概率與概率分布統(tǒng)計(jì)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)第三版賈俊平.pptVIP

31,第 3 章 概率與概率分布,3.1 隨機(jī)事件及其概率 3.2 隨機(jī)變量及其概率分布 3.3 大數(shù)定律與中心極限定理,32,學(xué)習(xí)目標(biāo),理解隨機(jī)事件的概念、了解事件之間的關(guān)系 理解概率的三種定義，掌握概率運(yùn)算的法則 理解隨機(jī)變量及其概率分布的概念 掌握二項(xiàng)分布、泊松分布和超幾何分布的背景、均值和方差及其應(yīng)用 掌握正態(tài)分布的主要特征和應(yīng)用，了解均勻分布的應(yīng)用 理解大數(shù)定律和中心極限定理的重要意義,33,3.1 隨機(jī)事件及其概率,一、隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件 二、隨機(jī)事件的概率 三、概率的運(yùn)算法則,34,一、隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件,3.1 隨機(jī)事件及其概率,35,必然現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象,必然現(xiàn)象（確定性現(xiàn)象） 變化結(jié)果是事先可以確定的，一定的條件必然導(dǎo)致某一結(jié)果 這種關(guān)系通?？梢杂霉交蚨蓙肀硎?隨機(jī)現(xiàn)象（偶然現(xiàn)象、不確定現(xiàn)象） 在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象 個(gè)別觀察的結(jié)果完全是偶然的、隨機(jī)會(huì)而定 大量觀察的結(jié)果會(huì)呈現(xiàn)出某種規(guī)律性 （隨機(jī)性中寓含著規(guī)律性） 統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,十五的夜晚能看見月亮？,十五的月亮比初十圓！,36,隨機(jī)試驗(yàn),嚴(yán)格意義上的隨機(jī)試驗(yàn)滿足三個(gè)條件： 試驗(yàn)可以在系統(tǒng)條件下重復(fù)進(jìn)行； 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的； 每次試驗(yàn)前不能肯定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。 廣義的隨機(jī)試驗(yàn)是指對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察（或?qū)嶒?yàn)）。 實(shí)際應(yīng)用中多數(shù)試驗(yàn)不能同時(shí)滿足上述條件，常常從廣義角度來理解。,37,隨機(jī)事件（事件）,隨機(jī)事件（簡(jiǎn)稱事件） 隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果 常用大寫英文字母A、B、 、來表示 基本事件（樣本點(diǎn)） 不可能再分成為兩個(gè)或更多事件的事件 樣本空間（） 基本事件的全體（全集）,38,隨機(jī)事件（續(xù)）,復(fù)合事件 由某些基本事件組合而成的事件 樣本空間中的子集 隨機(jī)事件的兩種特例 必然事件 在一定條件下，每次試驗(yàn)都必然發(fā)生的事件 只有樣本空間 才是必然事件 不可能事件 在一定條件下，每次試驗(yàn)都必然不會(huì)發(fā)生的事件 不可能事件是一個(gè)空集（）,39,二、隨機(jī)事件的概率,3.1 隨機(jī)事件及其概率,1. 古典概率 2. 統(tǒng)計(jì)概率 3. 主觀概率 4. 概率的基本性質(zhì),310,隨機(jī)事件的概率,概率 用來度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值 必然事件的概率為1，表示為P ( )=1 不可能事件發(fā)生的可能性是零，P( )=0 隨機(jī)事件A的概率介于0和1之間，0P(A)1 概率的三種定義，給出了確定隨機(jī)事件概率的三條途經(jīng)。,311,概率的古典定義,古典概型（等可能概型） 具有以下兩特點(diǎn) 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果有限（即樣本空間中基本事件總數(shù)有限） 每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同 它是概率論的發(fā)展過程中人們最早研究的對(duì)象,312,概率的古典定義,概率的古典定義 前提：古典概型 定義（公式）,計(jì)算古典概率常用到排列組合知識(shí),313,【例3-1】,設(shè)有50件產(chǎn)品，其中有5件次品，現(xiàn)從這50件中任取2件，求抽到的兩件產(chǎn)品均為合格品的概率是多少？