關于無窮級數(shù)求和問題的探討畢業(yè)論文.docVIP

關于無窮級數(shù)求和問題的探討 方先鋒（莆田學院數(shù)學系 指導教師：林美琳）摘要：無窮級數(shù)是數(shù)學分析中的一個重要內(nèi)容,無窮級數(shù)的和對于研究無窮級數(shù)的特性、函數(shù)斂散性、近似計算等都有重要的作用，本文介紹了無窮級數(shù)求和的一些方法，如裂項相消法、逐項微分或積分法、轉(zhuǎn)化為函數(shù)項級數(shù)求解法、利用子列的極限等等，以及這些方法在具體例子中的應用，其目的是為了讓讀者更加熟練地掌握無窮級數(shù)求和方法及技巧，從而進一步促進其對該知識的學習和理解無窮級數(shù)，為以后更深入的學習數(shù)學做好準備。關鍵字：級數(shù)求和;逐項積分;函數(shù)項級數(shù);拉普拉斯變換Abstract: Infinite series is an important part of mathematical analysis, infinite series and for research the characteristics, function infinite series converges scattered sex, approximate computation has important effect, this paper introduces some methods of infinite series summation, such as Cancellation Method of Splitting, item by item, a photograph of differential and integral method, is transformed into a function of series method, using subsequence limit, etc, and these methods in specific examples of application, Its purpose is to let the reader more mastered the infinite series summation methods and skills, thus further promote its to the knowledge learning and understanding infinite series, for further study mathematics ready.Keywords: Series summation; Item by item, integral; Function of series; Laplace transform引言無窮級數(shù)不僅是研究分析學的重要工具，同時在自然科學和工程技術中有許多問題也可以由無窮級數(shù)來解決。這是因為，一方面有很多函數(shù)可以用無窮級數(shù)來表示；另一方面，又能借助于無窮級數(shù)來研究函數(shù)逼近和近似計算等問題。所以無窮級數(shù)理論在理論或?qū)嶋H應用中，都是研究函數(shù)的一種重要數(shù)學工具。要掌握這一工具無窮收斂級數(shù)求和的問題，便成為一個基本又很重要的一個課題了。 我們在研究級數(shù)的斂散性時, 當級數(shù)收斂的情況下, 如何去求出其和, 有時是比較麻煩的事。對于無窮級數(shù)求和的這一問題，李素峰、張春平、鄭春雨、蔡炯輝等人對此有一定的研究，并撰寫了與此相關的一些文章，對學生學習起到了一定的指導作用 但他們的文章篇幅甚少，內(nèi)容簡單，沒有系統(tǒng)全面地介紹無窮級數(shù)求和的方法，本文作者通過長時間閱讀大量的文獻學習研究，研究級數(shù)求和方法以饗讀者。1 利用級數(shù)和的定義求和法定義：如果級數(shù)的部分和數(shù)列有極限，即，則稱無窮級數(shù)收斂，這時極限叫做這級數(shù)的和，并寫成；如果沒有極限，則稱無窮級數(shù)發(fā)散。例1 求和 .分析：我們可以根據(jù)已知級數(shù)的特點：后一項中的的次數(shù)都比前一項的次數(shù)多一，這樣我們就可以乘以一個，然后作差，最后再取極限。解：記部分和則兩式相減得： 取極限后易得： .例 2 求級數(shù)的和。分析：由已知級數(shù)的通項可知：它的后一項的分母是前一項分母的倍，我們把通項的分母先乘以，然后作差，最后取極限。解： 由得：即于是2 裂項相消法求和法 主要適用于無窮級數(shù)的通項公式為分式且其分母是因式之積的形式的級數(shù)。