析因為DEBC，所以DNBM，則ANDAMB，所以.因為，所以.因為M為BC的中點，所以()(ab)，所以(ab)故選C.3已知兩個單位向量，的夾角為60，向量，且12,12，設向量，的夾角為，則cos 的取值范圍是()A. B.C. D.押題依據(jù)平面向量基本定理在向量中應用廣泛，可與數(shù)量積等知識結合起來應用答案C解析如圖，由題意知，動點P在平行四邊形CDEF區(qū)域(含邊界)內(nèi)運動易知AODFOA.|2|，cosFOA.|2|，cosDOA.故cos ，故選C.4如圖，在半徑為1的扇形AOB中，AOB60，C為弧上的動點，AB與OC交于點P，則的最小值是_押題依據(jù)本題將向量與平面幾何、最值問題等有機結合，體現(xiàn)了高考在知識交匯點命題的方向，本題解法靈活，難度適中答案解析因為，所以()2.又因為AOB60，OAOB，所以OBA60，OB1.所以|cos 120|.所以|22，當且僅當|時，取得最小值.A組專題通關1(2018全國)在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則等于()A. B.C. D.答案A解析作出示意圖如圖所示()().故選A.2設向量a(1,2)，b(3,5)，c(4，x)，若abc(R)，則x的值為()A B. C D.答案C解析由已知可得(1,2)(3,5)(4，x)x，故選C.3已知向量a，b，其中a(1，)，且a(a3b)，則b在a方向上的投影為()A. B C. D答案C解析由a(1，)，且a(a3b)，得a(a3b)0，即a23ab43ab0，ab，所以b在a方向上的投影為，故選C.4.(2018天津)在如圖所示的平面圖形中，已知OM1，ON2，MON120，2，2，則的值為()A15 B9C6 D0答案C解析如圖，連接MN.2，2，MNBC，且，33()，3(2)3(21cos 12012)6.故選C.5(2018寧波模擬)已知向量，滿足|1，|2，AOB，M為OAB內(nèi)一點(包括邊界)，xy，若1，則以下結論一定成立的是()A.2xy2 B.xyC1x3y D.xy1答案B解析因為|1，|2，AOB，則不妨設(1,0)，(1，)，則xy(xy，y)，(0，)，所以3y1，解得y.又因為點M為OAB內(nèi)一點(包含邊界)，所以x，y滿足的關系式為取x0，y，此時2xy，故A選項不一定成立；由y，xy1，得x，所以y，故B選項一定成立；取x0，y1，此時x3y31，故C選項不一定成立；取x0，y，此時xy，故D選項不一定成立，綜上所述，選B.6(2018浙江省金麗衢十二校聯(lián)考)已知向量a，b滿足|a|2，|b|1，a與b的夾角為，則|a2b|_；a與a2b的夾角為_答案2解析由題意得ab|a|b|cos1，所以|a2b|2，|a2b|2，則cosa，a2b，所以a與a2b的夾角為.7若平面向量a，b滿足|2ab|3，則ab的最小值是_答案解析由向量減法的三角形法則知，當a與b共線且反向時，|2ab|的最大值為3.此時設ab(0，(mn)21mn(mn)2，當且僅當mn時取等號(mn)21，則mn，即mn的最大值為.10(2018浙江省重點中學聯(lián)考)已知矩形ABCD，AB2，BC1，點E是AB的中點，點P是對角線BD上的動點，若xy，則的最小值是_，xy的最大值是_答案15解析如圖，建立平面直角坐標系，則(2,1)，(1，1)，直線BD的方程為y1，設點P(22t，t)(0t1)，則(22t，t)，44tt43t(0t1)，當t1時，取得最小值1.由xy，得xy4(0t1)，當t1時，xy取得最大值5.B組能力提高11.(2018天津)如圖，在平面四邊形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若點E為邊CD上的動點，則的最小值為()A. B. C. D3答案A解析如圖，以D為坐標原點，DA，DC所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標系連接AC，由題意知CADCAB60，ACDACB30，則D(0,0)，A(1,0)，B，C(0，)設E(0，y)(0y)，則(1，y)，y2y2(0y)，當y時，有最小值.故選A.12.如圖，已知圓O的半徑為2，A，B是圓O上任意兩點，且AOB，PQ是圓O的直徑，若點C滿足33(1)(R)，當取得最小值時，的值為()A. B.C. D.答案A解析由已知得0，4，22cos 2，224，所以()()2()233(1)249229(1)2218(1)436236(1)236(1)436(3231)4108255，當且僅當時取等號，所以當時，取得最小值5.故選A.13(2018嘉興市、麗水市教學測試)已知|c|2，向量b滿足2|bc|bc.當b，c的夾角最大時，|b|_.答案2解析設b，c，則由2|bc|bc得4(bc)2(bc)2，即4|b|2sin216|b|cos 160，則4cos |b|sin224sin ，當且僅當|b|sin2，即|b|時，等號成立，則tan 1，所以，當時，|b|2.14已知平面向量，(0，)滿足|1，且與的夾角為120，則|的取值范圍是_答案解析如圖所示，記，由正弦定理得，|sin sin .又0120，0sin 1.即0|.15已知平面向量a(sin x，cos x)，b(sin x，cos x)，c(cos x，sin x)，xR，函數(shù)f(x)a(bc)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若f，求sin 的值解(1)因為a(sin x，cos x)，b(sin x，cos x)，c(cos x，sin x)，所以bc(sin xcos x，sin xcos x)，f(x)a(bc)sin x(sin xcos x)cos x(sin xcos x)sin2x2sin xcos xcos2xsin 2xcos 2xsin.當2k2x2k，kZ，即kxk，kZ時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，kZ.(2)由(1)知，f(x)sin，又f，則sin，sin.因為sin2cos21，所以cos.又sin sinsincos cossin ，所以當cos時，sin ；當cos時，sin .綜上，sin .16已知向量m(sin x，1)，向量n，函數(shù)f(x)(mn)m.(1)