信息10級(jí)1班朱文亮畢業(yè)論文(定稿)

共14頁(yè) 河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院本科畢業(yè)論文 第14頁(yè)反應(yīng)擴(kuò)散捕食-食餌模型的全局漸近穩(wěn)定性分析 朱文亮 河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)2010級(jí)1班摘要：本文結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)中的捕食模型進(jìn)行探討，主要是在經(jīng)典三種群Lotka-Volterra食物鏈模型的基礎(chǔ)上，加上時(shí)滯性因素，探討模型解的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性。在分析與證明過程中主要用到一些迭代知識(shí)與比較定理等。關(guān)鍵詞：全局漸進(jìn)穩(wěn)定性；時(shí)滯性；Lotka-Volterra食物鏈模型1.引言在人類自然科學(xué)中，生態(tài)學(xué)是非常重要的一部分。生態(tài)學(xué)的研究對(duì)地球環(huán)境以及人類的生存都至關(guān)重要。特別是近些年，人類濫砍濫伐，破壞生態(tài)的現(xiàn)象特別嚴(yán)重，怎樣更好地利用生態(tài)學(xué)知識(shí)保護(hù)自然，保護(hù)我們共同的家園，是目前我們亟需解決的問題之一。研究生態(tài)學(xué)一般和其他學(xué)科相交叉，而生態(tài)學(xué)和數(shù)學(xué)交叉產(chǎn)生的數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)又是研究生態(tài)學(xué)非常重要且不可或缺的一部分。數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)在16世紀(jì)開始萌芽，但主要成果是在20世紀(jì)完成的。在數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)中有一個(gè)模型非常重要，那就是捕食模型。在自然界，到處都是食物鏈的存在，研究捕食模型是研究生態(tài)學(xué)的重要組成部分。在國(guó)內(nèi)外，研究捕食模型的著作也層出不窮。在本文中，主要對(duì)模型 (1.1)運(yùn)用比較原理和單調(diào)迭代方法證明平衡解的全局漸近穩(wěn)定性。這是一個(gè)三種群捕食模型，在模型中， 分別表示食餌、中間捕食者、捕食者的種群密度。三個(gè)種群為捕食關(guān)系，但是，它們是單向捕食，中間捕食者捕食食餌，捕食者捕食中間捕食者，并且，它們分別只捕食一種食物。在模型中，表示拉普拉斯算子，=。（i=1,2,3）分別表示三種群的擴(kuò)散系數(shù)。表示食餌的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，表示中間捕食者、捕食者的死亡率。由于，中間捕食者只捕食食餌，捕食者只捕食中間捕食者，所以當(dāng)食餌的密度為零時(shí)，中間捕食者會(huì)減少，中間捕食者為零時(shí)，捕食者只會(huì)減少。模型中的（i=1,2,3）分別表示三種群自身的密度制約。分別表示中間捕食者的捕食行為對(duì)食餌種群密度的影響以及捕食者的捕食行為對(duì)中間捕食者密度的影響。分別表示食餌的種群密度對(duì)中間捕食者種群增長(zhǎng)的影響以你中間捕食者的密度對(duì)捕食者種群增長(zhǎng)的影響。常數(shù)表示相應(yīng)的生長(zhǎng)時(shí)滯，也即物種從出生到成年（具有捕食能力）所需要的時(shí)間。模型中項(xiàng)表示中間捕食者從出生到具有捕食食餌的能力所需要的時(shí)間為;項(xiàng)表示中間捕食者只捕食成年的食餌，而食餌從出生到成年所需要的時(shí)間為；項(xiàng)表示捕食者只捕食成年的中間捕食者，從出生到成年所需要時(shí)間為.此外在模型中是外法向量. 對(duì)于=0，即沒有時(shí)滯的模型的解的存在性以及漸進(jìn)性質(zhì)的研究已經(jīng)相當(dāng)廣泛，本文則主要研究具有時(shí)滯的模型（1.1）的解的存在性以及唯一性、解的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性。首先，我們先探究解的存在唯一性。2.三種群捕食模型解的存在唯一性為了求得解的存在唯一性，我們首先給出正性定理（參見1）。定理2.1 設(shè)且滿足下面不等式組： (2.1)其中如果對(duì)于成立，并且當(dāng)時(shí)，那么，.很明顯，系統(tǒng)（1.1）是（2.1）的特殊形式，所以我們可以得到下面的推論：推論2.1 系統(tǒng)（1.1）的初值為非負(fù)，則它的任一解非負(fù)為了證明解的存在唯一性，我們需要用到耦合上下解的方法，所以首先我們引入以下定義：定義2.1 一對(duì)非負(fù)函數(shù)成為系統(tǒng)（1.1）的耦合上解和下解，如果在上成立，并且滿足下面不等式組： (2.2)引理2.1 設(shè)是模型（1.1）在上的一組上下解，則系統(tǒng)（1.1）有唯一全局非負(fù)解，并且在上成立。