《階動(dòng)態(tài)電路》PPT課件.ppt

第5章 一階動(dòng)態(tài)電路, 前面各章所討論的是電阻電路的分析方法。 電阻電路是用代數(shù)方程來(lái)描述的。, 實(shí)際上，許多實(shí)際電路不能僅用電阻電路來(lái)描述，在模型中往往不可避免地要包含電容元件和電感元件。 這 兩種元件的伏安關(guān)系都要通過(guò)電流、電壓的微分或積分表達(dá)，我們稱這種元件為動(dòng)態(tài)元件。, 電路中至少包含一個(gè)動(dòng)態(tài)元件的電路稱為動(dòng)態(tài)電路。 任何一個(gè)電路不是電阻電路便是動(dòng)態(tài)電路。, 動(dòng)態(tài)電路在任一時(shí)刻的響應(yīng)與激勵(lì)的全部過(guò)去歷史有關(guān)，這與電阻電路完全不同。 也就是說(shuō)動(dòng)態(tài)電路是“有記憶”的。, 本章將介紹電容元件和電感元件的定義、伏安關(guān)系。 一階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、全響應(yīng)和一階電路的三要素法。,5.1 電容元件及其伏安關(guān)系,5.1.1 電容元件 電容器是電子設(shè)備中常用的元件之一，在調(diào)諧、耦合、濾波、脈沖等電路中常用到。 它的基本結(jié)構(gòu)是用兩塊導(dǎo)體做極板，中間隔以電介質(zhì)（如云母、絕緣紙、電解質(zhì)等）組成。, 電容器加上電源后，極板上分別聚集起等量異號(hào)電荷，在介質(zhì)中建立起電場(chǎng)，并儲(chǔ)存電場(chǎng)能量。 當(dāng)電源斷開(kāi)后，電荷在一段時(shí)間仍繼續(xù)聚集在極板上，內(nèi)部電場(chǎng)繼續(xù)存在，所以電容器是一種能夠儲(chǔ)存電場(chǎng)能量的元件。, 在實(shí)際電容器中，電容器上電壓的變化，引起介質(zhì)極化程度的變化，使介質(zhì)有一定的介質(zhì)損耗；同時(shí)介質(zhì)也不可能完全絕緣，多少還有一些漏電流。 質(zhì)量?jī)?yōu)良的電容器，其介質(zhì)損耗和漏電流都很小，可以忽略不計(jì)。, 電容元件就是反映實(shí)際電容器這種物理現(xiàn)象的電路模型。 這樣就可以用一個(gè)僅儲(chǔ)存電場(chǎng)能量的理想元件即電容元件作為它的模型。,電容元件的符號(hào)如圖5-1-1所示。,圖5-1-1 電容元件的圖形符號(hào), 電容元件的定義如下：一個(gè)二端元件，如果在任一時(shí)刻，它的電荷q同它兩端電壓u之間的關(guān)系可以用u q平面上的一條明確的曲線來(lái)確定，則此二端元件稱為電容元件。, 式中C是電容元件的參數(shù)，稱為電容。 在國(guó)際單位制中，電容的單位為F（法拉，簡(jiǎn)稱法）。, 由于法拉這個(gè)單位太大，實(shí)際中常用微法（F）與皮法（pF）作為電容的計(jì)算單位。,1F = 106F 1pF = 1012F 如果u q平面上的特性曲線是一條通過(guò)原點(diǎn)的直線，如圖5-1-2所示，則此電容元件稱為線性電容元件。,圖5-1-2 線性電容元件的庫(kù)伏特性, 我們常常將電容元件簡(jiǎn)稱為電容，這樣電容既代表一種元件的名稱，同時(shí)也代表該元件的參數(shù)。,5.1.2 電容元件的伏安關(guān)系, 電容元件上的伏安關(guān)系，即電壓與電流的關(guān)系，在電路分析中是十分有用的，當(dāng)電容兩端的電壓發(fā)生變化時(shí)，極板上的電荷也發(fā)生相應(yīng)的變化，這時(shí)電容所在的電路中就有電荷的定向移動(dòng)，形成了電流。, 在圖5-1-3中，選定電容上的電壓uC與電路電流i的參考方向一致，電容電路中的電流為,圖5-1-3 電容上電壓與電流, 式（5-1-2）表明，在某一時(shí)刻電容的電流取決于該時(shí)刻電容電壓的變化率，而與該時(shí)刻的電容電壓無(wú)關(guān)。 如果電壓不變，那么 ，雖然有電壓，電流也為零。, 故電容在直流情況下其兩端電壓恒定，相當(dāng)于開(kāi)路，或者說(shuō)電容有隔斷直流（簡(jiǎn)稱隔直）的作用。, 電容電壓變化越快，即 越大，電流也越大。 該公式是分析線性電容的基本公式。 它是以電容電壓與電流的參考方向一致為前提的。, 若電壓與電流的參考方向不一致，則 。, 假定時(shí)間的起始時(shí)刻為，并且此時(shí)電容無(wú)電荷存儲(chǔ)，由式（5-1-2）可得表達(dá)式為 表明電容的電壓與以前所有時(shí)刻流過(guò)電容的電流有關(guān)。, 時(shí)刻t0以后電容上電壓與電流關(guān)系為, 例5-1-1 如圖5-1-4（a）所示，電容與一電流源相接，電流源的波形如圖5-1-4（b）所示，試求電容電壓。 設(shè)u(0) = 0。,圖5-1-4 例5-1-1的圖,圖5-1-5 電壓波形圖,5.1.3 電容元件的儲(chǔ)能,1瞬時(shí)功率 若電壓和電流都是隨時(shí)間變化的，則算得的功率也是隨時(shí)間變化的。 則稱每一瞬間的功率為瞬時(shí)功率，用符號(hào)p表示，當(dāng)電容電壓與電流的參考方向一致時(shí)，則, 當(dāng)電容的功率為正值時(shí)，說(shuō)明電容吸收功率或消耗功率，當(dāng)電容的功率為負(fù)值時(shí)，說(shuō)明電容提供或放出功率。,2電容的儲(chǔ)能, 電容元件所存儲(chǔ)的能量為它從到t時(shí)刻所吸收的能量。, 電容元件吸收的能量以電場(chǎng)能的形式儲(chǔ)存在元件中。 