數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)原理.pptVIP

第9章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)原理 （第二講）,9.3 一些基本形態(tài)學(xué)算法,在前面背景知識(shí)基礎(chǔ)上可探討形態(tài)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用。當(dāng)處理二值圖像時(shí)形態(tài)學(xué)的主要應(yīng)用是提取表示和描述圖像形狀的有用成分。特別是提取某一區(qū)域的邊界線、連接成分、骨骼、凸殼的算法十分有效。區(qū)域填充、細(xì)化、加粗、裁剪等處理方法也經(jīng)常與上述算法相結(jié)合在預(yù)處理和后處理中使用。這些算法的討論大部分采用的是二值的圖像，即只有黑和白兩級(jí)灰度，1表示黑，0表示白。,9.3.1邊緣提取算法,集合A的邊界記為 (A)，可以通過下述算法提取邊緣：設(shè)B是一個(gè)合適的結(jié)構(gòu)元素，首先令A(yù)被B腐蝕，然后求集合A和它的腐蝕的差。如下式所示： (930),圖910 邊緣提取算法示意圖,圖910解釋了邊緣提取的過程。它表示了一個(gè)簡(jiǎn)單的二值圖像，一個(gè)結(jié)構(gòu)元素和用公式(930)得出的結(jié)果。圖910(b)中的結(jié)構(gòu)元素是最常用的一種，但它決不是唯一的。通常的情況如果采用一個(gè)55全“1”的結(jié)構(gòu)元素，可得到一個(gè)二到三個(gè)像素寬的邊緣。應(yīng)注意當(dāng)集合B的原點(diǎn)處在集合的邊界時(shí)，結(jié)構(gòu)元素的一部分位于集合之外。這種條件下的通常的處理是約定集合邊界外的值為0。,例題：使用形態(tài)學(xué)處理提取邊界,下圖為一幅簡(jiǎn)單的二值圖像，(b)為使用圖9.13(b)中的3*3結(jié)構(gòu)元素進(jìn)行處理的結(jié)果。,9.3.2 區(qū)域填充算法,下面討論的是一種基于集合膨脹，取補(bǔ)和取交的區(qū)域填充的簡(jiǎn)單的算法。如圖A表示一個(gè)包含一個(gè)子集的集合，子集的元素為8字形的連接邊界的區(qū)域。從邊界內(nèi)的一點(diǎn)P開始，目標(biāo)是用1去填充整個(gè)區(qū)域。,假定所有的非邊界元素均標(biāo)為0，我們把一個(gè)值1賦給P開始這個(gè)過程。下述過程將把這個(gè)區(qū)域用1來(lái)填充： (931) 其中， ，B為對(duì)稱結(jié)構(gòu)元素，如圖所示。當(dāng) k 迭代到 時(shí)，算法終止。集合 和 A 的并集包括填充的集合和邊界。,圖 911 區(qū)域填充算法,如果公式(931)的膨脹過程一直進(jìn)行，它將填滿整個(gè)區(qū)域。然而，每一步與AC的交把結(jié)果限制在我們感興趣的區(qū)域內(nèi)（這種限制過程有時(shí)稱為條件膨脹）。圖911剩下的部分解釋了公式(931)的進(jìn)一步技巧。盡管這個(gè)例子只有一個(gè)子集，只要每個(gè)邊界內(nèi)給一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)概念可清楚地用在任何有限個(gè)這樣的子集中。