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第七章,第二節(jié),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,向量的線性運算,二、向量的坐標(biāo)表示,一、向量的概念及線性運算,二、向量的模與方向余弦,向量的表示法:,向量的模 :,向量的大小,一、向量的概念,向量:,(又稱矢量).,既有大小, 又有方向的量稱為向量,向徑 (矢徑):,自由向量:,與起點無關(guān)的向量.,起點為原點的向量.,單位向量:,模為 1 的向量。,零向量:,模為 0 的向量,有向線段 M1 M2 ,或 a ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注意: 如不特殊說明,以后討論的向量都是自由向量,規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;,記作,因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱,兩向量共線 .,若 k (3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上 ,則稱此,k個向量共面 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、向量的線性運算,1. 向量的加法,三角形法則:,平行四邊形法則:,運算規(guī)律 :,交換律,結(jié)合律,三角形法則可推廣到多個向量相加 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 向量的減法,三角不等式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 向量與數(shù)的乘法,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,數(shù)乘符合下列運算規(guī)律:,(1)結(jié)合律:,(2)分配律:,1. 某向量的單位向量,按照向量數(shù)乘的定義,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 向量的共線,若一組向量平行于同一條直線(認(rèn)為零向量平行于任何一條直線),則稱它們是共線的,這組向量也稱共線向量(或平行向量),幾個常用概念:,證明:,充分性:顯然。,定理1:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,必要性:,結(jié)論成立,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,兩式相減,得,例1:試用向量方法證明:對角線互相平分的 四邊形必是平行四邊形.,證,結(jié)論得證.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3、向量在軸上的投影與投影定理,空間一點在軸上的投影,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,空間一向量在軸上的投影,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,或,說明:,投影為正;,投影為負(fù);,投影為零。,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,關(guān)于向量的投影定理(1),證,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,關(guān)于向量的投影定理(2),(可推廣到有限多個),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,關(guān)于向量的投影定理(3),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,空間一點在平面上的投影,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,空間一向量在平面上的投影,三、向量的坐標(biāo)表示,在空間直角坐標(biāo)系下,起點在坐標(biāo)原點的向量,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,稱為向徑。,向量,,因為,我們所討論的向量都是自由,所以,在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點,則,沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量.,M 的坐標(biāo)為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,向量線性運算的坐標(biāo)表示,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例如:,說明:,解,由題意知:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解,正確答案是:(4),半徑為 a 的圓周沿直線無滑動地滾動時 ,點擊圖中任意點動畫開始或暫停,其上一,定點的軌跡稱為擺線.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2a,2a,a,t,a,a,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,a,解:,故擺線的方程為,四、向量的模與方向余弦,空間兩向量的夾角的概念:,特殊地,當(dāng)兩個向量中有一個零向量時,規(guī)定它們的夾角可取0與 之間任意取值.,設(shè),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,向量模長的坐標(biāo)表示式,方向角與方向余弦,與三坐標(biāo)軸,方向角的余弦稱為方向余弦.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,的夾角 , , ,方向角:,方向余弦:,稱為其方向角。,方向余弦的性質(zhì),(2),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(1),解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,向量的概念,向量的加減法,向量與數(shù)的乘法,(注意與標(biāo)量的區(qū)別),(平行四邊形法則),(注意數(shù)乘后的方向),五、小結(jié),向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo).,向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式.,(注意分向量與向量的坐標(biāo)的區(qū)別),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,習(xí)題6-2(P10) 4 , 8, 11, 13, 16,作業(yè):,解,機動 目錄 上頁 下頁 返回
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