若認(rèn)為t = 時(shí)，u() = 0，電容元件在任何時(shí)刻t儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量WC(t)將等于它吸收的能量，可寫為, 此式表明電容的能量總為正，但有時(shí)增加，有時(shí)減少。 電場(chǎng)能量的單位為焦耳，以J表示。, 設(shè)時(shí)間從t1到t2對(duì)電容C充電，電容電壓為u(t)，電流為i(t)，則在此期間電容元件吸收的能量為, 由式（5-1-5）可知：在t1到t2期間電容儲(chǔ)存或釋放的能量只與t1、t2時(shí)刻的電壓值有關(guān)，而與此期間內(nèi)的其他電壓值無(wú)關(guān)。, 電容元件充電時(shí)，|u(t2)|u(t1)|，WC(t2)WC(t1)，故在此時(shí)間內(nèi)元件吸收能量；電容元件放電時(shí)，WC(t2)WC(t1)，元件釋放能量。, 若元件原來(lái)沒(méi)有充電，則在充電時(shí)吸收并儲(chǔ)存起來(lái)的能量一定又在放電完畢時(shí)全部釋放，它不消耗能量。 所以，電容元件是一種儲(chǔ)能元件。, 同時(shí)，由公式可知WC(t)0，電容元件不會(huì)釋放出多于它吸收或儲(chǔ)存的能量，所以它又是一種無(wú)源元件。,5.1.4 電容的串聯(lián)和并聯(lián), 為了滿足所需要的電容量和工作電壓，常常將不同容量和不同額定電壓的電容組合起來(lái)使用。,1電容的并聯(lián), 圖5-1-6所示為3個(gè)電容元件的并聯(lián)情況，即所有電容處在同一電壓U之下。 各電容極板上的電量為,圖5-1-6 電容的并聯(lián), 電源供給極板上的總電量為 。 根據(jù)等效條件，如果有一電容在同樣電壓之下，所充電量為 ，那么此電容為3個(gè)并聯(lián)電容的等效電容。,即, 幾個(gè)電容并聯(lián)時(shí)其等效電容等于各個(gè)電容之和。 電容并聯(lián)時(shí)相當(dāng)于極板面積的增大，所以增大了電容。 因?yàn)椴⒙?lián)使用的電容，它們的工作電壓相等，所以外加的工作電壓應(yīng)該等于其中耐壓最小的工作電壓。,2電容的串聯(lián), 圖5-1-7所示為3個(gè)電容相串聯(lián)的情況。 因?yàn)橹挥凶钔饷鎯蓧K極板與電源連接，電源對(duì)這兩極板充以相等的異號(hào)電荷，中間極板上因靜電感應(yīng)也出現(xiàn)等量異號(hào)電荷。,圖5-1-7 電容的串聯(lián),根據(jù)KVL， 而每個(gè)電容上的電壓為 故,根據(jù)等效條件，等效電容上的電壓為 所以 得, 即電容串聯(lián)時(shí)的等效電容的倒數(shù)等于各電容倒數(shù)之和。, 電容串聯(lián)時(shí)，其等效電容比每一個(gè)電容都小。 因?yàn)殡娙荽?lián)時(shí)相當(dāng)于加大了極板間的距離，從而減少了電容。 當(dāng)每個(gè)電容的額定電壓小于外加電壓時(shí)，可將電容串聯(lián)使用。, 電容串聯(lián)使用時(shí)，由每個(gè)電容上的電壓可推出：, 電容串聯(lián)時(shí)，各電容的電壓與電容成反比，即電容小的所承受的電壓高些，這一點(diǎn)在工作中應(yīng)該特別注意。 在工作實(shí)踐中為了獲得所需要的電容和耐壓，常常采用既有并聯(lián)、又有串聯(lián)的混聯(lián)接法。, 例5-1-2 有兩只電容器， ， ，耐壓分別為450V及250V。 求（1）并聯(lián)使用時(shí)的等效電容及工作電壓；（2）串聯(lián)使用時(shí)的等效電容及允許的端電壓。, 例5-1-3 3只電容器連接如圖5-1-8所示，其中 ， 。 它們的耐壓都是50V。 求（1）等效電容；（2）它們總的端電壓u不能超過(guò)多少。,圖5-1-8 例5-1-3的圖,5.2 電感元件,5.2.1 電感元件 電感元件是實(shí)際電感器的理想模型。 將一根導(dǎo)線繞成線圈，當(dāng)線圈內(nèi)的電流 發(fā)生變化時(shí)，就會(huì)引起其磁通量的變化，使線圈周圍建立磁場(chǎng)，儲(chǔ)存磁場(chǎng)能量。, 若磁通與線圈匝相交鏈時(shí)，形成磁鏈。 圖5-2-1所示為一個(gè)線圈，其中的電流i產(chǎn)生的磁通與N匝線圈交鏈，則磁鏈為 = N。,圖5-2-1 電感線圈, 不考慮其他作用，只體現(xiàn)能夠建立磁場(chǎng)、儲(chǔ)存磁能這一物理特性的電路模型就是電路理論中的電感元件，簡(jiǎn)稱為電感。, 定義：一個(gè)二端元件，如果在任一時(shí)刻，它的電流i同它的磁通鏈之間的關(guān)系可以用平面上的一條曲線來(lái)確定，則此二端元件稱為電感元件。 電流i同電感磁鏈的關(guān)系為, 式中，L是電感元件的參數(shù)，稱為電感，電感的單位為H（亨利，簡(jiǎn)稱亨）。 在電子技術(shù)中，常采用較小的單位，如mH（毫亨）和H（微亨）。,圖5-2-2 電感元件的符號(hào),圖5-2-3 線性電感元件的韋安特性,圖5-2-4 實(shí)際電感器模型,5.2.2 電感元件的伏安特性, 電感元件雖然是根據(jù) i關(guān)系來(lái)定義的，但在電路分析中常常使用其伏安特性。 如果通過(guò)電感的電流隨時(shí)間變化，磁鏈也相應(yīng)地跟隨變化，根據(jù)電磁感應(yīng)定律，線圈兩端產(chǎn)生感應(yīng)電壓，如果通過(guò)電感的電流不變化，磁鏈也不發(fā)生變化，雖有電流卻沒(méi)有電壓。, 當(dāng)電壓與磁鏈參考方向符合右手螺旋法則時(shí)，則, 將式（5-2-2）代入式（5-2-1）可得 電感上電壓、電流符合關(guān)聯(lián)參考方向。