,圖 911 區(qū)域填充算法,例題：形態(tài)學(xué)區(qū)域填充,圖顯示了在球體中選擇的一個(gè)點(diǎn)，(b)顯示了填充的結(jié)果，(c)顯示了填充所有球體后的結(jié)果。,在形式上與填充相似。不同的是用A代替了AC ，這是因?yàn)樗崛〉娜吭兀ㄏ噙B組成部分的元素）均標(biāo)記為1。每一迭代步和A求交集可除去以標(biāo)記為0的元素為中心的膨脹。圖912圖釋了公式(932)的操作技巧。這里，結(jié)構(gòu)元素的形狀是8連接的，與區(qū)域填充算法一樣，以上討論的結(jié)果可以應(yīng)用于任何有限的包含在集合A中的連接部分。,圖 912 連接部分提取算法,圖中（a）集A包含一個(gè)連接部分Y和初始點(diǎn)P；(b)是結(jié)構(gòu)元；(c)第一次迭代結(jié)果；(d)第二次迭代結(jié)果；(e)最終結(jié)果。,9.3.4 凸殼算法（看做邊界）,集合的凸殼是一個(gè)有用的圖像描述工具。在此提出一種獲得集合A凸殼C(A)的簡(jiǎn)單形態(tài)學(xué)算法。設(shè) Bi ， i= 1,2,3,4,代表四個(gè)結(jié)構(gòu)元素。這個(gè)處理過程由下述公式實(shí)現(xiàn)：,這個(gè)過程包括對(duì)A和B1重復(fù)使用擊中（hit）或擊不中（miss)變換；當(dāng)沒有進(jìn)一步的變化發(fā)生時(shí)，求A和所謂的結(jié)果D1并集。對(duì)B2重復(fù)此過程直到?jīng)]有進(jìn)一步的變化為止。四個(gè)結(jié)果D的并構(gòu)成了A的凸殼。,左圖中為提取凸殼的結(jié)構(gòu)元素（每個(gè)結(jié)構(gòu)元素的原點(diǎn)位于它的中心）。中圖給出了要提取凸殼的集合 A，從 開始，重復(fù)公式四步后得到的結(jié)果D1右圖。,然后令 再次利用公式(933)得到的結(jié)果示于圖913(d)(注意只用兩步就收斂了)。下兩個(gè)結(jié)果用同樣的方法得到。最后，把圖913(c),(d),(e)和(f)中的集合求并的結(jié)果就為所求凸殼。每個(gè)結(jié)構(gòu)元素對(duì)結(jié)果的貢獻(xiàn)在圖913(h)的合成集合中用不同加亮表示。,圖913 凸殼算法示例,圖913 凸殼算法示例,9.3.5 細(xì)化,根據(jù)這個(gè)概念，我們現(xiàn)定義被一個(gè)結(jié)構(gòu)元素序列的細(xì)化為 ) (937) 換句話說(shuō)，這個(gè)過程是用 細(xì)化A，然后用 細(xì)化前一步細(xì)化的結(jié)果等等，直到A被 細(xì)化。整個(gè)過程重復(fù)進(jìn)行到?jīng)]有進(jìn)一步的變化發(fā)生為止。,圖914(a)是一組用于細(xì)化的結(jié)構(gòu)元素，圖914(b)為用上述方法細(xì)化的集合A 。圖914(c)示出用 細(xì)化A得到的結(jié)果，圖914(d)-(k)為用其它結(jié)構(gòu)元素細(xì)化的結(jié)果。當(dāng)?shù)诙瓮ㄟ^ 時(shí)收斂。圖914(k)示出細(xì)化的結(jié)果。,圖 914 細(xì)化處理,圖 914 細(xì)化處理,9.3.6 粗化運(yùn)算,粗化同細(xì)化的結(jié)構(gòu)元素具有相同的形式。只是所有的0和1交換位置。然而實(shí)際中粗化算法很少使用。相反通常的過程是細(xì)化集合的背景，然后求細(xì)化結(jié)果的補(bǔ)而達(dá)到粗化的結(jié)果。 