2018版高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換疑難規(guī)律方法學(xué)案蘇教版.doc

第三章 三角恒等變換1三角恒等變換中角的變換的技巧三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此三角恒等變換離不開(kāi)角之間的變換.觀(guān)察條件及目標(biāo)式中角之間的聯(lián)系，消除角之間存在的差異，或改變角的表達(dá)形式以便更好地利用條件得出結(jié)論，或有利于公式的運(yùn)用，化角是三角恒等變換的一種常用技巧.一、利用條件中的角表示目標(biāo)中的角例1設(shè)、為銳角，且滿(mǎn)足cos ，tan()，求cos 的值.分析利用變換()尋找條件與所求之間的關(guān)系.解、為銳角，且tan()0，0.sin() ，cos()，sin .cos cos()cos cos()sin sin()().二、利用目標(biāo)中的角表示條件中的角例2設(shè)為第四象限的角，若，則tan 2_.分析要求tan 2的值，注意到sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin ，代入到，首先求出cos 2的值后，再由同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求出tan 2.解析由2cos2cos 2.2cos2cos 212cos 2.cos 2.為第四象限的角，2k2k2(kZ)，4k324k4(kZ)，2可能在第三、四象限，又cos 2，2在第四象限，sin 2，tan 2.答案三、注意發(fā)現(xiàn)互余角、互補(bǔ)角，利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化角例3已知sin，0x，求的值.分析轉(zhuǎn)化為已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其余三角函數(shù)值的問(wèn)題.這樣可以將所求式子化簡(jiǎn)，使其出現(xiàn)這個(gè)角的三角函數(shù).解原式2sin2cos，sin，且0x，x.cos，原式2.四、觀(guān)察式子結(jié)構(gòu)特征，靈活湊出特殊角例4求函數(shù)f(x)sin(x20)cos(x40)的最大值.分析觀(guān)察角(x40)(x20)60，可以把x40看成(x20)60后運(yùn)用公式展開(kāi)，再合并化簡(jiǎn)函數(shù)f(x).解f(x)sin(x20)cos(x20)60sin(x20)sin(x20)cos(x20)cos 60sin(x20)sin 60sin(x20)cos(x20)sin(x65)，當(dāng)x65k36090，即xk360155(kZ)時(shí)，f(x)有最大值.2三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值的“主角”三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值是學(xué)習(xí)三角的一個(gè)重要內(nèi)容，而“變角”是化簡(jiǎn)的重要形式，是化簡(jiǎn)求值這場(chǎng)大戲中的主角，它的表演套路主要有以下幾招：第一招單角化復(fù)角例1已知sin ，是第二象限的角，且tan()，則tan 的值為_(kāi).解析因?yàn)閟in ，為第二象限的角，所以cos ，所以tan .所以tan tan().答案點(diǎn)評(píng)將單角用已知復(fù)角表示時(shí)，需要將復(fù)角進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕M合、拆分，常見(jiàn)的拆分組合形式，如：()，()，(2)()，()()，()()等.第二招復(fù)角化單角例2化簡(jiǎn)：2cos().解原式.點(diǎn)評(píng)由于該式含有2和，這兩個(gè)角都是復(fù)角，而化簡(jiǎn)的要求為最終結(jié)果皆為單角，所以化簡(jiǎn)的思路就是利用兩角和的正弦或余弦公式展開(kāi)即可.第三招復(fù)角化復(fù)角例3已知，0，cos()，sin()，求sin()的值.解因?yàn)?，所以sin().又因?yàn)?，0，sin0，故原式sin.點(diǎn)評(píng)一般地，在化簡(jiǎn)求值時(shí)，遇到1cos 2、1cos 2、1sin 2、1sin 2常?；癁槠椒绞剑?cos2、2sin2、(sin cos )2、(sin cos )2.三、靈活變角例3已知sin()，則cos(2)_.解析cos(2)2cos2()12sin2()12()21.答案點(diǎn)評(píng)正確快速求解本題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用已知角“”表示待求角“2”，善于發(fā)現(xiàn)前者和后者的一半互余.四、構(gòu)造齊次弦式比，由切求弦例4已知tan ，則的值是_.解析3.答案3點(diǎn)評(píng)解本題的關(guān)鍵是先由二倍角公式和平方關(guān)系把“”化為關(guān)于sin 和cos 的二次齊次弦式比.五、分子、分母同乘以2nsin 求cos cos 2cos 4cos 8cos 2n1的值例5求值：sin 10sin 30sin 50sin 70.解原式cos 20cos 40cos 80.點(diǎn)評(píng)這類(lèi)問(wèn)題的解決方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍數(shù)即可.4聚焦三角函數(shù)最值的求解策略一、化為yAsin(x)B的形式求解例1求函數(shù)f(x)的最值.解原函數(shù)變形得：f(x)sin 2x.f(x)max，f(x)min.