2018版高中數(shù)學(xué)第三章不等式疑難規(guī)律方法學(xué)案蘇教版.doc

第三章 不等式1比較實(shí)數(shù)大小的方法實(shí)數(shù)比較大小是一種常見(jiàn)題型，解題思路較多，廣泛靈活多變，下面結(jié)合例子介紹幾種比較大小的方法供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考1利用作差法比較實(shí)數(shù)大小方法鏈接：作差比較法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小，步驟可按如下四步進(jìn)行，作差變形判斷差的符號(hào)得出結(jié)論比較法的關(guān)鍵在于變形，變形過(guò)程中，常用的方法為因式分解法和配方法例1已知abc，試比較a2bb2cc2a與ab2bc2ca2的大小解a2bb2cc2a(ab2bc2ca2)(a2bab2)(b2cbc2)(c2aca2)ab(ab)bc(bc)ca(ca)ab(ab)bc(ba)(ac)ca(ca)ab(ab)bc(ba)bc(ac)ca(ca)b(ab)(ac)c(ac)(ba)(ab)(ac)(bc)abc，ab0，ac0，bc0，(ab)(ac)(bc)0.a2bb2cc2ab1；abb1.a1；ab1.作商比較法的基本步驟：作商；變形；與1比較大小；下結(jié)論例2設(shè)a0，b0，且ab，試比較aabb，abba，(ab)三者的大小解aabbab.當(dāng)ab0時(shí)，1，ab0，0，01，aabb(ab).當(dāng)0ab時(shí)，01，ab0，01，aabb(ab).不論ab0還是0a(ab).同理：(ab)abba.綜上所述，aabb(ab)abba.3構(gòu)造中間值比較實(shí)數(shù)大小方法鏈接：由傳遞性知ab，bcac，所以當(dāng)兩個(gè)數(shù)直接比較不容易時(shí)，我們可以找一個(gè)適當(dāng)?shù)闹虚g值為媒介來(lái)間接地比較例3設(shè)alog3，blog2，clog3，則a、b、c的大小關(guān)系為_解析alog3log331，a1，blog2log23log241，b1，clog3log32b，ac.又blog2log23，bc，abc.答案abc4特殊值法比較實(shí)數(shù)大小方法鏈接：一些比較實(shí)數(shù)大小的客觀性題目，先通過(guò)恰當(dāng)?shù)剡x取符合題目要求的一組特例，從而確定出問(wèn)題的答案這種取特殊值法往往能避重就輕，避繁從簡(jiǎn)，快速獲得問(wèn)題的解一些解答題，也可以先通過(guò)特例為解答論證提供方向例4若0a1a2,0b1，最大的數(shù)應(yīng)是a1b1a2b2.(注：本題還可以利用作差法比較大小，此答從略)答案5利用函數(shù)單調(diào)性比較實(shí)數(shù)大小方法鏈接：有些代數(shù)式的大小比較很難直接利用不等式性質(zhì)完成，可以考慮構(gòu)建函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性加以判斷例5當(dāng)0ab(1a)b；(1a)a(1b)b；(1a)b(1a)；(1a)a(1b)b.解析對(duì)于，0abb，(1a)(1a)b，錯(cuò)誤；對(duì)于，函數(shù)y(1a)x為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，(1a)a(1a)b，又函數(shù)yxb在(0，)上為單調(diào)遞增函數(shù)，(1a)b(1b)b，從而(1a)a，(1a)b(1a)，錯(cuò)誤；對(duì)于，函數(shù)y(1a)x為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，且a(1a)b，又函數(shù)yxb為(0，)上的單調(diào)遞增函數(shù)，且1a1b0，從而(1a)b(1b)b，(1a)a(1b)b，正確答案6借助函數(shù)的圖象比較實(shí)數(shù)大小方法鏈接：借助函數(shù)的圖象比較實(shí)數(shù)大小，要從題目的條件與結(jié)論出發(fā)，著重分析其幾何含義，善于構(gòu)造函數(shù)圖象，從圖象上找出問(wèn)題的結(jié)論例6設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且2aloga，blogb，clog2c，則a、b、c的大小關(guān)系為_解析由函數(shù)y2x，yx，ylog2x，ylogx的圖象(如圖所示)知0ab1c.答案ab0，方程x22x80有兩個(gè)根x12，x24.我們對(duì)此法熟練時(shí)，可將“二看”歸納為(x2)(x4)0.