為了粗化集合A，令 ，細(xì)化C，然后得到 即為粗化結(jié)果。圖915解釋了這個(gè)過程。,圖 915 粗化處理,這個(gè)過程可能產(chǎn)生一些不連貫的點(diǎn)，這取決于A的性質(zhì)，通常要進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的后處理步驟來(lái)清除不連貫的點(diǎn),從圖中可以看出，細(xì)化的背景為粗化過程形成一個(gè)邊界。這個(gè)性質(zhì)在直接使用公式實(shí)現(xiàn)粗化過程中不會(huì)出現(xiàn)，這是用背景細(xì)化來(lái)實(shí)現(xiàn)粗化的一個(gè)主要原因。,9.3.7 骨骼化算法,利用形態(tài)學(xué)方法提取一個(gè)區(qū)域的骨格可以用腐蝕和開運(yùn)算表示。即A的骨骼記為S(A)，骨骼化可以表示如下： (940) 和 (941) 其中B是結(jié)構(gòu)元素， 表示對(duì)A連續(xù)腐蝕k次；,即 共執(zhí)行k次，K是A被腐蝕為空集以前的最后一次迭代的步驟。即：,表明集合A的骨骼S(A)可由骨骼子集Sk(A)的并得到，同樣表明可以也可以通過下面等式從子集重構(gòu)A。,表明參數(shù) k 是對(duì)子集 連續(xù)膨脹 k 次。相當(dāng)于下式：,右圖說(shuō)明了以上討論的概念。第一列顯示了原始集合（頂部）和通過結(jié)構(gòu)元素B（3*3）兩次腐蝕的圖形。由于再多一次對(duì)A的腐蝕將產(chǎn)生空集，所以選取K2。第二列顯示了第一列通過B的開運(yùn)算而得到的圖形。,第三列為第一列與第二列的差別。第四列含兩個(gè)部分骨骼及最后的結(jié)果。最后的骨骼不但比所要求的更粗，而且相比較更重要，它是不連續(xù)的。形態(tài)學(xué)給出了就特定圖形侵蝕和空缺的描述。骨骼必須最大限度的細(xì)化、相連、最小限度的腐蝕。,第五列顯示了 、 以及。最后一列顯示了圖像A的重構(gòu)。A就是第五列中膨脹骨骼子集的“并”。,圖示：,9.3.8 裁剪,圖形細(xì)化和骨骼化運(yùn)算法有可能殘留需在后續(xù)處理中去除的寄生成分，裁剪方法成為對(duì)圖形細(xì)化、骨骼化運(yùn)算的必要補(bǔ)充。,分析每個(gè)待識(shí)別字符的骨骼形狀是自動(dòng)識(shí)別手寫字符的一種常見處理方法。由于對(duì)組成字符的筆畫的不均勻腐蝕，字符的骨架常常帶有“毛刺”（一種寄生成分）。這里將提出一種解決這種問題的形態(tài)學(xué)方法。首先我們假設(shè)寄生成分“毛刺”的長(zhǎng)度不超過3個(gè)象素。,下圖顯示了手寫字符“a”的骨骼。在字符最左邊部分的寄生成分是一種我們感興趣的典型的待去除成分。去除的方法是基于不斷減少該字符的終點(diǎn)，對(duì)寄生成分加以抑制。當(dāng)然不可否認(rèn)這樣也不可避免的會(huì)消去（或減少）被處理字符其余必要的骨架，,但是缺少的結(jié)構(gòu)信息是在最多不超過3個(gè)象素的假設(shè)前提下，即最多減少3個(gè)象素的字符結(jié)構(gòu)信息。對(duì)于一個(gè)輸入集合A，通過一系列用于檢測(cè)字符端點(diǎn)的結(jié)構(gòu)元素的細(xì)化處理，達(dá)到希望的結(jié)果。