抽到的兩件產(chǎn)品均為次品的概率又是多少？ 解：任一件被抽到的機(jī)會(huì)均等，而且從50件產(chǎn)品中抽出2件相當(dāng)于從50個(gè)元素中取2個(gè)進(jìn)行組合，共有C502種可能，所以這是一個(gè)古典概型。,314,概率的統(tǒng)計(jì)定義,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù) n 很大時(shí)，事件A發(fā)生頻率m/n 穩(wěn)定地在某一常數(shù) p 上下波動(dòng)，而且這種波動(dòng)的幅度一般會(huì)隨著試驗(yàn)次數(shù)增加而縮小，則定義 p 為事件A發(fā)生的概率,當(dāng)n相當(dāng)大時(shí)，可用事件發(fā)生的頻率m/n作為其概率的一個(gè)近似值計(jì)算概率的統(tǒng)計(jì)方法（頻率方法）,315,例（補(bǔ)充）,根據(jù)古典概率定義可算出，拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面的概率都是0.5。歷史上有很多人都曾經(jīng)做過拋硬幣試驗(yàn)。,316,【例3-2】,某地區(qū)幾年來新生兒性別的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示，由此可判斷該地區(qū)新生兒為男嬰的概率是多少？,317,3. 主觀概率,有些隨機(jī)事件發(fā)生的可能性，既不能通過等可能事件個(gè)數(shù)來計(jì)算，也不能根據(jù)大量重復(fù)試驗(yàn)的頻率來近似 主觀概率依據(jù)人們的主觀判斷而估計(jì)的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小 例如某經(jīng)理認(rèn)為新產(chǎn)品暢銷的可能性是80 人們的經(jīng)驗(yàn)、專業(yè)知識(shí)、對(duì)事件發(fā)生的眾多條件或影響因素的分析等等，都是確定主觀概率的依據(jù),318,4. 概率的基本性質(zhì),非負(fù)性： 對(duì)任意事件A，有 0 P(A) 1。 規(guī)范性： 必然事件的概率為1，即： P()=1 不可能事件的概率為0 ，即：P()=0。 可加性： 若A與B互斥，則：P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) 對(duì)于多個(gè)兩兩互斥事件A1，A2，An，則有： P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An ) 上述三條基本性質(zhì)，也稱為概率的三條公理。,319,(補(bǔ)充）關(guān)于概率的公理化定義,概率的以上三種定義，各有其特定的應(yīng)用范圍，也存在局限性，都缺乏嚴(yán)密性。 古典定義要求試驗(yàn)的基本事件有限且具有等可能性 統(tǒng)計(jì)定義要求試驗(yàn)次數(shù)充分大，但試驗(yàn)次數(shù)究竟應(yīng)該取多大、頻率與概率有多么接近都沒有確切說明 主觀概率的確定又具有主觀隨意性 蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫于1933年提出了概率的公理化定義 通過規(guī)定應(yīng)具備的基本性質(zhì)來定義概率 公理化定義為概率論嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评泶蛳铝藞?jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。,320,三、概率的運(yùn)算法則,3.1 隨機(jī)事件及其概率,1. 加法公式 2. 乘法公式 3. 全概率公式和貝葉斯公式,321,1. 加法公式,用于求P(AB)“A發(fā)生或B發(fā)生”的概率 互斥事件（互不相容事件） 不可能同時(shí)發(fā)生的事件 沒有公共樣本點(diǎn),P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ),互斥事件的加法公式,P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An ),322,【例3-3】,設(shè)有50件產(chǎn)品，其中有5件次品，現(xiàn)從這50件中任取2件，若問至少抽到一件次品的概率？ 解：“至少抽到一件次品”這一事件實(shí)質(zhì)上就是“抽取的2件產(chǎn)品中有一件次品”（記為A）與“抽取的兩件產(chǎn)品均為次品”（記為B）這兩個(gè)事件的和。