相似教材分析

第二十七章 相似 教材分析 201010相似作為圖形的一種變換是全等變換的拓廣和發(fā)展，也是學習銳角三角函數(shù)、投影與視圖的基礎(chǔ)同時相似被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)實生活中本章也處于學生邏輯推理證明進一步鞏固和提高的重要階段，通過訓練提高學生分析解決實際問題的能力一 、課程學習目標：1了解比例的基本性質(zhì)，了解線段的比、成比例線段2通過具體實例認識圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，理解相似多邊形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊的比相等、周長的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定定理，并能利用這些性質(zhì)和判定定理解決生活中的一些實際問題3了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小，在同一直角坐標系中，感受位似變換后點的坐標的變化4結(jié)合相似圖形性質(zhì)和判定方法的探索和證明，進一步培養(yǎng)學生的合情推理能力，發(fā)展學生的邏輯思維能力和推理論證的表達能力；通過這一章的教學，進一步培養(yǎng)學生綜合運用知識的能力，運用學過的知識解決問題的能力，同時對學生進行辨證唯物主義世界觀的教育二、2010年中考說明的考試要求：考試內(nèi)容考試要求ABC空間與圖形圖形的認識相似三角形了解兩個三角形相似的概念會利用相似三角形的性質(zhì)與判定進行簡單的推理和計算；會利用三角形的相似解決一些實際問題圖形與變換相似了解比例的基本性質(zhì)，了解線段的比、成比例線段，會判斷四條線段是否成比例，會利用線段的比例關(guān)系求未知線段；了解黃金分割；知道相似多邊形及其性質(zhì)；認識現(xiàn)實生活中物體的相似；了解圖形的位似關(guān)系會用比例的基本性質(zhì)解決有關(guān)問題；會用相似多邊形的性質(zhì)解決簡單的問題；能利用位似變換將一個圖形放大或縮小三、本章知識結(jié)構(gòu)框圖：相似圖形相似多邊形相似三角形位似圖形對應(yīng)角相等對應(yīng)邊的比相等周長比等于相似比面積比等于相似比的平方相似三角形的判定應(yīng)用四、本章雙基：重點：相似多邊形的有關(guān)性質(zhì)以及相似三角形的判定難點：相似三角形的判定定理的證明基本知識：比例基本性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，位似的定義及性質(zhì)基本技能：會用比例線段求線段長或列方程，會用相似多邊形、相似三角形的性質(zhì)與判定解決簡單的實際問題，會畫位似圖形基本思想方法：類比與對比思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、方程與函數(shù)思想基本實踐活動：制作地圖，測建筑物的高，測河寬等五、課時安排：本章教學時間約需13（+2）課時，具體分配如下（僅供參考）：預(yù)備知識 比例的概念和性質(zhì) 2課時271 圖形的相似 2課時272 相似三角形 共7課時 相似的判定 4課時 相似的性質(zhì) 2課時 相似的應(yīng)用 1課時273 位似 2課時數(shù)學活動 小結(jié) 2課時六、教學建議：1突出圖形性質(zhì)的探索過程，重視實驗操作和邏輯推理的有機結(jié)合2注意聯(lián)系實際，突出建模思想3重視運用類比和轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法學習本章知識4進一步培養(yǎng)推理論證能力5從運動變換的角度學習，加強學生對圖形的認識和理解6注意把握好教學要求 7重視信息技術(shù)的應(yīng)用七、各節(jié)教學要點：271圖形的相似一、預(yù)備知識：1線段的比：如果選用同一長度單位量得兩條線段，長度分別是，那么就說這兩條線段的比是，或?qū)懗?成比例線段：對于四條線段、，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段3比例的基本性質(zhì)：（實質(zhì)是比例式與等積式的互化）4比例的性質(zhì)：（1）更比：（2）反比：（3）合比：若，則或； 推廣：若，則（分母不能為0）（4）等比：如果，那么；推廣：如果，那么（分母不能為0）5證明比例式的常用方法：（1）“見比設(shè)k”：（以等比性質(zhì)證明為例），設(shè)則又，（2）利用等式性質(zhì)：（以合比性質(zhì)證明為例）證明一：， 證明二：， （3）利用比例的性質(zhì)：（以等比性質(zhì)證明為例），（更比） （合比）（更比） 