即：,(9-45),B表示結(jié)構(gòu)元序列，包含兩個(gè)不同的結(jié)構(gòu)，每一個(gè)結(jié)構(gòu)將對(duì)全部八個(gè)元素作90的旋轉(zhuǎn)，圖中的“”表示“不用考慮”的情況，在某種意義上，不管該位置上的值是0還是1都毫無(wú)關(guān)系。,許多圖形學(xué)文獻(xiàn)記載的結(jié)果都是基于類似于圖917(b)中單一結(jié)構(gòu)的運(yùn)用基礎(chǔ)之上的，不過不同的是，在第一列中多了“不用考慮”的狀態(tài)而已。這樣的處理是不完善的。例如，這個(gè)元素將標(biāo)識(shí)圖917(a)位于第八排，第四列作為最后一點(diǎn)的點(diǎn)，如果減去該元素將破壞這一筆的連接性。,(a)是原像，(b)和(c)是結(jié)構(gòu)元素（d）細(xì)化三次的結(jié)果，（e）端點(diǎn)，(f)在（a）的條件下端點(diǎn)的膨脹，（g）裁剪后的圖像。,連續(xù)對(duì)A運(yùn)用等式(945)三次將生成圖917(d)中的集合 。下一步將是把字符“恢復(fù)”到最初的形狀，同時(shí)將寄生的成分去除。這首先需要建立包含圖917(e)所有邊緣信息的集合 ，,(946),等式(946)中 是和前面一樣的端點(diǎn)檢測(cè)因子，下一步對(duì)邊緣進(jìn)行三次放大處理，集合A作為消減因子：,(947),等式(947)中H是一個(gè)值為1的33 的結(jié)構(gòu)元素，類似局域填充和連接成分的提取的情況，這一類條件膨脹處理有效的避免了在我們感興趣區(qū)域外值1元素的產(chǎn)生，正如圖917(f)中顯示的結(jié)果證實(shí)的一樣。最后，X3 和 X1 的并生成了最后的結(jié)果： (947) 正如圖917(g)中所示。,在更復(fù)雜的情況下，如果分支端點(diǎn)離骨骼較近時(shí)，使用公式(946)有時(shí)可以撿拾一些寄生分枝的“尖端”。盡管可以通過等式(944)減少，但是由于它們是A中的有效點(diǎn)而在膨脹處理中再次出現(xiàn)。,除非只有所有的寄生元素再次獲得的情況下（當(dāng)這些寄生元素與字符筆畫相比不夠長(zhǎng)時(shí)，這將是一種出現(xiàn)機(jī)率非常少的情況），如果寄生元素處在非連接區(qū)域，那末檢測(cè)和減少寄生元素才會(huì)變得容易一些。,在這一點(diǎn)上一種自然而然的想法就是必須有一種方法來(lái)解決這個(gè)問題。例如，我們可以通過運(yùn)用公式(944)，僅僅對(duì)被刪除點(diǎn)進(jìn)行跟蹤和對(duì)所有的留下的端點(diǎn)進(jìn)行再連接。這樣的選擇是正確的，它的優(yōu)點(diǎn)是使用簡(jiǎn)單的形態(tài)結(jié)構(gòu)來(lái)解決所有的問題。,表91總結(jié)了前邊討論的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法及其結(jié)果，圖9.18示出了所使用的基本結(jié)構(gòu)元素。,表91 形態(tài)學(xué)結(jié)論和特性的總結(jié),表91 形態(tài)學(xué)結(jié)論和特性的總結(jié)（續(xù)）,表91 形態(tài)學(xué)結(jié)論和特性的總結(jié)（續(xù)）,表91 形態(tài)學(xué)結(jié)論和特性的總結(jié)（續(xù)）,圖918 基本形態(tài)學(xué)結(jié)構(gòu)元素,9.4 灰度圖像的形態(tài)學(xué)處理,針對(duì)二值圖像的形態(tài)學(xué)處理的基本算法可方便地推廣至灰度圖像的處理。