彈性力學與有限元法.pptVIP

2019/7/1,1,第1節(jié) 概 述,有限元方法起源于彈性力學問題求解，最先發(fā)展的是平面三角形位移元。經過半個多世紀的發(fā)展，發(fā)展了一批具有不同精度的單元，也是有限元單元技術發(fā)展最成熟的領域，應用最成功的領域是土木工程結構靜動力學分析中。在彈性力學問題位移元方法中，有限元法一般包括以下幾個步驟：,概 述,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,2,第1節(jié) 概 述,概述,Institute of Mechanical Engineering and Automation,整個求解區(qū)域的未知場函數可由各個單元節(jié)點上的數值以及插值函數近似表示。這樣一來，在一個問題的有限元分析中，未知場函數的有限個節(jié)點值就成為待求全部的未知量，從而使一個連續(xù)體的無限自由度問題簡化為有限自由度問題。,將連續(xù)體離散化，即將連續(xù)求解域離散為一組由虛擬的點、線、面構成的有限個“單元”的組合體，這樣的組合體能夠解析地模擬或逼近求解區(qū)域。 假設上述“單元”由位于單元邊界上的節(jié)點相互連接在一起，以這些節(jié)點位移作為基本未知量。 利用節(jié)點未知量，選擇一組插值函數唯一地定義每一個單元內相應物理場(位移、應力、應變等)的分布，即選擇單元位移模式或單元列式。 將各種類型的載荷變換為只作用在節(jié)點上的等效載荷，建立基本未知量與等效節(jié)點載荷之間的基本方程。 求解基本方程，得到基本未知量的解答。,2019/7/1,3,Institute of Mechanical Engineering and Automation,彈性力學的研究內容 彈性體在外部因素（外力、溫度等）作用下而產生的應力和應變，以及與應變有關的位移。,第2節(jié) 彈性力學簡介,2019/7/1,4, 彈性力學假設 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,連續(xù)性假設 完全彈性假設 均勻性和各向同性假設 小變形、小轉動假設 自然狀態(tài)假設（無初始應力）,彈性力學與我們十分熟悉的材料力學既有聯系又有區(qū)別。它們都同屬于固體力學領域，但彈性力學比材料力學，研究的對象更普遍，分析的方法更嚴密，研究的結果更精確，因而應用的范圍更廣泛。 但是，彈性力學也有其固有的弱點。由于研究對象的變形狀態(tài)較復雜，處理的方法又較嚴謹，因而解算問題時，往往需要冗長的數學運算。但為了簡化計算，便于數學處理，它仍然保留了材料力學中關于材料性質的假定：,2019/7/1,5,基本定律,牛頓定律 幾何連續(xù)性定律 物性定律 應力和應變之間的關系 ( 物理方程 ),動量平衡原理 平衡(運動)微分方程 動量矩平衡原理 應力張量的對稱性 作用與反作用定律 , 位移和變形的關系 ( 幾何方程 ) 位移邊界條件,2019/7/1,6,位移,和,應變,和,應力,和,1)、基本力學量：,彈性力學中的物理量,2019/7/1,7, 載 荷 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,作用于彈性體的外力(或稱荷載)可能有兩種： 表面力，是分布于物體表面的力，如靜水壓力，一物體與另一物體之間的接觸壓力等。單位面積上的表面力通常分解為平行于座標軸的三個成分，用記號 來表示。 體力，是分布于物體體積內的外力，如重力、磁力、慣性力等。單位體積內的體力亦可分解為三個成分，用記號X、Y、Z表示。 彈性體受外力以后，其內部將產生應力。,2019/7/1,8, 應力的概念 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,9, 應力的概念 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,為了表明這個正應力的作用面和作用方向，加上一個角碼，例如，正應力x是作用在垂直于x軸的面上同時也沿著x軸方向作用的。,正應力,加上兩個角碼，前一個角碼表明作用面垂直于哪一個坐標軸，后一個角碼表明作用方向沿著哪一個坐標軸。例如，剪應力xy是作用在垂直于x軸的面上而沿著y軸方向作用的。,剪應力,2019/7/1,10, 應力的概念 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,應力的正負 如果某一個面上的外法線是沿著坐標軸的正方向，這個面上的應力就以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。 相反，如果某一個面上的外法線是沿著坐標軸的負方向，這個面上的應力就以沿坐標軸的負方向為正，沿坐標軸正方向為負。,剪應力互等定律 作用在兩個互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應力是互等的。(大小相等，正負號也相同)。因此剪應力記號的兩個角碼可以對調。