引理的證明參見1中引理2.3的證明.如果耦合的上下解在內(nèi)都成立，即與系統(tǒng)（1.1）中的無(wú)關(guān)，則我們可以令則（2.2）中的不等式組可以寫成下面的形式： (2.3)根據(jù)引理2.1，我們可得出如下推論：推論2.2 設(shè)是一對(duì)非負(fù)向量，其滿足和（2.3）中的不等式組，則如果在上成立，則系統(tǒng)（1.1）有唯一非負(fù)全局解，我們?cè)O(shè)全局解為，則在上.根據(jù)以上引理和推論，我們可以得出如下定理：定理2.2 對(duì)于任意非負(fù)初始函數(shù)，系統(tǒng)（1.1）存在唯一的全局非負(fù)解，其滿足，其中 .證明 我們可以設(shè)，（i=1,2,3）,則，并且不等式組（2.3）成立，所以根據(jù)推論2.2，我們得出是（1.1）的耦合上下解，系統(tǒng)（1.1）存在唯一的全局非負(fù)解 . 3.模型的全局漸近穩(wěn)定性 我們先來(lái)介紹一些已有結(jié)果.我們研究（1.1）解的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性，先對(duì)相應(yīng)的常數(shù)穩(wěn)態(tài)解進(jìn)行探討。系統(tǒng)（1.1）的常數(shù)穩(wěn)態(tài)解由下面系統(tǒng)求出。 (3.1)系統(tǒng)（3.1.1）有平凡的非負(fù)解（0,0,0）和解（）.如果令,則由得出，系統(tǒng)有非負(fù)解：.不過由于得 (3.2)當(dāng)（3.2）不成立時(shí)，即系統(tǒng)（3.1）解為（）.當(dāng)并且條件 (3.3)成立時(shí)，系統(tǒng)（3.1）有正平衡解：.其中 (3.4) 從生物學(xué)意義來(lái)講，在本文中我們只討論（1.1）的正平衡解的全局漸近穩(wěn)定桿性.在1,4和5中已經(jīng)分別證明了如下結(jié)果：引理3.1 設(shè)為（1.1）的唯一非負(fù)解，如果，有條件（3.3）和 (3.5)成立，則當(dāng)時(shí)收斂于，也即正平衡解是全局漸近穩(wěn)定的.其中初始函數(shù) 滿足 ， ，i=1,2,3.常數(shù)，滿足（i=1,2,3)， (3.6)引理3.2 假設(shè)（3.5）成立并有 (3.7)則對(duì)于任意的非負(fù)初始函數(shù)，當(dāng)時(shí)（1.1）中相應(yīng)的非負(fù)解時(shí)收斂于，即正平衡解是全局漸近穩(wěn)定的.在本文中，我們應(yīng)用單調(diào)迭代的方法證明（1.1）的正平衡解是全局漸近穩(wěn)定的.首先，給出我們的結(jié)果：定理3.1 假設(shè)下面條件成立（H1）（H2） (H3) (H4) (H5)則對(duì)任意滿足的非負(fù)初值系統(tǒng)（1.1）的正常數(shù)平衡解是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的.證明：因?yàn)槿菀椎玫綄?duì)有成立.設(shè)為系統(tǒng)（1.1）具有上面初值的任意正解。定義只需證明對(duì)于某一從系統(tǒng)（1.1）的第一個(gè)方程放大后可得由拋物系統(tǒng)比較原理得于是對(duì)充分小的，存在一個(gè)使得 (3.8)由（3.8）和系統(tǒng)（1.1）第二個(gè)方程右端放大可得 由拋物系統(tǒng)比較原理可得由于該不等式對(duì)任意小的都成立，所以有.因?yàn)樗杂煞肿哟笥?可知下式成立 (3.9)存在一個(gè)，使得 (3.10)由（3.10）和系統(tǒng)第三個(gè)方程右端放大可得 由拋物系統(tǒng)比較原理可得.由任意小知道 .因?yàn)椋杂煞肿哟笥?可知(H1)成立.存在一個(gè)使得對(duì)于任意小的，有 (3.11)由（3.10）和系統(tǒng)（1.1）的第一個(gè)方程縮小得 由拋物系統(tǒng)比較原理可知，由于任意小正數(shù)，所以有由于，則分子大于，可求得(H2)成立.同樣當(dāng)(H2)時(shí)有對(duì)于任意小，有.存在，使得 (3.12)由（3.11）、（3.12）和系統(tǒng)（1.1）第二個(gè)方程右端縮小得 由拋物系統(tǒng)比較原理知當(dāng)條件(H3) 成立時(shí)，對(duì)任意小，有.則.于是，對(duì)充分小，存在一個(gè)使得 (3.13)由3.12和系統(tǒng)（1.1）第三個(gè)方程右端縮小得 由拋物系統(tǒng)比較原理知.當(dāng)條件(H4) 成立時(shí)，對(duì)任意小，有.則由的任意性得 .于是，對(duì)充分小的，存在一個(gè)使得 (3.14)使用和上面類似的分析，我們可以得出下面結(jié)果.