同理：注意：教材對于成比例線段和比例的性質(zhì)的要求有所降低本章要求了解線段的比、成比例線段的相關(guān)概念：如比的前項、后項，比例的項、外項、內(nèi)項等，同時掌握比例的基本性質(zhì)即可對于合比、等比等性質(zhì)，可以很容易由比例的基本性質(zhì)推出，可以向?qū)W生介紹，不作一般教學要求另外，由于對成比例線段的要求的降低，教科書在后面敘述相似多邊形性質(zhì)時，使用的是“對應(yīng)邊的比相等”，而不是“對應(yīng)線段成比例”，這一點在教學時也應(yīng)引起注意二、圖形的相似：1相似圖形：我們把這種形狀相同的圖形叫做相似圖形2相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等3相似多邊形的判定：兩個邊數(shù)相同的多邊形，對應(yīng)角都相等，對應(yīng)邊的比都相等，同時滿足上述條件的兩個多邊形相似注：（1）相似圖形不僅僅是平面圖形、也包括立體圖形，如兩個球體、兩個正方體（2）對于相似圖形的描述性定義不能直接判定兩個多邊形相似，在這里相似多邊形的性質(zhì)和判定是統(tǒng)一的，也可以作為相似多邊形的定義例1下列圖形中，必是相似形的是（ ）C A都有一個角是40的兩個等腰三角形 B都有一個角為50的兩個等腰梯形C都有一個角是30的兩個菱形 D鄰邊之比為2：3的兩個平行四邊形272 相似三角形2721 相似三角形的判定一、相似三角形的概念：1相似三角形：三組對應(yīng)角分別相等，三組對應(yīng)邊的比分別相等的兩個三角形相似注：（1）如ABC與DEF相似，記作ABCDEF，其中對應(yīng)頂點要寫在對應(yīng)位置，如A與D，B與E，C與F相對應(yīng)，這樣比較容易找出對應(yīng)角和對應(yīng)邊（2）相似比帶有順序性：如：ABCABC的相似比為，反過來ABCABC的相似比為（3）全等三角形是相似比為1的相似三角形，因此全等三角形是相似三角形的特殊情況二、相似三角形的判定定理：1平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似注：ABCDE（1）對于這個定理，由于沒有平行線分線段成比例的定理的基礎(chǔ)，無法進行常規(guī)證明因此教科書僅就其特殊情況（這條直線過三角形一邊的中點）進行了證明，對于一般情況，可以采用合情推理的方式處理，也可以利用面積給予證明已知：如圖，ABC中，DEBC，交AB、AC于D、E求證：ADEABC證明：連接CD、BEDEBC，ADE=B，AED=C，ABCDE又，ABCOEME156cmNEHG圖180cmCDEF過點D作DFAC，交BC于F同理又四邊形DECF是平行四邊形， DE=CF又A=A，ADE=B，AED=C，ADEABC（2）當平行于三角形一邊的直線和其他兩邊延長線相交時，所構(gòu)成的三角形也和原三角形相似2如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似3如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似4如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似注：（1）三角形相似的判定與三角形全等的判定方法類似，可以通過弱化定義和類比全等判定兩方面來研究、記憶、理解相似三角形的判定也是從“邊邊邊”的情況開始的全等的判定相似的判定兩角夾一邊對應(yīng)相等（ASA）兩角一對邊對應(yīng)相等（AAS）兩邊及夾角對應(yīng)相等（SAS）三邊對應(yīng)相等（SSS）兩角對應(yīng)相等兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等三邊對應(yīng)成比例（2）相似三角形判定定理的證明是在其中一個三角形內(nèi)部構(gòu)造一個與另一個三角形全等的三角形，利用前面的引理，證明這個三角形與它相似，在這里利用了相似的傳遞性（3）“邊邊角”依然不成立反例：如圖，BD=BC，A=A，但ABD與ABC不相似5直角三角形的特殊判定：（1）（書習題272第17題）如果兩個直角三角形的斜邊的比和另一個對應(yīng)的直角邊的比相等，那么這兩個直角三角形相似（2）（書P49練習2）直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似三、基本圖形：1平行型2交叉型四、典型例題：例2圖中相似的三角形是：例3在ABCD中，E是BC上一點，BE:EC=2:3，AE交BD于點F，求：BF:BD的值例4如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，AC的垂直平分線與AD交于點E，與BC交于點F，求EF例5如圖，ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