例2求函數(shù)ysin2x2sin xcos x3cos2x的最小值，并寫(xiě)出y取最小值時(shí)x的集合.解原函數(shù)化簡(jiǎn)得：ysin 2xcos 2x2sin2.當(dāng)2x2k，kZ，即xk，kZ時(shí)，ymin2.此時(shí)x的集合為x|xk，kZ.點(diǎn)評(píng)形如yasin2xbsin xcos xccos2xd(a，b，c，d為常數(shù))的式子，都能轉(zhuǎn)化成yAsin(x)B的形式求最值.二、利用正弦、余弦函數(shù)的有界性求解例3求函數(shù)y的值域.解原函數(shù)整理得：sin x.|sin x|1，1，解出y或y3.例4求函數(shù)y的值域.解原函數(shù)整理得：sin xycos x4y3，sin(x)4y3，sin(x).|sin(x)|1，解不等式1得：y.點(diǎn)評(píng)對(duì)于形如y或y的這類(lèi)函數(shù)，均可利用三角函數(shù)中弦函數(shù)的有界性去求最值.三、轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)在某確定區(qū)間上求最值例5設(shè)關(guān)于x的函數(shù)ycos 2x2acos x2a的最小值為f(a)，寫(xiě)出f(a)的表達(dá)式.解ycos 2x2acos x2a2cos2x2acos x(2a1)22.當(dāng)1，即a1，即a2時(shí)，f(a)ymin14a，此時(shí)cos x1.綜上所述，f(a).點(diǎn)評(píng)形如yasin2xbsin xc的三角函數(shù)可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)yat2btc在區(qū)間1，1上的最值問(wèn)題解決.例6試求函數(shù)ysin xcos x2sin xcos x2的最值.解設(shè)sin xcos xt，t， ，則2sin xcos xt21，原函數(shù)變?yōu)閥t2t1，t， ，當(dāng)t時(shí)，ymin；當(dāng)t時(shí)，ymax3.點(diǎn)評(píng)一般地，既含sin xcos x(或sin xcos x)又含sin xcos x的三角函數(shù)采用換元法可以轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù)解最值.注意以下結(jié)論的運(yùn)用，設(shè)sin xcos xt，則sin xcos x(t21)；sin xcos xt，則sin xcos x(1t2).四、利用函數(shù)的單調(diào)性求解例7求函數(shù)y的最值.解y(sin x2)，令tsin x2，則t1，3，yt.利用函數(shù)單調(diào)性的定義易證函數(shù)yt在1，3上為增函數(shù).故當(dāng)t1即sin x1時(shí)，ymin0；當(dāng)t3即sin x1時(shí)，ymax.例8在RtABC內(nèi)有一內(nèi)接正方形，它的一條邊在斜邊BC上，設(shè)ABa，ABC，ABC的面積為P，正方形面積為Q.求的最小值.解ACatan ，PABACa2tan .設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x，AGxcos ，BC.BC邊上的高h(yuǎn)asin ，即，x，Qx2.從而1.易知函數(shù)y在區(qū)間(0，1上是單調(diào)減函數(shù)，從而，當(dāng)sin 21時(shí)，min.點(diǎn)評(píng)一些復(fù)雜的三角函數(shù)最值問(wèn)題，通過(guò)適當(dāng)換元轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)函數(shù)后，可利用函數(shù)單調(diào)性巧妙解決.5行百里者半九十 三角恒等變換一章易錯(cuò)問(wèn)題盤(pán)點(diǎn)一、求角時(shí)選擇三角函數(shù)類(lèi)型不當(dāng)而致錯(cuò)例1已知sin ，sin ，和都是銳角，求的值.錯(cuò)解因?yàn)楹投际卿J角，且sin ，sin ，所以cos ，cos ，sin()sin cos cos sin .因?yàn)?，則(0，).所以或.剖析由sin ，sin ，和都是銳角，可以知道和都是定值，因此也是定值，因此上述解法出現(xiàn)兩個(gè)答案，其中就有一個(gè)是錯(cuò)誤的.這是因?yàn)閟in()在第一、第二象限沒(méi)有區(qū)分度，應(yīng)選擇計(jì)算cos()的值.正解因?yàn)楹投际卿J角，且sin ，sin ，所以cos ，cos ，cos()cos cos sin sin .因?yàn)?，則(0，)，所以.溫馨點(diǎn)評(píng)根據(jù)條件求角，主要有兩步：(1)求角的某種三角函數(shù)值；(2)確定角的范圍，從而確定所求角的值.完成第一步一般要選擇相對(duì)角的范圍區(qū)分度比較大的三角函數(shù)，且確定范圍要盡量縮小.二、忽視條件中隱含的角的范圍而致錯(cuò)例2已知tan26tan 70，tan26tan 70，、(0，)，且，求的值.錯(cuò)解由題意知tan 、tan 是方程x26x70的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得：tan()1.0，0，02，或.剖析由知tan 0，tan 0.角、都是鈍角.上述解法忽視了這一隱含條件.正解由易知tan 0，tan 0.、(0，)，.0，B，且sin B.由sin A，得cos A，當(dāng)cos A時(shí)，cos A.sin B，B，B.故當(dāng)cos A時(shí)，AB，與A、B是ABC的內(nèi)角矛盾.cos A，cos Ccos(AB)sin Asin Bcos Acos B.