, 式（5-2-3）表明，在某一時(shí)刻電感的電壓取決于該時(shí)刻電感電流的變化率，而與該時(shí)刻的電感電流無(wú)關(guān)。 如果電流不變，那么 ，雖然有電流，電壓也為零。, 故電感在直流情況下其兩端電壓為零，相當(dāng)于短路，或者說(shuō)電感有通直流的作用。, 電感電流變化越快，即 越大，電感電壓也越大。 該公式是分析線性電感的基本公式。 它是以電感電壓與電流的參考方向一致為前提的。, 若電感電壓、電流是非關(guān)聯(lián)參考方向，則關(guān)系式前要加負(fù)號(hào)，即, 對(duì)式（5-2-3）積分，則電感電流i可表示為電壓u的函數(shù)，即, 表明，某一時(shí)刻t的電感電壓不僅取決于該時(shí)刻的電壓值，還取決于t之前，從到t的所有時(shí)間里的電壓值，因此，電感電流能記憶電壓的歷史，電感元件也是個(gè)記憶元件。,5.2.3 電感的儲(chǔ)能, 當(dāng)電感電流、電壓為關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，任一時(shí)刻電感吸收的瞬時(shí)功率為, 其中p(t)表示瞬時(shí)功率，當(dāng)p0時(shí)，電感吸收能量，當(dāng)p0時(shí)，電感釋放能量。, 從t = 到t時(shí)刻，電感吸收的磁場(chǎng)能量為, 由于t時(shí)，i() = 0，所以, 上式表明，當(dāng)線圈通有電流時(shí)，線圈中就要儲(chǔ)存磁場(chǎng)能量，通過(guò)線圈的電流越大，儲(chǔ)存的能量也越多，通電線圈從外界吸收能量；在通有相同電流的線圈中，電感越大的線圈，儲(chǔ)存的能量越多，因此，線圈的電感就反映它儲(chǔ)存磁場(chǎng)能量的能力。, 從時(shí)間t0到t1，線性電感元件吸收的磁場(chǎng)能量為, 電感元件不消耗能量，所以說(shuō)電感元件僅是儲(chǔ)能元件。 它也不會(huì)釋放出多于所吸收或儲(chǔ)存的能量，是一種無(wú)源元件。,5.2.4 電感元件的串聯(lián)、并聯(lián),1電感的串聯(lián) 若有幾個(gè)電感串聯(lián)，如圖5-2-5所示，根據(jù)KVL，總電壓為, 其中， 為等效電感，是各串聯(lián)電感的總和。,圖5-2-5 電感元件的串聯(lián),2電感的并聯(lián), 若有幾個(gè)電感并聯(lián)，如圖5-2-6所示，根據(jù)KCL，總電流為,圖5-2-6 電感元件的并聯(lián), 其中， 為等效電路電感的初始電流，是各并聯(lián)電感初始電流的代數(shù)和。, 其中，Lp為等效電路的等效電感，其倒數(shù)為各并聯(lián)電感倒數(shù)的總和。, 一個(gè)實(shí)際的電感線圈，除了標(biāo)明它的電感量以外，還應(yīng)標(biāo)明它的額定工作電流。 在使用中，如果電流過(guò)大，會(huì)使電感線圈過(guò)熱而發(fā)生變形，甚至燒毀線圈。,5.3 動(dòng)態(tài)電路的基本概念,5.3.1 概念 電容元件和電感元件其電壓和電流的約束關(guān)系是通過(guò)導(dǎo)數(shù)（或積分）表達(dá)的。, 當(dāng)電路中含電容和電感時(shí)，根據(jù)KVL和KCL以及元件的VCR建立的電路方程是以電流和電壓為變量的微分方程或微分積分方程，這顯然與電阻的情況不同，電阻電路的電路方程是代數(shù)方程。, 僅含有一個(gè)電容或一個(gè)電感的電路，當(dāng)電路的無(wú)源元件都是線性時(shí)不變時(shí)，電路方程將是一階線性常微分方程，用一階微分方程來(lái)描述的電路稱為一階動(dòng)態(tài)電路。, 一階電路的分解及等效：一階動(dòng)態(tài)電路可看成由兩個(gè)單口網(wǎng)絡(luò)組成，一個(gè)包含所有的電源及電阻元件組成含源電阻網(wǎng)絡(luò)，另一個(gè)則只含有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件，如圖5-3-1（a）所示。, 例如：一種方法，利用戴維南定理將含源電阻網(wǎng)絡(luò)化簡(jiǎn)為電壓源與電阻串聯(lián)，如圖5-3-1（b）所示；另一種方法，利用諾頓定理將含源電阻網(wǎng)絡(luò)化簡(jiǎn)為電流源與電阻并聯(lián)的形式，如圖5-3-1（c）所示。,圖5-3-1 一階電路的分解及等效, 在自然界中，各種事物的運(yùn)動(dòng)過(guò)程通常都存在穩(wěn)定狀態(tài)（穩(wěn)態(tài)）和過(guò)渡過(guò)程。 例如，有一個(gè)含有兩條支路的電路，第1條支路由一電阻箱和燈泡組成，另一條支路由一個(gè)線圈和燈泡組成。, 當(dāng)接通電源后，含有電阻支路中的燈泡瞬間就亮，但含有線圈支路的燈泡經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間逐漸由暗變亮。 這就是說(shuō)不含有動(dòng)態(tài)元件的電路無(wú)過(guò)渡過(guò)程，含有動(dòng)態(tài)元件的電路在接通直流電源時(shí)有過(guò)渡過(guò)程。, 一般說(shuō)來(lái)，電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)變化到另一種穩(wěn)定狀態(tài)的中間過(guò)程叫做電路的過(guò)渡過(guò)程。 在過(guò)渡過(guò)程中電路中的電壓、電流處于暫時(shí)的不穩(wěn)定狀態(tài)，因此過(guò)渡過(guò)程又稱為瞬態(tài)過(guò)程，簡(jiǎn)稱瞬態(tài)。