即：,2019/7/1,11,應力的概念,Institute of Mechanical Engineering and Automation,可以證明：如果 這六個量在P點是已知的，就可以求得經過該點的任何面上的正應力和剪應力，因此，這六個量可以完全確定該點的應力狀態(tài)，它們就稱為在該點的應力分量。 一般說來，彈性體內各點的應力狀態(tài)都不相同，因此，描述彈性體內應力狀態(tài)的上述六個應力分量并不是常量，而是坐標x、y、z的函數。 六個應力分量的總體，可以用一個列矩陣 來表示：,2019/7/1,12, 位 移 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,彈性體在受外力以后，還將發(fā)生變形。物體的變形狀態(tài)，一般有兩種方式來描述： 1、給出各點的位移；2、給出各體素的變形。 彈性體內任一點的位移，用此位移在x、y、z三個坐標軸上的投影u、v、w來表示。以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。這三個投影稱為位移分量。一般情況下，彈性體受力以后，各點的位移并不是定值，而是坐標的函數。,2019/7/1,13, 應 變 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,14,其中：X、Y、Z為三個方向的均勻分布體力,平衡方程（外力與應力的關系）,彈性力學的基本方程,2019/7/1,15, 幾何方程、剛體位移 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,16, 幾何方程、剛體位移 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,17, 位移及應變、幾何方程、剛體位移 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,18, 位移及應變、幾何方程、剛體位移 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,19, 位移及應變、幾何方程、剛體位移 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,可以證明，如果彈性體內任一點，已知這三個垂直方向的正應變及其相應的三個剪應變，則該點任意方向的正應變和任意二垂直線間的剪應變均可求出，當然也可求出它的最大和最小正應變。因此，這六個量可以完全確定該點的應變分量，它們就稱為該點的應變分量。 六個應變分量的總體，可以用一個列矩陣 來表示：,2019/7/1,20, 位移及應變、幾何方程、剛體位移 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,21, 應力應變關系、物理方程 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,22, 應力應變關系、物理方程 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,23, 應力應變關系、物理方程 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,24, 應力應變關系、物理方程 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,將應變分量表為應力分量的函數，可稱為物理方程的第一種形式。若將式(11)改寫成應力分量表為應變分量的函數的形式，并將式(10)代入，可得物理方程的第二種形式：,2019/7/1,25, 應力應變關系、物理方程 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,式(12)可用矩陣的形式表示如下：,式(13)可簡寫為由彈性體性質決定的物理方程：,2019/7/1,26, 應力應變關系、物理方程 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,D稱為彈性矩陣，它完全決定于彈性常數E和,2019/7/1,27,彈性力學的基本方法,從取微元體入手，綜合考慮靜力（或運動）、幾何、物理三方面條件，得出其基本微分方程，再進行求解，最后利用邊界條件確定解中的常數。,按照方程中保留的未知量，求解方法可分為,應力法（以應力為未知量） 位移法（以位移為未知量） 混合法（同時以應力和位移為未知量）,精確解法：采用數學分析的手段求得精確解 近似解法：最有效的是基于能量原理的變分方法 數值方法：有限元法，有限差分法，邊界元法等,2019/7/1,28,Institute of Mechanical Engineering and Automation,總結-彈性力學基本方程（分量形式）,一、平衡方程,二、幾何方程,三、本構關系,四、協調方程,五、邊界條件(應力,位移),位移,應力,2019/7/1,29