，連結(jié)DE并延長交BC的延長線于點F，連結(jié)DC，BE，若BDE+BCE=180，寫出圖中的相似三角形，并證明例6已知ABC，DCE，F(xiàn)EG是三個全等的等腰三角形，且，BC=1，求證：BFGFEG，并求BF例7已知，如圖EFBC，F(xiàn)GCD，求證：AEGABD五、證明等積式或比例式的基本方法：1“三點定形”例8如圖，AD、CE是ABC的高，AD和CE相交于點F，求AFFD=CFFE例9如圖，點E是四邊形ABCD對角線BD上一點，且BAC=BDC=DAE求證：AEAC=ADAB2等線段代換、等比代換、等積代換例10已知，ABCD是正方形，GFBE，求證：EFAE=BEEC例11已知：在ABC中，ACB=90，D是AB中點，過D作AB的垂線交CB于E，交AC的延長線于F，求證：CD2=DEDF3添加平行線：例12已知，AD=BE，求證：例13如圖，ABC中，D是BC中點，E是AD上一點，CE的延長線交AB于F，求證：AE：ED=2AF：FB4中考鏈接例14（2009泰安）如圖，ABC是直角三角形，ACB=90，CDAB于D，E是AC的中點，ED的延長線與CB的延長線交于點F（1）求證：FD2=FBFC（2）若G是BC的中點，連接GD，GD與EF垂直嗎？并說明理由例15(2009年濰坊)已知，延長BC到D，使取的中點，連結(jié)交于點（1）求的值；（2）若，求的長2722相似三角形應(yīng)用舉例一、知識點：1比例尺：表示圖上距離比實地距離縮小的程度，比例尺= 圖上距離/ 實地距離2太陽離我們非常遙遠，因此可以把太陽光近似看成平行光線在同一時刻，兩物體影子之比等于其對應(yīng)的高的比3視點：觀察事物的著眼點（一般指觀察者眼睛的位置）；視角：由物體兩端射出的兩條光線在眼球內(nèi)交叉所成的角，物體越小或距離越遠，視角越??；盲區(qū)：觀察者看不到的區(qū)域；仰（俯）角：觀察者向上（下）看時，視線與水平方向的夾角4會應(yīng)用相似三角形的有關(guān)性質(zhì)，測量簡單的物體的高度或?qū)挾热纾簻y量旗桿的高度 BEFGH平面鏡測量法 影子測量法 手臂測量法 標桿測量法二、中考鏈接：例16（2009年宜賓）如圖，公園內(nèi)有一個長5米的蹺蹺板AB，當支點O在距離A端2米時，A端的人可以將B端的人蹺高15米，那么當支點O在AB的中點時，A端的人下降同樣的高度可以將B端的人蹺高 米（1）例17(2009年陜西省)小明想利用太陽光測量樓高，他帶著皮尺來到一棟樓下，發(fā)現(xiàn)對面墻上有這棟樓的影子，針對這種情況，他設(shè)計了一種測量方案，具體測量情況如下：如示意圖，小明邊移動邊觀察，發(fā)現(xiàn)站到點E處時，可以使自己落在墻上的影子與這棟樓落在墻上的影子重疊，且高度恰好相同此時，測得小明落在墻上的影子高度CD12m，CE08m，CA30m（點A、E、C在同一直線上）已知小明的身高EF是17m，請你幫小明求出樓高AB（結(jié)果精確到01m）（20.0）例18如圖，花叢中有一路燈桿AB在燈光下，小明在D點處的影長DE=3米，沿BD方向行走到達G點，DG=5米，這時小明的影長GH=5米如果小明的身高為1.7米，求路燈桿AB的高度（精確到0.1米）2723 相似三角形的周長與面積一、知識點：1 相似三角形的性質(zhì)：（1）對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等（2）對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比（2）周長比等于相似比（3）面積比等于相似比的平方2 相似多邊形的性質(zhì)：（1）對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等（2）周長比等于相似比（3）面積比等于相似比的平方注意：本節(jié)課的關(guān)鍵詞就是相似比。加深對相似比的認識和理解可以幫助我們更加靈活簡便地分析和解決問題二、典型例題：例19銳角ABC中，BC6，兩動點M、N分別在邊AB、AC上滑動，且MNBC，以MN為邊向下作正方形MPQN，設(shè)其邊長為x，正方形MPQN與ABC公共部分的面積為y（y 0），當x ，公共部分面積y最大，y最大值 例20如圖，在ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQAB，P點在AC上，Q在BC上，（1）當PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時，求PC的長；（2）當PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時，求PC的長二、中考鏈接：例21（2009年湖州）如圖，在正三角形中，分別是，上的點，則的面積與的面積之比等于（ ）A13B23C2D3 EDBCA例22（2009恩施市）如圖，在中，A=90，BC=10，ABC的面積為25，點為邊上的任意一點（不與、重合），過點作，交于點設(shè)，以為折線將翻折（使落在四邊形所在的平面內(nèi)），所得的與梯形重疊部分的面積記為（1）用表示的面積；（2）求出時與的函數(shù)關(guān)系式；（3）求出時與的函數(shù)關(guān)系式； （4）當取何值時，的值最大？