它的關鍵是將級數(shù)的一般項分解成部分分式的形式。諸如：，等等，都可以用裂項相消法求和。例 3 求無窮級數(shù)的和.分析：觀察到此無窮級數(shù)的通項公式為分式且其分母是因式之積的形式的級數(shù)，注意到，然后再求和。解 ：因為 所以即例 4 求無窮級數(shù).分析：題目所給出的級數(shù)的通項是分母為根式之積的分式，我們可以考慮先將其分母有理化再進行約分化簡成可抵消的兩項之差。解：先對通項分母中的和式進行有理化，得所以 從而3 利用逐項求導與逐項求積分求和法定理1 如果級數(shù)的各項在區(qū)間上連續(xù)，且在上一致收斂于，則級數(shù)在上可以逐項積分，即 其中并且上式右端的級數(shù)在上也一致連續(xù)。定理2 如果級數(shù)在區(qū)間上收斂于和，它的各項都具有連續(xù)導數(shù)，并且級數(shù)在上一致收斂，則級數(shù)在上也一致收斂，且可逐項求導，即方法：利用逐項求導或逐項積分，將級數(shù)化為已知的展式求和。例 5 求級數(shù)的和.分析：觀察到如果先對原級數(shù)從到積分，然后再變形就可轉(zhuǎn)化為泰勒展開式了，最后求和。解：記，其中。因為所以，當時，發(fā)散。 當時，發(fā)散即的收斂域為，從而在其收斂域內(nèi)逐項積分有所以 .例 6 計算無窮級數(shù)之和。分析：該級數(shù)求和的困難之處在于有分母, 如果沒有分母, 這就是一個等比級數(shù), 其和馬上可以寫出。但此級數(shù)容易證明其收斂半徑為。因此,內(nèi)可以逐項微分任意多次。將級數(shù)逐項微分兩次之后便消去了全部分母, 成為了。求出和再積分（從積到）兩次,即可得解。解：由則對于級數(shù)，兩邊從積到，得 兩邊再從積到，得 上式左邊正是原級數(shù)。所以級數(shù)和 例 7 設，求.分析：首先我們將積分算出來，然后又注意到是中的值，由我們想到先求導后積分及可以求出。解：積分：.因此設 求導后再求和，得 積分，得 令，則 . 故 4 轉(zhuǎn)化數(shù)列極限的計算問題求和法數(shù)列的斂散性可由其子列來研究,并且有一個重要的結(jié)論：引理 1:數(shù)列收斂的充分必要條件是的任一子列都收斂,且有相同的極限。特別地,由引理1,可得引理2:數(shù)列收斂于的充分必要條件是的兩個子列和都收斂于同一極限，此時， 稱兩個子列和為互補子序列?？蓪⒁?推廣到一般情形定理1: 數(shù)列收斂于的充分必要條件是的(是某個正整數(shù))個子列,，都收斂于同一極限.證明:當時,結(jié)論顯然成立;下面證明當p = 3 時結(jié)論成立,其他情形類似可證由引理1可知必要性顯然,只要證明“充分性”由條件,由收斂于，則對，當時，有由收斂于，則對上述的，當時，有由收斂于，則對上述的，當時，有取，則時，有且且當時，或或所以故證數(shù)列收斂于。定理2：若級數(shù)的通項（當時），則收斂于的充分必要條件是部分和數(shù)列的子數(shù)列收斂于。此時。證明：必要性：由引理可知。 充分性：因為收斂于，由收斂的“” 定義可得：對，當時，有，又因為，由收斂的“” 定義可得：則對上述的，當時，有，則當，考察因此，由收斂的“”的定義得：收斂于，再根據(jù)引理，可知收斂于。定理3：若級數(shù)的通項（當時），則收斂于的充分必要條件是部分和數(shù)列的的一個子列（是某個正整數(shù)，收斂于。證明：當時結(jié)論成立，下面證明時結(jié)論成立，其他的情形類似可證。必要性：由引理可知。充分性：收斂于，由收斂的“” 定義可得：則對，當時，有，又因為，由收斂的“” 定義可得：則對上述的，當時，有，則，考察因此，由收斂的“” 定義可得，收斂于，再根據(jù)定理可得收斂于。例 8 求交錯級數(shù)的和.分析：通過寫出觀察后，我們可先考慮的極限，然后化簡就可以利用定理3知其和。解：原級數(shù)，觀察后，考察部分和數(shù)列的子列的極限。首先給出一個重要的公式： 其中成為常數(shù)，且。對于原級數(shù)，并由式可知即，又因為所以，有定理3知，原級數(shù)收斂，其和為.例 9 計算級數(shù)的和。分析：我們發(fā)現(xiàn)原級數(shù)每三項就會出項一個負的項，我們這樣就可以考慮級數(shù)的前項的和，從而得出結(jié)果。解：級數(shù)的前項的和為 所以收斂于，又因為，因此根據(jù)定理可得原級數(shù)收斂，其和為。 5 利用解微分方程求和法即研究它的導數(shù)或其與它本身有何特點及相關聯(lián)系，看其是否滿足某微分方程及定解條件 找出欲求和級數(shù)所滿足的微分方程及定解條件，再解該方程。