, 研究電路中的過(guò)渡過(guò)程是有實(shí)際意義的。 例如，有些電路利用電容器充電和放電的過(guò)渡過(guò)程來(lái)完成一些特定的任務(wù)，像積分電路、微分電路、多諧振蕩器等。, 另一方面，在電力系統(tǒng)中，由于過(guò)渡過(guò)程的出現(xiàn)將會(huì)引起過(guò)電壓和過(guò)電流，若不采取一定的保護(hù)措施，就可能損壞電氣設(shè)備。 因此，我們要對(duì)動(dòng)態(tài)電路的過(guò)渡過(guò)程進(jìn)行研究，以便掌握其規(guī)律。, 引起電路過(guò)渡過(guò)程的原因有兩個(gè)，即外因和內(nèi)因。 電路的接通或斷開(kāi)，電源的變化，電路參數(shù)的變化，電路的改接等都是外因。, 只有外因還不一定能引起電路的過(guò)渡過(guò)程，還必須有內(nèi)因。 內(nèi)因是什么呢？即電路中必須含有儲(chǔ)能元件（或稱動(dòng)態(tài)元件）。,5.3.2 換路定律, 電路結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化引起的電路變化統(tǒng)稱為“換路”。 換路可能使電路改變?cè)瓉?lái)的工作狀態(tài)，轉(zhuǎn)變到另一個(gè)工作狀態(tài)。, 我們研究的是換路后電路中電壓或電流的變化規(guī)律，知道了電壓、電流的初始值，就能掌握換路后電壓、電流是從多大的初始值開(kāi)始變化的。, 一般認(rèn)為換路是在t = 0時(shí)刻進(jìn)行的，把換路前的最終時(shí)刻記為t = 0，把換路后的最初時(shí)刻記為t = 0+，換路經(jīng)歷的時(shí)間為0到0+。, 當(dāng)電路發(fā)生換路時(shí)，由于動(dòng)態(tài)元件的存在，動(dòng)態(tài)電路由原工作狀態(tài)轉(zhuǎn)變到新工作狀態(tài)往往需要經(jīng)歷一個(gè)過(guò)程，在工程上稱為過(guò)渡過(guò)程。, 分析動(dòng)態(tài)電路的過(guò)渡過(guò)程的方法之一是：根據(jù)KCL、KVL和支路的VCR建立描述電路的方程，建立的方程是以時(shí)間為自變量的線性常微分方程，然后求解常微分方程，從而解出電路變量（電壓或電流），它們都是時(shí)間的函數(shù)，能夠完整表達(dá)過(guò)渡過(guò)程的變化規(guī)律。, 此方法稱為經(jīng)典法，它是一種在時(shí)間域中進(jìn)行分析的方法。, 求解常微分方程時(shí)，必須給出電路的初始條件，從而確定解答中的積分常數(shù)。 設(shè)描述電路動(dòng)態(tài)過(guò)程的微分方程為N階，則需由初始條件確定電路中所求變量（電壓或電流）及其（n1）階導(dǎo)數(shù)在t = 0+時(shí)的值，稱為初始值。,1具有電容的電路, 對(duì)于線性電容，在任意時(shí)刻t，其電壓與電流的關(guān)系為, 令t0 = 0，t = 0+，則, 如果在換路前后，即0到0+的瞬間，流入（或流出）電容的電流iC(t)為有限值，則上式中右邊的積分項(xiàng)將為零，此時(shí)電容上的電荷和電壓應(yīng)當(dāng)保持換路前一瞬間的原有值而不能躍變，即, 如果電容上電壓uC可以躍變，即t = 0時(shí)，uc由0突變?yōu)閁S，那么電路中的電流 ，這與電路電流為有限 值相矛盾。, 另外，從能量的觀點(diǎn)來(lái)看，當(dāng)開(kāi)關(guān)合上之前，電容的電場(chǎng)中儲(chǔ)能為零。 開(kāi)關(guān)合上的瞬間，若uC躍變，電場(chǎng)能量就要躍變，則電路中的瞬時(shí)功率p = 。, 也就是說(shuō)在電路接通的瞬間，需要電源供給電路無(wú)窮大的功率，對(duì)實(shí)際電源來(lái)講這是不可能的。 所以RC串聯(lián)電路接通電源的瞬間，電容上的電壓不能躍變。, 在t = 0時(shí)刻，若電容電壓為U0，其電壓在換路瞬間不發(fā)生躍變，因此uC(0+) = uC(0) = U0，可見(jiàn)在換路后的瞬間，電容可視為一個(gè)電壓值為U0的電壓源。, 對(duì)于在t = 0時(shí)刻不帶電壓（即未充電）的電容來(lái)說(shuō)，其電壓在換路瞬間不發(fā)生躍變的情況下，uC(0+) = uC(0) = 0，在換路后瞬間電容相當(dāng)于短路。,2具有電感的電路, 對(duì)于線性電感來(lái)說(shuō)，在任意時(shí)刻t，其電流與電壓的關(guān)系為, 令t0 = 0，t = 0+，則, 如果t從0到0+的瞬間，電感電壓uL(t)為有限值，式中右方的積分項(xiàng)將為零，此時(shí)電感中的電流不發(fā)生躍變，即, 如果電流可以躍變，即dt = 0時(shí)，若di 0， 則電感上電壓 ，這與電源電壓 為有限值是矛盾的。, 另外，從能量的觀點(diǎn)來(lái)看，當(dāng)開(kāi)關(guān)合上時(shí)，電感中電流為零，磁場(chǎng)能量也為零。 當(dāng)開(kāi)關(guān)合上的瞬間，若電流躍變，磁場(chǎng)能量就躍變，則電路中的瞬間功率 。, 這就是說(shuō)，在電路接通的瞬間，需要電源供給電路無(wú)窮大的功率，對(duì)任何實(shí)際電源來(lái)說(shuō)，這是不可能的。 所以，RL串聯(lián)電路接通電源瞬間，電流不能躍變。, 在t = 0時(shí)電流為I0的電感，其電流在換路瞬間不發(fā)生躍變，因此iL(0+) = iL(0) = I0， 此電感在換路后瞬間可視為一個(gè)電流值為I0的電流源。