這一節(jié)將討論對(duì)灰度圖像的基本處理，即：膨脹、腐蝕、開運(yùn)算、閉運(yùn)算，建立一些基本的灰度形態(tài)運(yùn)算法則。,本節(jié)重點(diǎn)是運(yùn)用灰度形態(tài)學(xué)提取描述和表示圖像的有用成分。特別是通過形態(tài)學(xué)梯度算子開發(fā)一種邊緣提取和基于紋理的區(qū)域分割算法。同時(shí)將討論在預(yù)處理及后處理步驟中非常有用的平滑及增強(qiáng)處理算法。,與前邊二值圖像形態(tài)學(xué)處理理論不同的是在以下的討論中我們將處理數(shù)字圖像函數(shù)而不是集合。設(shè) f(x,y) 是輸入圖像，b(x,y) 是結(jié)構(gòu)元素，它可被看作是一個(gè)子圖像函數(shù)。如果Z表示實(shí)整數(shù)的集合，同時(shí)假設(shè)(x,y) 是來(lái)自ZXZ的整數(shù)，f和b是對(duì)坐標(biāo)為 (x,y) 像素灰度值的函數(shù)（來(lái)自實(shí)數(shù)集R的實(shí)數(shù)）。如果灰度也是整數(shù)，則Z可由整數(shù)R所代替。,9.4.1 膨脹,9.4.2 腐蝕,9.4.3 開和閉運(yùn)算,9.4.4 灰度形態(tài)學(xué)的應(yīng)用,函數(shù)b對(duì)函數(shù)f進(jìn)行灰度膨脹可定義 ，運(yùn)算式如下：結(jié)構(gòu)元素形狀定義的鄰域中選擇f+b最大值,其中 和 分別是函數(shù)f和b的定義域，和前面一樣, b是形態(tài)處理的結(jié)構(gòu)元素，不過在這兒的b是一個(gè)函數(shù)而不是一個(gè)集合。,位移參數(shù)(s-x)和(t-y)必須包含在f定義域內(nèi)，模仿二值膨脹運(yùn)算定義，這里兩個(gè)集合必須至少有一個(gè)元素相交疊。且公式類似于二維卷積公式，同時(shí)用“最大”代替卷積求和并以“相加”代替相乘。,下面我們用一維函數(shù)來(lái)解釋上文公式中的運(yùn)算原理。對(duì)于僅有一個(gè)變量的函數(shù)，簡(jiǎn)化為：,在卷積中，f(-x)僅是f(x)關(guān)于x軸原點(diǎn)的映射，正象卷積運(yùn)算那樣，相對(duì)于正的s，函數(shù)f(s-x)將向右移，對(duì)于-s，函數(shù)f(s-x)將向左移。,條件是(s-x)必須在f的定義域內(nèi)，x必須在b的定義域內(nèi)。即f和b將相覆蓋，b應(yīng)包含在f內(nèi)。這和二值圖像膨脹定義要求的情形是類似的，即倆個(gè)集合至少應(yīng)有一個(gè)元素是相互覆蓋的。最后，與二值圖像的情況不同，不是結(jié)構(gòu)元素b而是f平移。,公式可以使b代替f寫成平移的形式。然而，如果 比 ?。ㄟ@是實(shí)際中常見的），公式(949)所給出的形式就可在索引項(xiàng)中加以簡(jiǎn)化，并可以獲得同樣的結(jié)果。就概念而言，在f上滑動(dòng)b和在b上滑動(dòng)f是沒有區(qū)別的。,膨脹是可以代換的，因而f和b相互代換的方法運(yùn)用于定義式可以用來(lái)計(jì)算 ，結(jié)果都是一樣的，而且b是平移函數(shù)。相反，腐蝕是不可交換的，因而，這種函數(shù)也是不可互換的。