由于A與B是兩個(gè)互斥事件，故計(jì)算 “至少抽到一件次品”的概率采用公式： P(AB) =P(A)+P(B),323,互補(bǔ)事件,互補(bǔ)事件 不可能同時(shí)發(fā)生而又必然有一個(gè)會(huì)發(fā)生的兩個(gè)事件 互補(bǔ)事件的概率之和等于1,A,A,例如：擲一個(gè)骰子，“出現(xiàn)2點(diǎn)”的概率是1/6，則“不出現(xiàn)2點(diǎn)”的概率就是5/6 。,324,相容事件的加法公式,相容事件 兩個(gè)事件有可能同時(shí)發(fā)生 沒有公共樣本點(diǎn) 相容事件的加法公式 （廣義加法公式 ）,P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ),事件的積（交）AB,事件的和（并）,325,【例3-4】,將分別寫有0至9這十個(gè)號(hào)碼的小球裝入一容器中，反復(fù)攪拌之后任意搖出一個(gè)小球，觀察其號(hào)碼。試求出現(xiàn)“奇數(shù)或大于等于4的數(shù)”的概率。 解：所求事件 奇數(shù)(A)大于等于4的數(shù)(B) 0,1,2,3,9，A1,3,5,7,9，B4,5,6,7,8,9 由于等可能性，P(A)=5/10, P(B) =6/10。P(A)+P(B) 1 ,顯然P(AB) P(A)P(B) 因?yàn)锳和B存在共同部分AB5,7,9，P(AB)3/10。在P(A)+P(B) 中P(AB) 被重復(fù)計(jì)算了。 正確計(jì)算是： P(AB)5/106/103/108/100.8,326,2. 乘法公式,用于計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率。 也即 “A發(fā)生且B發(fā)生”的概率 P(AB) 先關(guān)注事件是否相互獨(dú)立,327,（1）條件概率,條件概率在某些附加條件下計(jì)算的概率 在已知事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下A發(fā)生的條件概率P(A|B) 條件概率的一般公式：,其中 P(B) 0,328,【例3-5】,某公司甲乙兩廠生產(chǎn)同種產(chǎn)品。甲廠生產(chǎn)400件，其中一級(jí)品為280件；乙廠生產(chǎn)600件，其中一級(jí)品有360件。若要從該廠的全部產(chǎn)品中任意抽取一件，試求：已知抽出產(chǎn)品為一級(jí)品的條件下該產(chǎn)品出自甲廠的概率；已知抽出產(chǎn)品出自甲廠的條件下該產(chǎn)品為一級(jí)品的概率。 解：設(shè)A“甲廠產(chǎn)品”，B“一級(jí)品”，則： P(A)0.4， P(B) 0.64，P(AB)0.28 所求概率為事件B發(fā)生條件下A發(fā)生的條件概率 P(A|B)0.28/0.64 所求概率為事件A發(fā)生條件下B發(fā)生的條件概率 P(B|A)0.28/0. 4,329,P(A|B)在B發(fā)生的所有可能結(jié)果中AB發(fā)生的概率 即在樣本空間中考慮的條件概率P(A|B)，就變成在新的樣本空間B中計(jì)算事件AB的概率問題了,（1）條件概率（續(xù)）,一旦事件B已發(fā)生,330,乘法公式的一般形式：,P(AB) P(A)P(B|A) 或 P(AB) P(B)P(A|B),【例3-6】對(duì)例3-1中的問題（從這50件中任取2件產(chǎn)品，可以看成是分兩次抽取，每次只抽取一件，不放回抽樣） 解：A1第一次抽到合格品，A2第二次抽到合格品，A1A2抽到兩件產(chǎn)品均為合格品 P(A1 A2)P(A1)P(A2| A1),331,事件的獨(dú)立性,兩個(gè)事件獨(dú)立 一個(gè)事件的發(fā)生與否并不影響另一個(gè)事件發(fā)生的概率 P(A|B)P(A)，或 P(B|A)P(B),獨(dú)立事件的乘法公式：,P(AB) P(A)P(B),推廣到n 個(gè)獨(dú)立事件，有：,P(A1An)P(A1)P(A2) P(An),332,3. 全概率公式,完備事件組 事件A1、 A2、An互不相容， AA2An 且P(Ai ) 0（i=1、2、.、n） 對(duì)任一事件B，它總是與完備事件組A1、 A2、An之一同時(shí)發(fā)生，則有求P(B)的全概率公式：,333,例3-7,假設(shè)有一道四選一的選擇題，某學(xué)生知道正確答案的可能性為2/3，他不知道正確答案時(shí)猜對(duì)的概率是1/4。試問該生作出作答的概率？ 解：設(shè) A知道正確答案，B選擇正確。 “選擇正確”包括： “知道正確答案而選擇正確”（即AB） “不知道正確答案但選擇正確”（即 ） P(B)（2/3）1（1/3）（1/4）3/4,334,全概率公式貝葉斯公式,全概率公式的直觀意義： 每一個(gè)Ai的發(fā)生都可能導(dǎo)致B出現(xiàn)，每一個(gè)Ai 導(dǎo)致B發(fā)生的概率為，因此作為結(jié)果的事件B發(fā)生的概率是各個(gè)“原因”Ai 引發(fā)的概率的總和 相反，在觀察到事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，確定導(dǎo)致B發(fā)生的各個(gè)原因Ai的概率 貝葉斯公式（逆概率公式） （后驗(yàn)概率公式）,335,貝葉斯公式,若A1、 A2、An為完備事件組，則對(duì)于任意隨機(jī)事件B，有：,計(jì)算事件Ai在給定B條件下的條件概率公式。 