, 對(duì)于t = 0時(shí)電流為零的電感，在換路瞬間不發(fā)生躍變的情況下，iL(0+) = iL(0) = 0，此電感在換路后瞬間相當(dāng)于開(kāi)路。,在換路前后電容流過(guò)的電流和電感兩端的電壓為有限值的條件下，換路瞬間電容電壓和電感電流不能躍變，即 這個(gè)規(guī)律被稱為換路定律。, 注意： （1）換路定律僅表明當(dāng)電路發(fā)生換路時(shí)，iL、uC將保持換路前一瞬間的數(shù)值，但隨著時(shí)間的推移，它們將會(huì)從這個(gè)數(shù)值逐漸向新的穩(wěn)態(tài)值變化。,（2）換路定律只對(duì)iL和uC具有約束作用，電路中其他電壓、電流不受換路定律的約束，因此可以發(fā)生躍變。,5.3.3 初始值的計(jì)算, 由于基爾霍夫電流和電壓定律是反映電路中互連的規(guī)律，只與元件的連接方式有關(guān)，而與構(gòu)成電路元件性質(zhì)無(wú)關(guān)，故對(duì)動(dòng)態(tài)電路仍適用。, R、L、C 3種元件的電壓與電流關(guān)系式則要用基本關(guān)系式 ； ； 。 若電路是線性的，疊加定理也適用。, 只由電阻和電源組成的部分，可以用戴維南等效電路或諾頓等效電路來(lái)代替。 換路后瞬間電容電壓、電感電流的初始值，用uC(0+)和iL(0+)來(lái)表示，它是利用換路前瞬間t = 0電路確定uC(0)和iL(0)，再由換路定律得到uC(0+)和iL(0+)的值。, uC(0+)和iL(0+)可以確定電路的初始狀態(tài)，因此稱uC(0+)和iL(0+)為獨(dú)立的初始條件。 其余電路變量在t = 0+時(shí)刻的值，稱為非獨(dú)立的初始條件。, 該電路的非獨(dú)立初始條件，即電阻的電壓或電流、電容電流、電感電壓等則需要通過(guò)已知的獨(dú)立初始條件求得。, 若電路中的激勵(lì)全部為直流，發(fā)生換路前t = 0時(shí)刻，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，各支路電壓、電流對(duì)時(shí)間的變化率為零，根據(jù)兩種元件的VCR可知iC(0) = 0、uL(0) = 0，因此，計(jì)算uC(0)和iL(0)的值時(shí)，可將換路前電路中的電容開(kāi)路而電感短路，則uC(0)即為原電容位置的開(kāi)路電壓，iL(0)為原電感位置的短路電流。, 例5-3-1 在圖5-3-2（a）所示的電路中，開(kāi)關(guān)S在t = 0時(shí)閉合，開(kāi)關(guān)閉合前電路已處于穩(wěn)定狀態(tài)。 試求初始值uC(0+)、iL(0+)、i1(0+)、i2(0+)、ic(0+)和uL(0+)。, 解（1）電路在t = 0時(shí)發(fā)生換路，欲求各電壓、電流的初始值，應(yīng)先求uC(0+)和iL(0+)。, 通過(guò)換路前穩(wěn)定狀態(tài)下t = 0電路可求得uC(0)和iL(0)。 在直流穩(wěn)態(tài)電路中，uC不再變化，duC/dt = 0，故iC = 0，即電容器C相當(dāng)于開(kāi)路。, 同理，iL也不再變化，diL/dt = 0，故uL = 0，即電感器L相當(dāng)于短路。 所以t = 0時(shí)刻的等效電路如圖5-3-2（b）所示，由該圖可知,圖5-3-2 例5-3-1圖, 例5-3-2 電路如圖5-3-3（a）所示，開(kāi)關(guān) S閉合前電路無(wú)儲(chǔ)能，開(kāi)關(guān)S在t = 0時(shí)閉合，試求i1、i2、i3、uC、uL的初始值。,圖5-3-3 例5-3-2圖, 通過(guò)以上例題，可以歸納出求初始值的一般步驟如下。,（1）根據(jù)t = 0時(shí)的等效電路，求出uC(0)及iL(0)。 （2）作出t = 0+時(shí)的等效電路，并在圖上標(biāo)出各待求量。 （3）由t = 0+等效電路，求出各待求量的初始值。, 例5-3-3 直流電源的電壓US = 100V，R2 = 100，開(kāi)關(guān)S原先合在位置1，電路處于穩(wěn)態(tài)。 試求S由位置1合到位置2的瞬間，電路中電阻R1、R2上及電容C上的電壓和電流的初始值。, 例5-3-4 如圖5-3-5所示電路，設(shè)已知US = 10V，R1 = 6，R2 = 4， = 2mH，求當(dāng)開(kāi)關(guān)S閉合后t = 0+時(shí)各電流及電感電壓的數(shù)值（開(kāi)關(guān)S閉合前電路處于穩(wěn)態(tài)）。,圖5-3-4 例5-3-3圖,圖5-3-5 例5-3-4圖,5.4 一階電路的零輸入響應(yīng), 電路中含有一個(gè)獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件（L或C），描述電路性狀的方程稱為一階微分方程，這種電路叫一階動(dòng)態(tài)電路，簡(jiǎn)稱一階電路。 沒(méi)有外加電源，由電容元件和電感元件儲(chǔ)存的能量激勵(lì)電路產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)。, 零輸入響應(yīng)依靠動(dòng)態(tài)元件的初始儲(chǔ)能進(jìn)行，當(dāng)電路中存在著耗能元件R時(shí)，有限的初始儲(chǔ)能最終將被消耗殆盡，零輸入響應(yīng)終將為零，即零輸入響應(yīng)是一個(gè)放電過(guò)程。,5.4.1 RC電路的零輸入響應(yīng), RC電路如圖5-4-1所示，開(kāi)關(guān)S閉合前，電容器C已充電，其電壓uC = U0。 