三看：口訣“大于取兩邊，小于取中間”“大于取兩邊”指“一看”中轉(zhuǎn)化后的不等式符號(hào)為大于時(shí)，其解集取根的兩邊：有兩不等實(shí)根x1，x2(x1x2)，其解集為x|xx1或xx2)，其解集為x|x2xx1；有兩相等實(shí)根或沒(méi)有實(shí)根，其解集為.如上例的解集為x|4x2例解不等式x23x20，(一看)所以(x4)(x1)0，(二看)故不等式的解集是x|x4或x0(aR)解對(duì)于方程x2ax10，a24.(1)當(dāng)0，即a2或a2時(shí)，方程x2ax10有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，且x1x2，所以原不等式的解集為；(2)當(dāng)0，即a2時(shí)，若a2，則原不等式的解集為x|x1；若a2，則原不等式的解集為x|x1；(3)當(dāng)0，即2a0(aR，且a0)解原不等式可變形為(xa)0，易求得方程(xa)0的兩個(gè)解分別為x1a和x2，所以(1)當(dāng)a，即a(1,0)(1，)時(shí)，原不等式的解集為x|xa；(2)當(dāng)a，即a1時(shí)，若a1，則原不等式的解集為x|x1；若a1，則原不等式的解集為x|x1；(3)當(dāng)a，即a(，1)(0,1)時(shí)， 原不等式的解集為x|x3對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論當(dāng)含參數(shù)的不等式的二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)時(shí)，首先要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論；其次，有時(shí)要對(duì)判別式進(jìn)行討論，有時(shí)還要對(duì)方程的解的大小進(jìn)行討論例3解關(guān)于x的不等式ax222xax(aR)解原不等式可變形為ax2(a2)x20.(1)當(dāng)a0時(shí)，原不等式的解集為x|x1；(2)當(dāng)a0時(shí)，原不等式可變形為(ax2)(x1)0，方程(ax2)(x1)0的解為x1，x21.當(dāng)a0時(shí)，1，所以原不等式的解集為x|x或x1；當(dāng)a0時(shí)，a當(dāng)2a0時(shí)，1，所以原不等式的解集為x|x1；b當(dāng)a2時(shí)，原不等式的解集為x|x1；c當(dāng)a1，所以原不等式的解集為x|1x綜上：當(dāng)a0時(shí)，原不等式的解集為x|x1；當(dāng)a0時(shí)，原不等式的解集為x|x或x1；當(dāng)2a0時(shí)，原不等式的解集為x|x1；當(dāng)a2時(shí)，原不等式的解集為x|x1；當(dāng)a2時(shí)，原不等式的解集為x|1x4對(duì)含參的分式不等式轉(zhuǎn)化后再討論對(duì)含有參數(shù)的分式不等式，利用不等式的同解原理等價(jià)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式的形式后，再按照上面的方法分類討論，逐類求解例4解不等式：0(x2)(kx3k2)0，當(dāng)k0時(shí)，原不等式的解集為x|x2；當(dāng)k0時(shí)，(kx3k2)(x2)0，變形為(x2)0，因?yàn)?32，所以2.所以x2.故不等式的解集為x|x2或x當(dāng)k0時(shí)，原不等式(x2)0，由于(2).所以當(dāng)2k0時(shí)，0，2，不等式的解集為x|2x；當(dāng)k2時(shí)，2，原不等式(x2)20，不等式的解集為；當(dāng)k0，2.不等式的解集為x|x2；當(dāng)k0時(shí)，不等式的解集為x|x2；當(dāng)2k0時(shí)，不等式的解集為x|2x；當(dāng)k2時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)k2時(shí)，不等式的解集為x|x0的等價(jià)條件是或例1已知不等式2對(duì)任意xR恒成立，求k的取值范圍解x2x220.原不等式等價(jià)于kx2kx62x22x4，即(k2)x2(k2)x20.當(dāng)k2時(shí)，20，結(jié)論顯然成立；當(dāng)k2時(shí)，k滿足不等式組解得2k10.綜上所述，k的取值范圍是2k0對(duì)一切xR恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解設(shè)f(x)sin2x2asin xa22a2，則f(x)(sin xa)222a.當(dāng)a0顯然成立，a0，解得a1，1a1，1a1時(shí)，f(x)在sin x1時(shí)取到最小值，且f(x)mina24a3，由a24a30，解得a3，a1，a3.