公式中，P(Ai)稱為事件Ai的先驗(yàn)概率 P(Ai|B)稱為事件Ai的后驗(yàn)概率,336,3.2 隨機(jī)變量及其概率分布,一、隨機(jī)變量的概念 二、隨機(jī)變量的概率分布 三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征 四、常見的離散型概率分布 五、常見的連續(xù)型概率分布,337,一、隨機(jī)變量的概念,3.2 隨機(jī)變量及其概率分布,338,一、隨機(jī)變量的概念,隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的變量 取值是隨機(jī)的，事先不能確定取哪一個(gè)值 一個(gè)取值對(duì)應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)可能結(jié)果 用大寫字母如X、Y、Z.來表示，具體取值則用相應(yīng)的小寫字母如x、y、z來表示 根據(jù)取值特點(diǎn)的不同，可分為： 離散型隨機(jī)變量取值可以一一列舉 連續(xù)型隨機(jī)變量取值不能一一列舉,339,二、隨機(jī)變量的概率分布,3.2 隨機(jī)變量及其概率分布,1. 離散型隨機(jī)變量的概率分布 2. 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 3. 分布函數(shù),340,1. 離散型隨機(jī)變量的概率分布,X的概率分布X的有限個(gè)可能取值為xi與其概率 pi（i=1，2，3，n）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 概率分布具有如下兩個(gè)基本性質(zhì)： （1） pi0，i=1,2,n； （2）,341,離散型概率分布的表示：,概率函數(shù)：P(X= xi)= pi 分布列： 分布圖,342,2. 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度,連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布只能表示為： 數(shù)學(xué)函數(shù)概率密度函數(shù)f (x)和分布函數(shù)F (x) 圖 形概率密度曲線和分布函數(shù)曲線 概率密度函數(shù)f (x)的函數(shù)值不是概率。 連續(xù)型隨機(jī)變量取某個(gè)特定值的概率等于0 只能計(jì)算隨機(jī)變量落在一定區(qū)間內(nèi)的概率 由x軸以上、概率密度曲線下方面積來表示,343,概率密度f (x) 的性質(zhì),（1） f (x)0。概率密度是非負(fù)函數(shù)。 （2）,所有區(qū)域上取值的概率總和為1。,隨機(jī)變量X在一定區(qū)間（a，b）上的概率：,344,3. 分布函數(shù),適用于兩類隨機(jī)變量概率分布的描述 分布函數(shù)的定義： F(x)PXx,連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù),離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù) F(x),分布函數(shù)與概率密度,345,三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征,3.2 隨機(jī)變量及其概率分布,1. 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 2. 隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差 3. 兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù),346,1. 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,又稱均值 描述一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布的中心位置 離散型隨機(jī)變量 X的數(shù)學(xué)期望： 相當(dāng)于所有可能取值以概率為權(quán)數(shù)的平均值 連續(xù)型隨機(jī)變量X 的數(shù)學(xué)期望：,347,數(shù)學(xué)期望的主要數(shù)學(xué)性質(zhì),若k是一常數(shù)，則 E (k X) k E(X) 對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y，有 E(X+Y)E(X)E(Y) 若兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立，則 E(XY)E(X) E(Y),348,2. 