例 10 求無窮級數(shù)的和.分析：我們發(fā)現(xiàn)此級數(shù)它的本身其實和它的導數(shù)的和相等，這樣我們就可列出微分方程，求其解，也就是無窮級數(shù)的和。解：易知該冪級數(shù)的收斂，故在內(nèi)級數(shù)處處收斂，且可逐項求導，令 又當時，解一階微分方程得，即= .例 11 求無窮級數(shù)的和.分析：先對原級數(shù)求導，而后就會注意到，解這個一階線性微分方程就得出其和。解：該級數(shù)收斂域為，設其和為. 則 即這是一階線性微分方程，由通解公式： 由，得， .6 利用傅里葉級數(shù)求和法在將某些函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)時，往往得到一些比較規(guī)范的三角級數(shù)展開式。設在區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)的傅里葉級數(shù)，其中，它在上收斂，它的和函數(shù)例 12 求的和.分析：注意到該級數(shù)的和函數(shù)在展開的傅里葉級數(shù)的關系。解：先求的傅里葉級數(shù)，所以將函數(shù)在上展成傅里葉級數(shù)得： ；令，則例 13 求無窮級數(shù)的和。分析：通過先求的傅里葉級數(shù)，然后再轉(zhuǎn)向原級數(shù)求和。解：先求的傅里葉級數(shù) ， ，有在處連續(xù) ，有 7 利用歐拉常數(shù)求和法極限的值為歐拉常數(shù)，設為，則有： 其中。利用上式可求某些數(shù)值級數(shù)的和。例 14 求.分析：首先我們可以先用裂項相消法，然后化簡，注意到可以用歐拉常數(shù)求和法，從而求和。解： 即 .例 15 級數(shù).分析：注意到，之后再用歐拉常數(shù)法。解：注意到，則 (是常數(shù))8 利用拉普拉斯（laplace）變換求和法基本定義和有關定理定義 設函數(shù)當時有定義，而且積分 （為復參數(shù)）在的某一領域內(nèi)收斂，則有此積分所確定的函數(shù)為 公式稱為函數(shù)的拉普拉斯變換式。記為 稱為的拉氏變換，而稱為的拉氏逆變換，記為 積分反演定理 若是可變換的，且，則 。例 16 求級數(shù)之和.分析：這種題目比較簡單，也有其他的方法，我們這里就用拉普拉斯變換來求和。解： 由于，將改成得 ，故得.例 17 求級數(shù)之和.分析：這里用拉普拉斯變換來求和，比較一下和其他的其和方法有什么好的地方。解：由于，把改成，即有.所以.9 結(jié)論以上本著由淺入深循序漸進的原則介紹了無窮級數(shù)的幾種求和方法 相信對于解決此類問題會起到一定的指導作用，但單純地掌握幾種方法還遠遠不夠，總之 ,在級數(shù)求和過程中,要掌握多種求和方法 ,而且要根據(jù)具體題確定用哪種方法。以上較為全面地介紹了一些常用的方法和技巧，希望對提高學生的計算能力和計算速度起到一定的作用，特別是針對許多一題多解的級數(shù)求和問題采取正確的方法以便最簡。有些求和問題用一種方法求解很麻煩甚至不可能，它需要多種方法的靈活交錯使用，有些題目也可以用多種方法求解，讀者可以結(jié)合自身的特點使用。致謝在此論文撰寫過程中，要特別感謝我的導師林美琳的指導與督促，同時感謝她的諒解與包容。沒有林美琳老師的幫助也就沒有今天的這篇論文。求學歷程是艱苦的，但又是快樂的。感謝我的鋪導員陳梅香老師、林斌老師，謝謝他們在這四年中為我們?nèi)嗨龅囊磺校麄儾磺蠡貓?，無私奉獻的精神很讓我感動，再次向他們表示由衷的感謝。在這四年的學期中結(jié)識的各位生活和學習上的摯友讓我得到了人生最大的一筆財富。在此，也對他們表示衷心感謝。 謝謝我的父母，沒有他們辛勤的付出也就沒有我的今天，在這一刻，將最崇高的敬意獻給你們！ 本文參考了大量的文獻資料，在此，向各學術界的前輩們致敬！參考文獻：1 李素峰.關于無窮級數(shù)求和問題的探討J.邢臺學院學報，2008，（4）：12-13.2 張春平.無窮級數(shù)的求和探討J.沈陽師范大學學報，2008，（3）：20-21.3 鄭春雨.數(shù)項級數(shù)和的求法例談J.海南廣播電視大學學報，2006，24（3）：96-97.4 蔡炯輝，胡曉敏.收斂級數(shù)求和的初等方法J.玉溪師范學院院報，2006，22（6）：95-98.5 復旦大學數(shù)學系. 數(shù)學分析M.3版.北京：高等教育出版社，1983.6同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學習題全解指南M.北京：高等教育出版社，2007