現(xiàn)把開(kāi)關(guān)動(dòng)作時(shí)刻取為計(jì)時(shí)起點(diǎn)（t = 0）。,圖5-4-1 RC零輸入響應(yīng)電路, 換路瞬間，由于電容電壓不能躍變，所以此時(shí)電容器兩端仍具有初始電壓，即 。, 因此在換路瞬間，電流將由0躍變U0/R。隨后電容儲(chǔ)存的電荷通過(guò)電阻放電，電容電壓逐漸減少，最后為零。 放電電流也相應(yīng)地從U0/R逐漸下降為零。, 在這個(gè)過(guò)程中電容儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量逐漸為電阻消耗，轉(zhuǎn)化為熱能。 此時(shí) ， ， 。, 電容器初始狀態(tài)并非為零，具有U0初始電壓，這叫做非零初始狀態(tài)。 當(dāng)開(kāi)關(guān)閉合后，即t 0時(shí)，根據(jù)KVL可得, 將電阻元件、電容元件的伏安關(guān)系式 ， 代入上述方程，則得微分方程, 這是一階常系數(shù)線性齊次微分方程。 由高等數(shù)學(xué)可知，此方程的通解為, 代入式（5-4-1）后有 相應(yīng)的特征方程為,特征根為 因此 再由初始值確定待定系數(shù)A。, 將初始條件uC(0+) = U0代入上式，uC(0+) = Ae0 = U0，則A = U0。 由此，我們得到了滿足初始條件的微分方程的解，即RC電路的零輸入響應(yīng)為, 這就是電容對(duì)電阻放電過(guò)程中電容電壓uC的表達(dá)式。 電路中的放電電流, 電阻兩端的電壓, 從以上表達(dá)式可以看出，電壓uC、uR及電流i都是按照同樣的指數(shù)規(guī)律衰減的。 它們衰減的快慢取決于指數(shù)中RC的大小。 當(dāng)電阻的單位為，電容的單位為F時(shí)，乘積RC的單位為s，稱為RC電路的時(shí)間常數(shù)，用 表示， = RC。, 引入 后，電容電壓uC和電流i可以分別表示為,圖5-4-2所示為電壓uC和電流i隨時(shí)間變化的曲線。,圖5-4-2 一階RC電路零輸入響應(yīng)曲線, 電壓、電流衰減的快慢取決于時(shí)間常數(shù)的大小， 越大，衰減越慢，反之則越快。 越大，說(shuō)明R或C越大。, 從物理概念上講，如C一定，電阻R愈大，則放電電流的起始值就愈小，放電所需時(shí)間長(zhǎng)，放電速度慢；如R一定，則放電電流的起始值一定，C愈大，電容起始儲(chǔ)存的電荷愈多，放電需要的時(shí)間就愈長(zhǎng)。, 的大小反映了一階電路過(guò)渡過(guò)程的進(jìn)展速度，它是反映過(guò)渡過(guò)程特性的一個(gè)重要的量。 理論上，按照指數(shù)規(guī)律，需要經(jīng)過(guò)無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間過(guò)渡過(guò)程才能結(jié)束。, 但當(dāng)t = (35) 時(shí)，電容上的電壓已達(dá)（0.04980.00674）U0（見(jiàn)表5-4-1），通常認(rèn)為電容器放電基本結(jié)束，電路進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)。, 例5-4-1 在圖5-4-4所示的電路中，C = 0.5F，R1 = 100，R2 = 50k，Us = 100V，當(dāng)電容器充電至200V后，將開(kāi)關(guān)K由接點(diǎn)1轉(zhuǎn)向接點(diǎn)2。 求初始電流、時(shí)間常數(shù)和電容電壓。,圖5-4-3 不同時(shí)間常數(shù)時(shí)uC的變化曲線,圖5-4-4 例5-4-1圖, 例5-4-2 在圖5-4-5（a）所示電路中，當(dāng)t0時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)，在t = 0時(shí)打開(kāi)開(kāi)關(guān)K。求打開(kāi)開(kāi)關(guān)K后的電流i(t)。,圖5-4-5 例5-4-2的電路,5.4.2 RL電路的零輸入響應(yīng), 在RL電路中，沒(méi)有外部激勵(lì)源作用只是由電感初始儲(chǔ)能引起的響應(yīng)，稱為RL電路的零輸入響應(yīng)。 圖5-4-6（a）所示電路，開(kāi)關(guān)未動(dòng)作之前電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，t = 0時(shí)開(kāi)關(guān)由1倒向2，構(gòu)成RL回路，等效電路如圖5-4-6（b）所示。,圖5-4-6 零輸入響應(yīng)電路,在開(kāi)關(guān)K換路前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，電 感相當(dāng)于短路，流過(guò)的電流為 ， 由換路定律 i(0+) = i(0) = I0換路瞬間電感 中儲(chǔ)存的能量為 。, 回路中的電流不能立即降為零，而是在RL構(gòu)成的電路中繼續(xù)流動(dòng)，由于電阻器R是耗能元件，它不斷地吸收能量，電感中的儲(chǔ)能不斷減少，電流將逐漸衰減，最后變到零，過(guò)渡過(guò)程也隨之結(jié)束。 這就是通常所說(shuō)的電感的“放電”過(guò)程。,圖5-4-7 RL電路電流、電壓波形圖, iL(t)、uL(t)的波形都是按指數(shù)規(guī)律從最大值開(kāi)始衰減的，衰減的快慢同樣取決于時(shí)間常數(shù)。