存在一個(gè)使得 存在一個(gè)使得 存在一個(gè)使得 存在一個(gè)使得 存在一個(gè)使得 存在一個(gè)使得 繼續(xù)上面的過程，我們可以得到兩個(gè)序列使得當(dāng)時(shí)有下面的不等式組成立： (3.15)顯然有 . (3.16)由（3.15)可得 (3.17)注意到，并有(H5)成立，則從（3.17）可以導(dǎo)出 于是，序列單調(diào)遞減.因此，存在.令，則從（3.17）得 . (3.18)因此，從（3.15）可得 (3.19)從（3.18）和（3.19）得出 因此有 .所以我們可以得到下面的結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)條件(H1)、(H2)、(H3)、(H4)、(H5)成立時(shí)，系統(tǒng)（1.1）的正常數(shù)平衡解是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的.致謝：本論文是在馬戰(zhàn)平老師的悉心指導(dǎo)下完成的。本論文本來(lái)我并不熟悉，多虧了馬老師的悉心教導(dǎo)，我慢慢對(duì)論文有了一定認(rèn)識(shí)，并完成論文。在開始階段，由于對(duì)偏微分方程的知識(shí)掌握的并不牢固，所以遇到很大困難。馬老師從基礎(chǔ)方法開始講起，逐漸引導(dǎo)，才得以是論文順利完成。馬老師對(duì)教學(xué)與學(xué)術(shù)的一絲不茍深深打動(dòng)與教育了我，在此，我要向馬老師表示最衷心的感謝。大學(xué)的時(shí)光匆匆而過，在這里有陪伴我的同學(xué)，有在生活上知道我們的輔導(dǎo)員、班主任，更有對(duì)我們進(jìn)行諄諄教導(dǎo)的老師們。他們不僅給了我們知識(shí)，也教會(huì)了我們學(xué)習(xí)的態(tài)度。在此我也要向陪伴我度過大學(xué)四年的老師與同學(xué)們，因?yàn)橛心銈儯业拇髮W(xué)才變得多彩。參考文獻(xiàn)1林支桂 ,三種群捕食-被捕食模型中具時(shí)滯的拋物系統(tǒng)J.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào).2004,47(3),559-570.2郭改慧，李艷玲，帶B-D反應(yīng)項(xiàng)的捕食食餌模型的全局分支及穩(wěn)定性J.應(yīng)用數(shù)學(xué)報(bào). 2008,31(2),220-230. 3魏茜，李艷玲，一類捕食者-食餌模型的全局分歧和穩(wěn)定性J.西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）. 2009，45(6),13-18. 4Y. Chen, M. Wang, Asymptotic behavior of solutions of a three-species predator prey model with diffusion andtime delaysJ.Appl. Math. Lett. 17 (2004) 1403 1408.5Yuan-MingWang,Asymptotic behavior of solutions for a class of predator-prey reaction diffu-sion syste- ms with time dalaysJ.Math.Ana.Appl.328(2007)137-150.6Z.G.Lin,A time delayed parabolic system in a three species predatorprey mode J.Acta Math.Sinica 47 (2004),559568.7YULAN CHEN，Asymptotic Behavior of Solutions of A Three-Species Predator-Prey Model with diff- usion and Time DelaysJ.Applied A a thematics Letters.2004.8E.Beretta,Y.Takeuchi,Global asymptotic stability of LotkaVolterra diffusion models with continuous time delaysJ.SIAM J. Appl. Math. 48(1988) 627651. The global asymptotic stable of solutions for predator-prey reaction-diffusion systems Zhu Wenliang School of Mathematics and Information Science, Henan Polytechnic UniversityAbstract: This paper study predator-prey systems of mathematical ecology by using math knowledges ,the main methods are study the global asymptotic stable of the solutions for systems with ti