隨機(jī)變量的方差,方差是它的各個(gè)可能取值偏離其均值的離差平方的均值，記為D(x)或2 公式： 離散型隨機(jī)變量的方差： 連續(xù)型隨機(jī)變量的方差：,349,方差和標(biāo)準(zhǔn)差（續(xù)）,標(biāo)準(zhǔn)差方差的平方根 方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映隨機(jī)變量取值的分散程度。 它們的值越大，說明離散程度越大，其概率分布曲線越扁平。 方差的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)： 若k是一常數(shù)，則 D(k)0；D(kX)k2 D(X) 若兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立，則 D(X+Y)D(X)D(Y),350,【例3-10】,試求優(yōu)質(zhì)品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。 解：, 0.6,351,3.兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù),協(xié)方差的定義,如果X,Y獨(dú)立（不相關(guān)），則 Cov(X,Y)0 即 E(XY)E(X) E(Y) 協(xié)方差在一定程度上反映了X、Y之間的相關(guān)性 協(xié)方差受兩個(gè)變量本身量綱的影響。,352,相關(guān)系數(shù),相關(guān)系數(shù)具有如下的性質(zhì)： 相關(guān)系數(shù)是一個(gè)無量綱的值 0| | 0 當(dāng)=0，兩個(gè)變量不相關(guān)（不存在線性相關(guān)） 當(dāng) | |=1，兩個(gè)變量完全線性相關(guān),353,四、常見離散型隨機(jī)變量的概率分布,3.2 隨機(jī)變量及其概率分布,1. 二項(xiàng)分布 2. 泊松分布 3. 超幾何分布,354,1. 二項(xiàng)分布（背景）,（背景）n重貝努里試驗(yàn)： 一次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果 用“成功”代表所關(guān)心的結(jié)果，相反的結(jié)果為“失敗” 每次試驗(yàn)中“成功”的概率都是 p n 次試驗(yàn)相互獨(dú)立。,355,1. 二項(xiàng)分布,在n重貝努里試驗(yàn)中，“成功”的次數(shù)X服從參數(shù)為n、p的二項(xiàng)分布，記為 X B(n , p) 二項(xiàng)分布的概率函數(shù)：,二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差：,n1時(shí)，二項(xiàng)分布就成了二點(diǎn)分布（0-1分布）,356,二項(xiàng)分布圖形,p0.5時(shí)，二項(xiàng)分布是以均值為中心對(duì)稱 p0.5時(shí)，二項(xiàng)分布總是非對(duì)稱的 p0.5時(shí)峰值在中心的右側(cè) 隨著n無限增大，二項(xiàng)分布趨近于正態(tài)分布,p=0.3,p=0.5,p=0.7,二項(xiàng)分布圖示,357,【例3-11】,某單位有4輛汽車，假設(shè)每輛車在一年中至多只發(fā)生一次損失且損失的概率為0.1。試求在一年內(nèi)該單位：（1）沒有汽車發(fā)生損失的概率；（2）有1輛汽車發(fā)生損失的概率；（3）發(fā)生損失的汽車不超過2輛的概率。 解：每輛汽車是否發(fā)生損失相互獨(dú)立的，且損失的概率相同，因此，據(jù)題意，在4輛汽車中發(fā)生損失的汽車數(shù)X B(4,0.1)。,358,利用Excel計(jì)算二項(xiàng)分布概率,進(jìn)入Excel表格界面，點(diǎn)擊任一空白單元格（作為輸出單元格） 點(diǎn)擊表格界面上的 fx 命令 在 “選擇類別”中點(diǎn)擊“統(tǒng)計(jì)”，在“選擇函數(shù)”中點(diǎn)擊“BINOMDIST” 在Number_s后填入試驗(yàn)成功次數(shù) x (本例為2)； 在Trials后填入總試驗(yàn)次數(shù) n (本例為4) ； 在Probability_s后填入成功概率 p (本例為0.1)； 在Cumulative后填入0 (或FALSE)，表示計(jì)算成功次數(shù)等于指定值的概率,“BINOMDIST（2，4，0.1，0）”,用EXCEL計(jì)算二項(xiàng)分布的概率,359,2. 