, 在相同的初始電流條件下，L越大，存儲(chǔ)的磁場(chǎng)能量越多，電阻消耗磁場(chǎng)能量的時(shí)間就越長(zhǎng)；電阻越大，在同樣的電流下，電阻消耗的能量越大，磁場(chǎng)能量釋放的越快。 在工程上一般認(rèn)為當(dāng)時(shí)間經(jīng)過(guò)(35) 后，過(guò)渡過(guò)程就已結(jié)束。, 例5-4-3 如圖5-4-8所示電路，t = 0時(shí)開(kāi)關(guān)K由12，開(kāi)關(guān)動(dòng)作前電路已處于穩(wěn)態(tài)。 求t0時(shí)電感電壓和電流。,圖5-4-8 例5-4-3圖,5.4.3 零輸入響應(yīng)的一般形式, 對(duì)上述RC電路和RL電路的零輸入響應(yīng)分析可以看出，對(duì)任意時(shí)間常數(shù)為非零有限值的一階動(dòng)態(tài)電路，不僅電容電壓、電感電流而且所有的電壓、電流的零輸入響應(yīng)，都是從它的初始值開(kāi)始按指數(shù)規(guī)律衰減到零的，并且同一電路中所有電壓、電流的時(shí)間常數(shù)相同。, 若以f(t)表示電壓或電流，f(0+)表示電壓或電流的初始值，用 表示時(shí)間常數(shù)，則式（5-4-2）、式（5-4-4）可統(tǒng)一記為, 對(duì)于RC電路， = RC；對(duì)于RL電路 = L/R（R為從動(dòng)態(tài)元件兩端看進(jìn)去的等效電阻）。 由此可見(jiàn)，只要計(jì)算出一階電路的初始值f(0+)、時(shí)間常數(shù)，便可直接寫出表達(dá)式。, 電容電壓或電感電流非零初始值也是一種激勵(lì)，該激勵(lì)產(chǎn)生相應(yīng)的響應(yīng)。 其有別于獨(dú)立電源激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)。, 時(shí)間常數(shù) 愈小，衰減愈快。, 式（5-4-6）的零輸入響應(yīng)形式不僅適用于狀態(tài)變量，也適用于非狀態(tài)變量。 零輸入響應(yīng)線性：初始值增加K倍，零輸入響應(yīng)也增加K倍。, 反映一階電路特性的時(shí)間常數(shù)是特征根，亦即固有頻率倒數(shù)的相反數(shù)。 在電路理論中，固有頻率用來(lái)表征電路的固有性質(zhì)。 固有頻率是負(fù)實(shí)數(shù)，表明響應(yīng)總是按指數(shù)規(guī)律衰減的。, 例5-4-4 在圖5-4-9中，K是電阻 = 250的繼電器，吸合時(shí)，其電感L = 25H，R1 = 230，US = 24V。 設(shè)這種繼電器的釋放電流為，問(wèn)當(dāng)K閉合后多少時(shí)間繼電器開(kāi)始釋放？,圖5-4-9 例5-4-4圖,5.5 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng), 零狀態(tài)響應(yīng)就是電路在零初始狀態(tài)，即動(dòng)態(tài)元件初始儲(chǔ)能為零的情況下由外施激勵(lì)引起的響應(yīng)。 零狀態(tài)響應(yīng)是儲(chǔ)能從無(wú)到有的建立過(guò)程充電過(guò)程。,5.5.1 RC電路的零狀態(tài)響應(yīng), 在圖5-5-1中，當(dāng)開(kāi)關(guān)K剛合上時(shí)，電容器上還沒(méi)有電荷，它的電壓uC = 0，此時(shí)uR = US，電路里的起始電流I0為最大， 。, 隨著充電過(guò)程的發(fā)展，電路里有了電流，電容器極板上就開(kāi)始積累電荷，電容器上的電壓uC就隨時(shí)間逐漸上升，由于，因此隨著uC的升高，電阻兩端電壓uR就不斷減小。, 根據(jù)歐姆定律 可知，充電電流也隨著變小。 充電過(guò)程延續(xù)到一定時(shí)間以后，uC增加到趨近于電源電壓US，則充電電流趨近于零，充電過(guò)程基本結(jié)束。, 由于電容器兩端電壓與電容電流的關(guān)系為, 將上式代入 中，得 （一階線性常系數(shù)非 齊次微分方程）, 解的形式由兩部分組成： 為對(duì)應(yīng)非齊次微分方程的特解， 為對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解。, 對(duì)應(yīng)齊次微分方程與（5-4-1）式相同，其通解為 式中 為時(shí)間常數(shù)： = RC。, 由于電路的激勵(lì)是直流電源，非齊次微分方程的特解應(yīng)與輸入的激勵(lì)函數(shù)式相同，即, 微分方程的解為 代入初始條件得 A = US, 于是解出電容電壓為, 根據(jù)電容的伏安關(guān)系 將上式代入 中，得, 其中US 、R 、C在具體電路中是常數(shù)。 圖5-5-2所示為零輸入響應(yīng)隨時(shí)間變化的過(guò)程曲線。,圖5-5-1 RC電路的零狀態(tài)響應(yīng),圖5-5-2, 理論上，按照指數(shù)規(guī)律，需要經(jīng)過(guò)無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間充電過(guò)程才能結(jié)束。 但當(dāng)t = (35)時(shí)，電容上的電壓已達(dá)（0.950.99）US（見(jiàn)表5-5-1），通常認(rèn)為電容器充電基本結(jié)束，電路進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)。, 從上表中可以看出，當(dāng)t = 時(shí)，充電電流恰好減小到其初始值的37%。 