溫馨點(diǎn)評(píng)涉及三角形中的內(nèi)角問(wèn)題時(shí)，一定要注意內(nèi)角和ABC180這一隱含條件.尤其是由內(nèi)角正弦值確定角的大小時(shí)，要防止增解出現(xiàn).四、忽略三角函數(shù)的定義域而致錯(cuò)例4判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.錯(cuò)解f(x)tan ，由此得f(x)tantan f(x)，因此函數(shù)f(x)為奇函數(shù).剖析運(yùn)用公式后所得函數(shù)f(x)tan 的定義域?yàn)?兩函數(shù)的定義域不同，變形后的函數(shù)定義域擴(kuò)大致錯(cuò).正解事實(shí)上，由1sin xcos x0可得sin xcos x1，即sin1，從而sin，所以x2k且x2k(kZ)，故函數(shù)f(x)的定義域是，顯然該定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).因此，函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù).溫馨點(diǎn)評(píng)判斷函數(shù)的奇偶性，首先要看定義域，若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù).上述解法正是由于忽視了對(duì)函數(shù)定義域這一隱含條件的考慮致錯(cuò).五、誤用公式asin xbcos xsin(x)而致錯(cuò)例5若函數(shù)f(x)sin(x)cos(x)，xR是偶函數(shù)，求的值.錯(cuò)解f(x)sin(x)cos(x)，f(0)sin cos sin.f(x)sin(x)cos(x)是偶函數(shù).|f(0)|f(x)max.f(0)sin，sin1，k，kZ.即k，kZ.剖析x與x是不同的角.函數(shù)f(x)的最大值不是，上述解答把f(x)的最大值誤當(dāng)作來(lái)處理.正解f(x)sin(x)cos(x)是偶函數(shù).f(x)f(x)對(duì)一切xR恒成立.即sin(x)cos(x)sin(x)cos(x)恒成立.sin(x)sin(x)cos(x)cos(x)0.2sin xcos 2sin xsin 0恒成立.即2sin x(cos sin )0恒成立.cos sin 0.cos sin sin0.k，即k，kZ.溫馨點(diǎn)評(píng)注意公式asin xbcos x的左端是同角x.當(dāng)三角函數(shù)式不符合這一特征時(shí)，不能使用該公式.例如：函數(shù)f(x)sin(x)r(3)cos(x)(xR)的最大值不是2.6平面向量與三角函數(shù)的交匯題型大全平面向量與三角函數(shù)的交匯是當(dāng)今高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，這是因?yàn)榇祟?lèi)試題既新穎而精巧，又符合在知識(shí)的“交匯處”構(gòu)題的命題思想.這類(lèi)試題解答的關(guān)鍵是利用向量的平行、垂直、夾角、模、數(shù)量積公式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題，然后聯(lián)想相關(guān)的三角函數(shù)知識(shí)求解.一、平面向量平行與三角函數(shù)交匯例1 已知a(2cos x2sin x，1)，b(y，cos x)，且ab.若f(x)是y關(guān)于x的函數(shù)，則f(x)的最小正周期為_(kāi).解析由ab得2cos2x2sin xcos xy0，即y2cos2x2sin xcos xcos 2xsin 2x12sin(2x)1，所以f(x)2sin(2x)1，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T.答案點(diǎn)評(píng)解答平面向量平行與三角函數(shù)的交匯試題一般先用平面向量平行的條件求涉及到三角函數(shù)的解析式或某角的函數(shù)值，然后再利用三角知識(shí)求解.二、平面向量垂直與三角函數(shù)交匯例2 已知向量a(4，5cos )，b(3，4tan )，(0，)，若ab，則cos(2)_.解析因?yàn)閍b，所以435cos (4tan )0，解得sin .又因?yàn)?0，)，所以cos .cos 212sin2，sin 22sin cos ，于是cos(2)cos 2cossin 2sin.答案點(diǎn)評(píng)解答平面向量垂直與三角函數(shù)的交匯試題通常先利用平面向量垂直的條件將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，再利用三角函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行處理.三、平面向量夾角與三角函數(shù)交匯例3 已知向量m(sin ，1cos )(0)與向量n(2，0)的夾角為，則_.解析由條件得|m|，|n|2，mn2sin ，于是由平面向量的夾角公式得cos ，整理得2cos2 cos 10，解得cos 或cos 1(舍去).因?yàn)?，所以.答案點(diǎn)評(píng)解答平面向量的夾角與三角函數(shù)的交匯試題主要利用平面向量的夾角公式建立某角的三角函數(shù)的方程或不等式，然后由三角函數(shù)的知識(shí)求解.四、平面向量的模與三角函數(shù)交匯例4 若向量a(cos ，sin )，b(，1)，則|2ab|的最大值為_(kāi).解析由條件可得|a|1，|b|2，abcos sin ，則|2ab|4，所以|2ab|的最大值為4.答案4點(diǎn)評(píng)解答平面向量的模與三角函數(shù)交匯的題目一般要用到向量的模的性質(zhì)|a|2a2.如果是求模的大小，則一般可直接求解；如果是求模的最值，則常常先建立模關(guān)于某角的三角函數(shù)，然后利用三角函數(shù)的有界性求解.五