泊松分布,X 服從泊松分布，記為XP(）:,E(X)=D(X)= 當(dāng) 很小時(shí)，泊松分布呈偏態(tài)，并隨著增大而趨于對(duì)稱 當(dāng)為整數(shù)時(shí)， 和（-1）是最可能值,360,泊松分布（應(yīng)用背景）,通常是作為稀有事件發(fā)生次數(shù)X的概率分布模型。 一段時(shí)間內(nèi)某繁忙十字路口發(fā)生交通事故的次數(shù) 一定時(shí)間段內(nèi)某電話交換臺(tái)接到的電話呼叫次數(shù) 服從泊松分布的現(xiàn)象的共同特征 在任意兩個(gè)很小的時(shí)間或空間區(qū)間內(nèi)事件發(fā)生次數(shù)是相互獨(dú)立的； 各區(qū)間內(nèi)事件發(fā)生次數(shù)只與區(qū)間長(zhǎng)度成比例，與區(qū)間起點(diǎn)無關(guān)； 在一段充分小的區(qū)間內(nèi)事件發(fā)生兩次或兩次以上的概率可以忽略不計(jì),361,【例3-12】,設(shè)某種報(bào)刊的每版上錯(cuò)別字個(gè)數(shù)服從 =2的泊松分布。隨機(jī)翻看一版，求： （1）沒有錯(cuò)別字的概率； （2）至多有5個(gè)錯(cuò)別字的概率。 解：設(shè)X每版上錯(cuò)別字個(gè)數(shù)，則所求概率為：,利用EXCEL計(jì)算泊松分布的概率,362,二項(xiàng)分布的泊松近似,【前提】當(dāng)n很大而 p又很小時(shí)，二項(xiàng)分布可用參數(shù)np 的泊松分布近似 【例3-13】一工廠有某種設(shè)備80臺(tái)，配備了3個(gè)維修工。假設(shè)每臺(tái)設(shè)備的維修只需要一個(gè)維修工，設(shè)備發(fā)生故障是相互獨(dú)立的，且每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0.01。求設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率是多少？ 解：XB(n=80，p=0.01)，由于np=0.8很小，可以用0.8的泊松分布來近似計(jì)算其概率:,363,3. 超幾何分布,N個(gè)單位的有限總體中有M個(gè)單位具有某特征。用不重復(fù)抽樣方法從總體中抽取n個(gè)單位，樣本中具有某種特征的單位數(shù)X服從超幾何分布，記為XH(n,N,M ),數(shù)學(xué)期望和方差:,N很大而n相對(duì)很小時(shí)，趨于二項(xiàng)分布(p=M/N),364,五、常見的連續(xù)型概率分布,1. 均勻分布 X只在一有限區(qū)間 a，b 上取值 且概率密度是一個(gè)常數(shù) 其概率密度為：,X 落在子區(qū)間 c，d 內(nèi)的概率與該子區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，與具體位置無關(guān),P(cXd),365,2. 正態(tài)分布,XN (、 2 )，其概率密度為：,正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差 均值 E(X) = 方差 D(X)= 2,- x ,366,2. 正態(tài)曲線,正態(tài)曲線的主要特性 關(guān)于x = 對(duì)稱的鐘形曲線 參數(shù)決定正態(tài)曲線的中心位置 參數(shù) 決定正態(tài)曲線的陡峭或扁平程度 以X軸為漸近線，即當(dāng)x 時(shí)，f(x) 0,367,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,0、1的正態(tài)分布，記為N (0, 1) 其概率密度(x)，分布函數(shù) (x) XN (、 2 ), 則 ： ZN (0，1 ),若 ZN (0，1 )，則有： P（| Z| a）2(a)1 (-a)=1(a),標(biāo)準(zhǔn)化,368,【例3-14】,某廠生產(chǎn)的某種節(jié)能燈管的使用壽命服從正態(tài)分布，對(duì)某批產(chǎn)品測(cè)試的結(jié)果，平均使用壽命為1050小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為200小時(shí)。試求： （a）使用壽命在500小時(shí)以下的燈管占多大比例？ （b）使用壽命在8501450小時(shí)的燈管占多大比例？ （c）以均值為中心，95的燈管的使用壽命在什么范圍內(nèi)？