因此時(shí)間常數(shù) 是過(guò)渡過(guò)程已經(jīng)變化了總變化量的63%（余下37%）所經(jīng)過(guò)的時(shí)間。 固有頻率, 從以上式子可以得出：電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律變化的函數(shù)；電容電壓由兩部分構(gòu)成：穩(wěn)態(tài)分量（強(qiáng)制分量）+暫態(tài)分量（自由分量）。, 電容電壓和電流隨時(shí)間變化的曲線如圖5-5-3所示。 響應(yīng)與外加激勵(lì)成線性關(guān)系。,圖5-5-3 電容電壓和電流隨時(shí)間變化的曲線, 能量關(guān)系：在充電過(guò)程中電容儲(chǔ)存的能量為 ，電阻消耗的總能量為, 該能量與R的大小無(wú)關(guān)。 在充電過(guò)程中電阻所消耗的總能量與電容最后所儲(chǔ)存的能量是相等的，電源提供的能量為, 例5-5-1 在圖5-5-1所示的電路中，已知US = 100V，R = 1M，C = 50F，問(wèn)當(dāng)K閉合后經(jīng)過(guò)多少時(shí)間電流減小到其初始值的一半？,5.5.2 RL電路零狀態(tài)響應(yīng), 在圖5-5-4所示的RL串聯(lián)電路中，K剛剛閉合時(shí)，由于電感電流不能躍變，所以在t = 0+時(shí)電路中的電流仍然為零，電感相當(dāng)于開(kāi)路，電阻上沒(méi)有電壓，這時(shí)電路的方 程為uR + uL=US，即 ，電感兩 端的電壓uL必然等于電源電壓US。,圖5-5-4 RL串聯(lián)電路, 隨著電流的逐漸上升，電阻電壓也逐漸增大，電感上的電壓逐漸減小，電流的變化率也在逐漸減小，并且越來(lái)越慢，當(dāng)時(shí)間t后，電流不再變化，電感電壓幾乎為零，電感如同短路一樣，電路中電流 。, 由KVL方程 ：, 由RC電路零狀態(tài)響應(yīng)的求解步驟得, 由此方程看出，RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)是由零值開(kāi)始按指數(shù)規(guī)律變化的，直到穩(wěn)態(tài)值 。 式中 ，稱為RL電路的時(shí)間常數(shù)。, 充電時(shí)電感電壓與電流的波形圖如圖5-5-5所示。,圖5-5-5 充電時(shí)電感電壓與電流的波形圖, 事實(shí)上，對(duì)于一階電路在直流電源作用下的零狀態(tài)響應(yīng)，無(wú)論是RC電路還是RL電路，其物理過(guò)程的實(shí)質(zhì)都是電路中儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能從無(wú)到有逐漸增長(zhǎng)的過(guò)程。 對(duì)于RC電路來(lái)說(shuō)，電容電壓uC從零開(kāi)始按指數(shù)規(guī)律上升到它的穩(wěn)態(tài)值uC()。, 對(duì)于RL電路來(lái)說(shuō)，電感電流iL從零開(kāi)始按指數(shù)規(guī)律上升到它的穩(wěn)態(tài)值iL()。 它們具有相同的變化形式，時(shí)間常數(shù) 分別為RC 和 。, 當(dāng)電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，電容相當(dāng)于開(kāi)路，電感相當(dāng)于短路。 所以零狀態(tài)響應(yīng)的一般形式為, 由此可見(jiàn)，無(wú)論RC電路還是RL電路只要確定穩(wěn)態(tài)值f()、時(shí)間常數(shù) 就可以確定電路在零初始狀態(tài)下，僅由外加激勵(lì)作用所產(chǎn)生的響應(yīng)。, 例5-5-2 電路如圖5-5-6所示，K閉合前電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，t = 0時(shí)，開(kāi)關(guān)K閉合，求t0時(shí)的iL(t), uL(t),圖5-5-6 例5-5-2的圖, 例5-5-3 圖5-5-7（a）所示電路中的開(kāi)關(guān)S打開(kāi)已久，t = 0時(shí)將開(kāi)關(guān)S閉合。 已知iL(0) = 0A，求t0時(shí)的電流i。,圖5-5-7 例5-5-3的圖,5.5.3 RC串聯(lián)電路充放電過(guò)程的應(yīng)用, 在電子技術(shù)中，常利用RC串聯(lián)電路的充放電過(guò)程來(lái)實(shí)現(xiàn)微分電路和積分電路。,1微分電路, 圖5-5-8所示為一種簡(jiǎn)單的微分電路。 由電容和電阻串聯(lián)后的兩端A、B作為輸入端，電阻R的兩端C、D作為輸出端（B和D實(shí)際為一點(diǎn)）。,圖5-5-8 微分電路, 這樣的電路，為什么叫微分電路呢？我們看一看輸出電壓與輸入電壓的關(guān)系。 選擇電流和電壓的參考方向如圖中所示。,輸出電壓 輸入電壓, 在電容uc電壓遠(yuǎn)大于電阻R上電壓u2期間，即ucu2時(shí)，就有,所以 這樣輸出電壓u2與輸入電壓u1之間就有微分關(guān)系。,圖5-5-9 微分電路的工作過(guò)程,2積分電路, 圖5-5-10所示為電阻器電容器組成的積分電路，它的輸出電壓u2與輸入電壓u1之間存在積分關(guān)系。,圖5-5-10 積分電路, 積分電路的條件是： （1）時(shí)間常數(shù) a； （2）從電容兩端輸出。, 在脈沖電路中，常應(yīng)用積分電路將矩形脈沖換成近似三角形。 如圖5-5-11所示。,圖5-5-11 將矩形脈沖換成近似三角形,5.6 一階電路的全響應(yīng), 一階電路換路后由外