,919 灰度膨脹圖例,由于膨脹操作是由結(jié)構(gòu)元素形狀定義的鄰域中選擇f+b的最大值，因而通常對(duì)灰度圖像的膨脹處理方法可得到兩種結(jié)果：（1）如果所有的結(jié)構(gòu)元素都為正，則輸出圖像將趨向比輸入圖像亮；（2）黑色細(xì)節(jié)減少或去除取決于在膨脹操作中結(jié)構(gòu)元素相關(guān)的值和形狀。,9.4.1 膨脹,9.4.2 腐蝕,9.4.3 開和閉運(yùn)算,9.4.4 灰度形態(tài)學(xué)的應(yīng)用,灰度圖像的腐蝕定義為 ，其運(yùn)算公式為：,和 分別是 f 和 b 的定義域。平移參數(shù) (s+x) 和 (t+y) 必須包含在f定義域內(nèi)，,與二元腐蝕的定義類似，所有的結(jié)構(gòu)元素將完全包含在與被腐蝕的集合內(nèi)。公式的形式與二維相關(guān)公式相似，只是用“最小”取代求和，用減法代替乘積。,如果只有一個(gè)變量時(shí)，我們可以用一維的腐蝕來(lái)說(shuō)明公式(951)的原理。此時(shí)，表達(dá)式可簡(jiǎn)化為:,在相關(guān)情況下，s為正時(shí)，函數(shù)f(s+x)將向右平移，s為負(fù)時(shí)，函數(shù)f(s+x)將移向左邊，同 時(shí)，要求 ， 意味著b將包含在f的范圍內(nèi)。這一點(diǎn)同二值圖像腐蝕定義的情況相似，所有結(jié)構(gòu)元素將完全包含在被腐蝕的集合內(nèi)。,不同于二值圖像腐蝕定義，操作中是f在平移,而不是結(jié)構(gòu)元素b在平移。定義中可以把b寫成平移函數(shù)，由于f在b上滑動(dòng)等同于b在f上滑動(dòng)。下圖展示了通過某結(jié)構(gòu)元素腐蝕函數(shù)的結(jié)果。,腐蝕是在結(jié)構(gòu)元素定義的領(lǐng)域內(nèi)選擇(f-b)的最小值，因而，通常對(duì)灰度圖像的膨脹處理可得到兩種結(jié)果： （1）如果所有的結(jié)構(gòu)元素都為正，則輸出圖像將趨向比輸入圖像暗；,（2）在比結(jié)構(gòu)元素還小的區(qū)域中的明亮細(xì)節(jié)經(jīng)腐蝕處理后其效果將減弱。減弱的程度取決于環(huán)繞亮度區(qū)域的灰度值以及結(jié)構(gòu)元素自身的形狀和幅值。,與求補(bǔ)、映射相關(guān)的膨脹、腐蝕是有互補(bǔ)性的，即：,（953）,其中:,9.4.1 膨脹,9.4.2 腐蝕,9.4.3 開和閉運(yùn)算,9.4.4 灰度形態(tài)學(xué)的應(yīng)用,灰度圖像開運(yùn)算和閉運(yùn)算的表達(dá)式與二值圖像相同的形式。 結(jié)構(gòu)元素b對(duì)圖像f作開運(yùn)算處理，可定義為 ，即：,(954),如果是二值圖像的情況，開運(yùn)算b對(duì)f先后進(jìn)行簡(jiǎn)單的腐蝕操作和膨脹操作。 灰度圖，b對(duì)f的閉運(yùn)算，定義為 ，即：,(955),灰度圖像開運(yùn)算和關(guān)運(yùn)算對(duì)于求補(bǔ)和映射也是對(duì)偶的，即：,（956）,由于,，式 (956) 也可以寫為,圖像的開和閉運(yùn)算有一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何解釋。,假設(shè)看到一個(gè)三維的圖像函數(shù) f(x,y)（象一個(gè)地貌地圖），x 和 y 是空間坐標(biāo)軸，第三坐標(biāo)軸是亮度坐標(biāo)軸（即f 的值）。在重現(xiàn)中圖像作為一個(gè)平面顯示，其中的任意點(diǎn)(x,y)是 f 在該點(diǎn)坐標(biāo)值。