最大值是多少？解：（1） DEBC ADE=B，AED=C ADEABC ，即 （2）當0 時 （3）10時，點A落在三角形的外部，其重疊部分為梯形SADE=SADE=DE邊上的高AH=AH=由已知求得AF=5，AF=AAAF=x5由AMNADE知 （4）在函數(shù)中， 0x5 當x=5時y最大為： 在函數(shù)中， 當時y最大為： 當時，y最大為： 273 位似一、知識點：1位似圖形：兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心注：位似變換是一種特殊的相似變換對于位似圖形，有外位似和內(nèi)位似之分，外位似的位似中心在連接兩個對應(yīng)點的線段之外；內(nèi)位似的位似中心在連接兩個對應(yīng)點的線段上2位似圖形的性質(zhì)：（1）位似圖形是相似圖形（2）位似圖形的每組對應(yīng)點所在的直線都交于一點（3）位似圖形的對應(yīng)點和位似中心在同一條直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比（4）位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行3在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標的比等于或4利用位似將圖形放大或縮小的作圖步驟： 例23：利用位似圖形的方法把五邊形ABCDE放大1.5倍.A1B1C1D1E1ABCDE作法： 1在平面上任取一點O； 2以O(shè)為端點作射線OA、OB、OC、OD、OE；3在射線OA、OB、OC、OD、OE上分別取點A、B、C、D、E；使OA：OAOB：OBOC：OCOD：ODOE：OE1.5； 4連結(jié)AB、BC、CD、DE、EA；這樣：1.5；則五邊形ABCDE為所求. 另外一種情況，所畫五邊形跟原五邊形分別在位似中心的兩側(cè).簡記方法:（1）選點；（2）作射線；（3）定對應(yīng)點；（4）連線注意：一般情況下，經(jīng)過位似變換后的圖形位置有兩種，這兩種在取點時要防止錯誤二、典型例題：ABC例24（2009年涼山州）如圖，在方格紙中（1）請在方格紙上建立平面直角坐標系，使，并求出點坐標；（2）以原點為位似中心，相似比為2，在第一象限內(nèi)將放大，畫出放大后的圖形；（3）計算的面積16例25：在已知三角形內(nèi)求作內(nèi)接正方形作法：（1）在AB上任取一點G，作GDBC；（2）以GD為邊，在ABC內(nèi)作一正方形DEFG；（3）連接BF，延長交AC于F；（4）作FGCB，交AB于G，從F、G各作BC的垂線FE，GD；四邊形DEFG即為所求八、本章專題：（一）黃金分割：1定義：如圖，將一條線段AB分割成大小兩條線段AP、PB，若小段與大段的長度之比等于大段的長度與全長之比，即（此時線段AP叫作線段PB、AB的比例中項），則P點就是線段AB的黃金分割點（黃金點），這種分割就叫黃金分割 設(shè)AB=1，AP=x，則BP= (負舍)2黃金分割的歷史文化早在古希臘，數(shù)學家、天文學家歐多克索斯（約公元前400前347）曾提出：能否將一條線段分成不相等的兩部分，使較短線段與較長線段的比等于較長線段與原線段的比？這就是黃金分割問題而發(fā)現(xiàn)黃金分割的是古希臘哲學家畢達哥拉斯一天，畢達哥拉斯從一家鐵匠鋪路過，被鋪子中那有節(jié)奏的叮叮當當?shù)拇蜩F聲所吸引，便站在那里仔細聆聽，似乎這聲音中隱匿著什么秘密他走進作坊，拿出一把尺量了一下鐵錘和鐵砧的尺寸，發(fā)現(xiàn)它們之間存在著一種十分和諧的關(guān)系回到家里，畢達哥拉斯拿出一根線，想將它分為兩段怎樣分才最好呢？經(jīng)過反復比較，他最后確定0618 ：1的比例截斷最優(yōu)美后來，意大利著名科學家、藝術(shù)家達芬奇給這個比例冠以“黃金”二字的美名天文學家開普勒（15711630）把這種分割線段的方法稱為神圣分割，并指出，畢達哥拉斯定理（勾股定理）和黃金分割“是幾何中的雙寶，前者好比黃金，后者堪稱珠玉” 