綜上所述，a的取值范圍為(，1)(3，)3利用直線型函數(shù)圖象的保號(hào)性求解函數(shù)f(x)kxb，x，的圖象是一條線段，此線段恒在x軸上方的等價(jià)條件是；此線段恒在x軸下方的等價(jià)條件是；此線段與x軸有交點(diǎn)的等價(jià)條件是f()f()0.例3已知當(dāng)x0,1時(shí)，不等式2m10，x0,1恒成立ma恒成立，求a的取值范圍解不等式f(x)ax2ax3ax23a(1x)，x1,11x1，01x2.當(dāng)x1時(shí)，1x0，x23a(1x)對(duì)一切aR恒成立；當(dāng)x1時(shí)，01x2，則a.(1x)22 22.當(dāng)且僅當(dāng)1x，即x1時(shí)，取到等號(hào)min2.從而a0，a1)的圖象過(guò)區(qū)域M的a的取值范圍是_解析作二元一次不等式組的可行域如圖所示，由題意得A(1,9)，C(3,8)當(dāng)yax過(guò)A(1,9)時(shí)，a取最大值，此時(shí)a9；當(dāng)yax過(guò)C(3,8)時(shí)，a取最小值，此時(shí)a2，2a9.答案2,9點(diǎn)評(píng)準(zhǔn)確作出可行域，熟知指數(shù)函數(shù)yax的圖象特征是解決本題的關(guān)鍵2線性規(guī)劃與概率交匯例2兩人約定下午4點(diǎn)到5點(diǎn)在某一公園見(jiàn)面，他們事先約定先到者等候另一個(gè)人20分鐘，過(guò)時(shí)就離去請(qǐng)問(wèn)這兩個(gè)人能見(jiàn)面的概率有多大？解用x、y分別表示兩人到公園的時(shí)間，若兩人能見(jiàn)面，則有|xy|20，又0x60,0y60，即有作出點(diǎn)(x，y)的可行域如圖中陰影部分，由圖知，兩人能見(jiàn)面的概率為陰影部分的面積與大正方形的面積之比，所以所求概率為P.點(diǎn)評(píng)這是一道幾何概型的題目，關(guān)鍵在于確定兩人能見(jiàn)面的時(shí)間區(qū)域，利用線性規(guī)劃的思想簡(jiǎn)潔、直觀、明了3線性規(guī)劃與一元二次方程交匯例3已知方程x2(2a)x1ab0的兩根為x1、x2，且0x11x2，則的取值范圍是_解析令f(x)x2(2a)x1ab，并且0x11x2，則由題意知函數(shù)f(x)在(0,1)及(1，)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，得即作出可行域，如圖所示而令k，則表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率設(shè)M(x0，y0)，則由得M(3,2)，kOM，結(jié)合圖可知2k0)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解設(shè)A(x，y)|，B(x，y)|x2y2m2(m0)，則集合A表示的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，集合B表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，m為半徑的圓及其內(nèi)部，由AB，得mPO，由，解得，即P(3,4)，PO5，即m5.點(diǎn)評(píng)集合(x，y)|x2y2m2(m0)的幾何含義是以原點(diǎn)(0,0)為圓心，m為半徑的圓及其內(nèi)部區(qū)域5線性規(guī)劃與平面向量交匯例5已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)A(3,4)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足約束條件，則向量在上的投影的取值范圍是_解析畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，向量在向量上的投影為|cosAOP|，令z3x4y，易知直線3x4yz過(guò)點(diǎn)G(1,0)時(shí)，zmin3；直線3x4yz過(guò)點(diǎn)N(1,2)時(shí)，zmax11.min，max.答案點(diǎn)評(píng)向量在上的投影：|cos，|.清楚這一點(diǎn)對(duì)解答本題至關(guān)重要8a2b22ab的四“變”如果a，bR，那么a2b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立)該結(jié)論利用作差法極易證明下面給出其四個(gè)重要的變式及應(yīng)用變式1如果a，b是正數(shù)，那么(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立)證明見(jiàn)教材證明例1若實(shí)數(shù)a，b滿足ab2，則3a3b的最小值是_解析3a3b2226.