,假設(shè)用球形結(jié)構(gòu)元素 b 對(duì) f 作開運(yùn)算，可將b 看作“滾動(dòng)的球”。b對(duì)f 的開運(yùn)算處理可解釋為讓“滾動(dòng)球”沿 f 的下沿滾動(dòng)，經(jīng)“滾動(dòng)”處理所有比“小球”直徑小的峰都磨平了。,通過圖示解釋這一概念。圖921(a) 為解釋簡(jiǎn)單，把灰度圖像簡(jiǎn)化為連續(xù)函數(shù)剖面線。921(b)顯示了“滾動(dòng)球”在不同的位置上滾動(dòng)，921(c)顯示了沿函數(shù)剖面線結(jié)構(gòu)元素 b 對(duì) f 開運(yùn)算處理的結(jié)果。所有小于球體直徑的波峰值、尖銳度都減小了。,在實(shí)際運(yùn)用中，開運(yùn)算處理常用于去除較小的亮點(diǎn)（相對(duì)結(jié)構(gòu)元素而言），同時(shí)保留所有的灰度和較大的亮區(qū)特征不變。腐蝕操作去除較小的亮的細(xì)節(jié)，同時(shí)使圖像變暗。如果再施以膨脹處理將增加圖像的亮度而不再引入已去除的部分。,圖 921 開和閉運(yùn)算的圖例,圖921(d)顯示了結(jié)構(gòu)元素b對(duì)f的閉操作處理。小球（結(jié)構(gòu)元素）在函數(shù)剖面上沿滾動(dòng)，圖921(e)給出了處理結(jié)果，只要波峰的最窄部分超過小球的直徑則波峰保留原來(lái)的形狀。,在實(shí)際運(yùn)用中，閉運(yùn)算處理常用于去除圖像中較小的暗點(diǎn)（較結(jié)構(gòu)元素而言），同時(shí)保留原來(lái)較大的亮度特征。最初的膨脹運(yùn)算去除較小暗細(xì)節(jié)，同時(shí)也使圖像增亮。隨后的腐蝕運(yùn)算將圖像調(diào)暗而不重新引入已去除的部分。,開運(yùn)算處理滿足以下的性質(zhì)： （i） ； (ii) 如果 ,則 ； (iii) 。 表達(dá)式 表示 是 的子集，而且在 的定義域內(nèi)對(duì)于任意 都有 。,類似的，閉運(yùn)算處理滿足以下的性質(zhì)： （i） ； (ii)如果 ,則 ； (iii) 。,這些表達(dá)式的使用類似于對(duì)應(yīng)的二值表達(dá)式。正如在二值情況下，對(duì)開運(yùn)算處理和閉運(yùn)算處理性質(zhì)(ii)和性質(zhì)(iii)被分別稱作單調(diào)增加和等冪。,9.4.1 膨脹,9.4.2 腐蝕,9.4.3 開和閉運(yùn)算,9.4.4 灰度形態(tài)學(xué)的應(yīng)用,根據(jù)前邊討論的灰度形態(tài)學(xué)的基本運(yùn)算，下邊介紹一些簡(jiǎn)單的形態(tài)學(xué)實(shí)用處理算法，這些處理都是針對(duì)灰度圖像進(jìn)行的。,(1)形態(tài)學(xué)圖像平滑 一種獲得平滑的方法是將圖像先進(jìn)行閉運(yùn)算處理然后再進(jìn)行開運(yùn)算處理，處理結(jié)果將去除或消減亮斑和暗斑。,圖 924 形態(tài)學(xué)處理效果,（d）原圖二 值圖像,（e）二值邊 緣提取處理結(jié)果,（f）原圖像,（g）平滑處理結(jié)果,圖 924 形態(tài)學(xué)處理效果,（a）原圖,（b）梯度處理 結(jié)果,（c）邊緣提取 結(jié)果,（3）Top-hat變換. 所謂的圖像形態(tài) 變換用 來(lái)表示