§P155.3正定二次型與對稱正定矩陣.ppt

1,5.3.1、正(負(fù))定二次型的概念,5.3 正定二次型與對稱正定矩陣,由定義可知，正定矩陣必是半正定矩陣，但是半正定矩陣不一定是正定矩陣。,2,為正定二次型,為負(fù)定二次型,例如,一個二次型既不是半正定的，也不是半負(fù)正定的，則稱是不定的二次型。,為半正定二次型。,為半負(fù)定二次型。,為不定二次型。,3,定理1 非退化線性變換不改變二次型的正定性，,證明：設(shè)A是正定的，,與定理1等價的有 定理2 合同變換不改變對稱矩陣的正定性，,4,5.3.2、正(負(fù))定二次型的判別,定理3 設(shè)n元實二次型,的秩為r，正慣性指標(biāo)為p, 負(fù)慣性指標(biāo)為q，則二次型為 (1) 正定的充要條件是p=n, (2) 負(fù)定的充要條件是q=n, (3) 不定的充要條件是0prn, 0q,5,定理4 設(shè)A是n階對稱矩陣，則有 (1) A是正定的充要條件是A的特征值全是正數(shù)。 (2) A是正定的充要條件是A與單位陣合同，,(3) A是正定的，則|A|0,6,定理5 對稱矩陣A為正定的充分必要條件是：A的各階主子式為正，即,對稱矩陣A 為負(fù)定的充分必要條件是：奇數(shù)階主子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正，即,7,設(shè)二次型,是正定的，對每個k，1kn,令,證明 必要性：,8,定理6 設(shè)B是mn矩陣，則BTB是對稱半正定矩陣。如果B的秩是n，那末BTB還是正定矩陣。,如果B的秩是n，即B的列向量線性無關(guān)，因此當(dāng)X0時，必定有Y=BX0，從而有,所以這時BTB是正定矩陣。,證明：由(BTB)T=BT(BT)T=BTB,可見BTB是對稱矩陣。,所以BTB是半正定矩陣。,9,正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì),10,解,它的順序主子式,故上述二次型是正定的.,11,解,二次型的矩陣為,用特征值判別法.,故此二次型為正定二次型.,即知 是正定矩陣，,12,解,13,例4 設(shè)矩陣,判斷矩陣A是否為正定，是否為負(fù)定?,解 取向量,14,所以A不是正定的。,15,例5 判別二次型,解 二次型的對應(yīng)矩陣為,的正定性.,16,A和2A具有相同的正定性，故判定2A的正定性即可。,17,2A的全部順序主子式都大于0. A正定，f正定.,18,例6 判斷n階(n2)矩陣A是否是正定陣.,19,解法1 順序主子式：,正定,20,解法2 求A的特征值.,得A的特征值為,全大于零. 故A正定.,解法3 見p233例5.3.2,21,例7 設(shè)A,B是n階實對稱陣，其中A正定, 試證當(dāng)實數(shù)t充分大時，tA+B也正定.,仍是對稱陣，故存在正交陣R，,證 由A正定，存在可逆陣Q使A=QTQ， 即(QT)-1 AQ-1= (Q-1)T AQ-1=E， 令P=Q-1，則有PTAP=E.,22,使,23,24,25,2. 正定二次型（正定矩陣）的判別方法：,(1)定義法；,(2)順次主子式判別法；,(3)特征值判別法.,5.3.4、小結(jié),1. 正定二次型