,369,解,X使用壽命，XN (1050，2002 ),(2)(-1)0.977250.158650.8186,95的燈管壽命在均值左右392（即6581442）小時(shí),1(2.75)10.997020.00298,370,3 原則,|X| 3 的概率很小，因此可認(rèn)為正態(tài)隨機(jī)變量的取值幾乎全部集中在 - 3，+ 3 區(qū)間內(nèi) 廣泛應(yīng)用: 產(chǎn)品質(zhì)量控制 判斷異常情況 ,371,正態(tài)分布最常用、最重要,大千世界中許多常見的隨機(jī)現(xiàn)象服從或近似服從正態(tài)分布 例如，測(cè)量誤差，同齡人的身高、體重，一批棉紗的抗拉強(qiáng)度，一種設(shè)備的使用壽命，農(nóng)作物的產(chǎn)量 特點(diǎn)是 “中間多兩頭少” 由于正態(tài)分布特有的數(shù)學(xué)性質(zhì)，正態(tài)分布在很多統(tǒng)計(jì)理論中都占有十分重要的地位 正態(tài)分布是許多概率分布的極限分布 統(tǒng)計(jì)推斷中許多重要的分布（如2分布、t分布、F分布）都是在正態(tài)分布的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的。,372,用正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布,XB (n，p) ，當(dāng)n充分大時(shí)， XN (n p，np(1-p) 【例3-15】假設(shè)有一批種子的發(fā)芽率為0.7。現(xiàn)有這種種子1000顆，試求其中有720顆以上發(fā)芽的概率。 解：設(shè)X發(fā)芽種子顆數(shù)，XB(1000，0.7)。近似地 XN (700，210)。 P(X720)P(Z1.38)1P(Z1.38) 10.91620.0838,373,用正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布,用正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布的前提 n很大， p不能太接近 0 或 1（否則二項(xiàng)分布太偏） 一般要求np和np(1-p)都要大于5 如果np或np(1-p)小于5，二項(xiàng)分布可以用泊松分布來近似,374,計(jì)算正態(tài)分布的概率值,方法一：先標(biāo)準(zhǔn)化查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表 方法二：利用Excel來計(jì)算（不必標(biāo)準(zhǔn)化） 插入函數(shù)fx選擇“統(tǒng)計(jì)”“NORMDIST”，進(jìn)入“函數(shù)參數(shù)”對(duì)話框中， 在X后填入正態(tài)隨機(jī)變量的取值區(qū)間點(diǎn)； 在Mean后填入正態(tài)分布的均值； 在Standard_dev后填入正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差； 在Cumulative后填入1(或TRUE)，表示計(jì)算隨機(jī)變量取值小于等于指定值x的累積概率值。,375,也可在選定的輸出單元格中，順次輸入函數(shù)名和參數(shù)值即可 如輸入“=NORMDIST(500,1050,200,1)”，確定后即可得到所求概率值0.0029798。 根據(jù)概率值F(Xx)求隨機(jī)變量取值的區(qū)間點(diǎn) x，選擇函數(shù)“NORMINV”。 如輸入“=NORMINV(0.0029798,1050,200)”,顯示計(jì)算結(jié)果為500。,計(jì)算正態(tài)分布的概率值,376,3.3 大數(shù)定律與中心極限定理,一、大數(shù)定律 二、中心極限定理,377,一、大數(shù)定律,3.3 大數(shù)定律與中心極限定理,1. 獨(dú)立同分布大數(shù)定律 2. 貝努里大數(shù)定律,378,獨(dú)立同分布大數(shù)定律,大數(shù)定律是闡述大量同類隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理的總稱。 獨(dú)立同分布大數(shù)定律設(shè)X1, X2, 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且存在有限的數(shù)學(xué)期望E(Xi)和方差D(Xi ) 2（i=1,2,），則對(duì)任意小的正數(shù), 有：,379,大數(shù)定律（續(xù)）,該大數(shù)定律表明：當(dāng)n充分大時(shí)，相互獨(dú)立且服從同一分布的一系列隨機(jī)變量取值的算術(shù)平均數(shù)，與其數(shù)學(xué)期望的偏差任意小的概率接近于1。 該定理給出了平均值具有穩(wěn)定性的科學(xué)描述，從而為使用樣本均值去估計(jì)總體均值（數(shù)學(xué)期望）提供了理論依據(jù)。,380,貝努里大數(shù)定律,設(shè)m是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率，則對(duì)任意的 0，有：,它表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)