當(dāng)且僅當(dāng)ab1時(shí)，等號(hào)成立答案6變式2如果a，bR，那么a2b22|ab|(當(dāng)且僅當(dāng)|a|b|時(shí)，等號(hào)成立)證明因?yàn)閍2b2|a|2|b|22|a|b|2|ab|，所以a2b22|ab|，當(dāng)且僅當(dāng)|a|b|時(shí)，等號(hào)成立例2若實(shí)數(shù)x，y滿足4x25xy4y25，設(shè)Sx2y2，則_.解析由x2y22|xy|，得xy，則5xy，當(dāng)且僅當(dāng)|x|y|時(shí)，等號(hào)成立則4x25xy4y2，即S5S，所以S，于是Smax，Smin，故.答案變式3若a，bR，那么(ab)24ab(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立)證明因?yàn)閍2b22ab，所以a2b22ab4ab，即(ab)24ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立例3若正數(shù)a，b滿足ab8ab，則ab的最小值為_解析由條件，得ab8ab0，則(ab)216ab64(ab)2，又因?yàn)?ab)24ab，則(ab)220ab640，又ab8，解得ab16，當(dāng)且僅當(dāng)ab4時(shí)，等號(hào)成立，所以ab的最小值為16.答案16變式4若a，bR，則a2b2(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立)證明a2b20，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立，所以a2b2.例4若a，b，c是正實(shí)數(shù)，且abc1，則的最小值是_解析由變式4，得(ab)，(bc)，(ca)，所以(abbcca)2.當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立故最小值為.答案9運(yùn)用基本不等式求最值的7種常見(jiàn)技巧在利用基本不等式求最大值或最小值時(shí)，為滿足“一正、二定、三相等”的條件，需要作一些適當(dāng)?shù)淖冃?，用到一些變換的技巧，下面舉例說(shuō)明1湊和為定值例1若a、b、c0，且2abc，則a(abc)bc的最大值為_分析注意a(abc)bc(ab)(ac)，而2abc(ab)(ac)，從而溝通了問(wèn)題與已知的聯(lián)系，然后利用基本不等式求最值解析a(abc)bca2abacbc(a2ac)(abbc)a(ac)b(ac)(ab)(ac)222.當(dāng)且僅當(dāng)abac時(shí)，取“”，a(abc)bc的最大值為.答案2湊積為定值例2設(shè)abc0，則2a210ac25c2的最小值是_分析注意到2a210ac25c2a2ababa210ac25c2(a5c)2然后分別利用基本不等式和平方數(shù)的性質(zhì)求最值由于代數(shù)式比較復(fù)雜，要注意等號(hào)取到的條件解析abc0，原式a210ac25c2a2a2abab(a5c)22204，當(dāng)且僅當(dāng)a(ab)1，ab1，a5c0時(shí)取等號(hào)即當(dāng)a，b，c時(shí)，所求代數(shù)式的最小值為4.答案43化負(fù)為正例3已知x，求函數(shù)y4x2的最大值分析因?yàn)?x50，所以要先“調(diào)整”符號(hào)，又(4x2)不是常數(shù)，所以對(duì)4x2要添項(xiàng)“配湊”解x0，y4x23231，當(dāng)且僅當(dāng)54x，即x1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x1時(shí)，ymax1.4和積互“化”例4若正實(shí)數(shù)x，y滿足2xy6xy，則2xy的最小值是_分析可以利用基本不等式的變形形式ab2進(jìn)行和或積的代換，這種代換目的是消除等式兩端的差異，屬不等量代換，帶有放縮的性質(zhì)解析方法一x0，y0，xy(2x)y2，2xy6(2xy)6(2xy)2，(2xy)28(2xy)480，令2xyt，t0，則t28t480，(t12)(t4)0，t12，即2xy12.方法二由x0，y0,2xy6xy，得xy26(當(dāng)且僅當(dāng)2xy時(shí)，取“”)，即()2260，(3)()0.又0，3，即xy18.xy的最小值為18，2xyxy6，2xy的最小值為12.答案125消元法例5若正實(shí)數(shù)a，b滿足abab3，則ab的最小值為_分析從abab3中解出b，即用a的代數(shù)式表示b，則ab可以用a來(lái)表示，再求關(guān)于a的代數(shù)式的最值即可解析abab3，b(a1)a3.a0，b0，a10，a1.b.aba(a1)5.a1，a12 4，當(dāng)且僅當(dāng)a1，即a3時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)b3，ab9.ab的最小值為9.答案