而歷史上最早正式在書中使用“黃金分割”這個名稱的是歐姆（17921872）19世紀以后，“黃金分割”的說法逐漸流行起來3黃金三角形：頂角為36的等腰三角形，它的底角為72，恰好是頂角的2倍，人們稱這種三角形為黃金三角形性質(zhì)：底角平分線將其腰黃金分割4黃金矩形：例26（2009年棗莊市）寬與長的比是的矩形叫黃金矩形心理測試表明：黃金矩形令人賞心悅目，它給我們以協(xié)調(diào)，勻稱的美感現(xiàn)將小波同學在數(shù)學活動課中，折疊黃金矩形的方法歸納如下（如圖所示）：第一步：作一個正方形ABCD；第二步：分別取AD，BC的中點M，N，連接MN；第三步：以N為圓心，ND長為半徑畫弧，交BC的延長線于E；第四步：過E作EFAD，交AD的延長線于FABCDEFMN請你根據(jù)以上作法，證明矩形DCEF為黃金矩形證明：在正方形ABCD中，取， N為BC的中點， 在中，又 ， 故矩形DCEF為黃金矩形 （二）雙垂：1判定定理：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似2射影定理：在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，ABCACDCBD（“角角”）； ； （射影定理）； （等積）3基本圖形：4典型例題：例27如圖，ABC中，ACB=90，BM=MC，CPAM于P，交AB于D，求證：ABM=BPM例28如圖，已知在ABC中，BAC=90，ADBC，E是AC的中點，求證：AB：AC=DF：AF例29（2009年湖北十堰市）如圖，四邊形ABCD是正方形， 點G是BC上任意一點，DEAG于點E，BFAG于點F (1) 求證：DEBF = EF(2) 當點G為BC邊中點時， 試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系， 并說明理由 (3) 若點G為CB延長線上一點，其余條件不變請你在圖中畫出圖形，寫出此時DE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）證明:(1) ABF DAE DEBF = AFAE = EF （2）EF = 2FG 理由如下： ABBC ， BFAG ， AB =2 BG AFB BFG ABG AF = 2BF ， BF = 2 FG 由(1)知，AE = BF， EF = BF = 2 FG (3) DE + BF = EF （三）一線三等角：1基本圖形： 如圖，在ABC中，點F在BC上，且B=DFE=C，則DBFFCE2典型例題：例30在正方形ABCD中，P是BC上的點，BP=3PC，Q是CD的中點，求證：ADQPCQ例31（懷柔一模）已知如圖，在梯形中，點是的中點，是等邊三角形 （1）求證：梯形是等腰梯形； （2）動點、分別在線段和上運動，且保持不變設(shè)求與的函數(shù)關(guān)系式； （3）在（2）中，當取最小值時，判斷的形狀，并說明理由證明：（1）是等邊三角形是中點 梯形是等腰梯形（2）在等邊中， （3）為直角三角形當取最小值時，是的中點，而 例32（2009年安徽）如圖，M為線段AB的中點，AE與BD交于點C，DMEAB ，且DM交AC于F，ME交BC于G（1）寫出圖中三對相似三角形，并證明其中的一對；（2）連結(jié)FG，如果45，AB，AF3，求FG的長證：（1）AMFBGM，DMGDBM，EMFEAM以下證明AMFBGMAFMDMEEAEBMG，ABAMFBGM （2）當45時，可得ACBC且ACBCM為AB的中點，AMBM分又AMFBGM， 又， （四）綜合題：1圖形運動問題：例33（房山二模）在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的圖象與直線交于點（1）求n的值及反比例函數(shù)的解析式；（2）設(shè)直線分別交x軸、y軸于A、B兩點，過點C作CDx軸于D若點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，以相同的速度分別沿線段AD、CA向點D、A運動，設(shè)AP=m問m為何值時，以A、P、Q為頂點的三角形與AOB相似？解：（1）n=6(2)A(4，0)， B(0，3) C(4，6) ，AD=8，CD=6，C=10，AQ=10m，(3)AO=4，OB=3，AB=5當APQAOB，即， 當AQPAOB，即， 綜上所述，當或時，以A、P、Q為頂點的三角形與AOB相似例34（懷柔二模）已知如圖，在RtABC中，C=90，AC = 3，AB = 5點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位的速度向點A勻速運動；點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，點P、Q同時出發(fā)，當點P到達點A時停止運動，點Q也隨之停止伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB-BC-CP于點E設(shè)點P、Q運動的時間是t秒（t0）(1)當t = 2時，AP = ，點Q到AC的距離是 ；(2)在運動的過程中，求APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫出t的取值范圍）ACBPQED(3)在