離散信號與系統(tǒng)的時(shí)域分析.ppt

第 5 章 離散信號與系統(tǒng)的時(shí)域分析,5.0 引 言 5.1 離散時(shí)間基本信號 5.2 卷積和 5.3 離散系統(tǒng)的算子方程 5.4 離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 5.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 5.6 系統(tǒng)差分方程的經(jīng)典解法,5.0 引 言,在前面幾章的討論中，所涉及的系統(tǒng)均屬連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，這類系統(tǒng)用于傳輸和處理連 續(xù)時(shí)間信號。此外，還有一類用于傳輸和處理離散時(shí)間信號的系統(tǒng)稱為離散 時(shí)間系統(tǒng)， 簡稱離散系統(tǒng)。數(shù)字計(jì)算機(jī)是典型的離散系統(tǒng)例子，數(shù)據(jù)控制系統(tǒng)和數(shù)字通信系統(tǒng)的核心組成部分也都是離散系統(tǒng)。 鑒于離散系統(tǒng)在精度、可靠性、可集成化等方面，比連續(xù)系統(tǒng)具有更大的優(yōu)越性，因此，近幾十年來，離散 系統(tǒng)的理論研究發(fā)展迅速，應(yīng)用范圍也日益擴(kuò)大。在實(shí)際工作中，人們根據(jù)需要往往把 連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)組合起來使用，這種系統(tǒng)稱為混合系統(tǒng)。,5.1 離散時(shí)間基本信號,5.1.1 離散時(shí)間信號,連續(xù)時(shí)間信號，在數(shù)學(xué)上可以表示為連續(xù)時(shí)間變量t的函數(shù)。這類信號 的特點(diǎn)是：在時(shí)間定義域內(nèi)，除有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)外， 對任一給定時(shí)刻都對應(yīng)有確定的信號值。 離散時(shí)間信號，簡稱離散信號，它是離散時(shí)間變量tk(k=0,1, 2, )的函數(shù)。信號僅在規(guī)定的離散時(shí)間點(diǎn)上有意義，而在其它時(shí)間則沒有定義，如圖 5.1-1(a)所 示。鑒于tk按一定順序變化時(shí)，其相應(yīng)的信號值組成一個(gè)數(shù)值序列，通常把離散時(shí)間信號定義為如下有序信號值的集合： fk=f(tk) k=0, 1, 2, (5.1-1) 式中，k為整數(shù)，表示信號值在序列中出現(xiàn)的序號。,圖 5.1 1 離散時(shí)間信號,式(5.1-1)中tk和tk-1之間的間隔(tk-tk-1)可以是常數(shù)，也可以隨k變化。在實(shí)際應(yīng)用中，一般取為常數(shù)。例如，對連續(xù)時(shí)間信號均勻取樣后得到的離散時(shí)間信號便是如此。對于這類離散時(shí)間信號，若令tk-tk-1=T，則信號僅在均勻時(shí)刻t=kT(k=0,1,2,)上取值。此時(shí)，式(5.1 - 1)中的f(tk)可以改寫為f(kT)，信號圖形如圖 5.1-1(b)所示。 為了簡便，我們用序列值的通項(xiàng)f(kT)表示集合f(kT)，并將常數(shù)T省略，則式(5.1-1)可簡寫為 fk=f(k) k=0, 1, 2, (5.1-2),工程應(yīng)用中，常將定義在等間隔離散時(shí)刻點(diǎn)上的離散時(shí)間信號稱為離散時(shí)間序列 ，簡稱序列。,5.1.2 離散時(shí)間基本信號,1. 單位脈沖序列 單位脈沖序列定義為,圖 5.1 2 單位脈沖序列,位移單位脈沖序列,或,圖5.1-3 移位單位脈沖序列,2. 正弦序列,正弦序列的一般形式為,由于,式中，m、N均為整數(shù)。式(5.1-5)表明，只有當(dāng) 為整數(shù)，或者,為有理數(shù)時(shí)，正弦序列才是周期序列；否則為非周期序列。,(5.1 - 6),當(dāng)正弦序列是通過抽取連續(xù)時(shí)間正弦信號的樣本獲得時(shí)， 如果假設(shè)正弦信號 的周期為T0，取樣間隔為Ts，那么，經(jīng)過抽樣得到的正弦序列可表示為,式中， ， 將它代入式(5.1 - 6)可 得,對于連續(xù)時(shí)間正弦信號 , 按幾種不同間隔Ts抽樣得到的正弦序列示于圖 5.1-4 中。當(dāng) 時(shí)，有 此時(shí)， ， 是一個(gè)周期為 16 的周期性正弦序列，其 圖形如圖 5.1-4(a)所示。當(dāng) ，可得到如圖 5.1 - 4(b)所示的序列，其 ，是一個(gè)周期為23 的周期性正弦序列 ；當(dāng) ，序列圖形如圖5.1 - 4(c)所示，其 ，由于 ,是一無理數(shù)，故f(k)是一非周期正弦序列，值得注意的是此時(shí)它的包絡(luò)函數(shù)f(t)仍具有周期性。,圖 5.14 正弦序列,3. 指數(shù)序列,指數(shù)序列的一般形式為,(1)若A和 均為實(shí)數(shù)，且設(shè) 則 為實(shí)指數(shù)序列。 當(dāng)1時(shí)，f(k)隨k單調(diào)指數(shù)增長。當(dāng)0a 1時(shí)，f(k)隨k單調(diào)指數(shù)衰減； 當(dāng)-1時(shí)，f(k)的絕對值隨k按指數(shù)規(guī)律增長。 當(dāng)-1a0時(shí)，f(k)絕對值隨k按指數(shù) 規(guī)律衰減。 且兩者的序列值符號呈現(xiàn)正、負(fù)交替變化； 當(dāng)a=1時(shí)，f(k)為常數(shù)序列。當(dāng)a=-1時(shí)，f(k)符號也呈現(xiàn)正、 負(fù)交替變化。,圖 5.1 5 實(shí)指數(shù)序列,(2) 若A=1，=j0，則,是虛指數(shù)序列。 我們已經(jīng)知道，連續(xù)時(shí)間虛指數(shù)信號e j0t是周期信號。然而，離散 時(shí)間虛指數(shù)序列ej0k則只有滿足一定條件時(shí)才是周期的， 否則是非周 期的。根據(jù)歐拉公式，式(5.1 - 9)可寫成,可見，e j0k的實(shí)部和虛部都是正弦序列，只有其實(shí)部和虛部同時(shí)為周 期序列時(shí)，才能保證ej0k是周期的。,(3) 若A和均為復(fù)數(shù)，則f(k)=Aek為一般形式的復(fù)指數(shù)序列 。 設(shè)復(fù)數(shù)A=|A|ej, =+j0，并記e=r， 則有,可見，復(fù)指數(shù)序列f(k)的實(shí)部和虛部均為幅值按指數(shù)規(guī)律變化的正弦序列。,圖 5.1 6 復(fù)指數(shù)序列,4. Z序列 Z序列的一般形式為,根據(jù)歐拉公式， 還可寫成,5.2 卷 積 和,5.2.1 卷積和的定義,定義兩個(gè)連續(xù)時(shí)間信號f1(t)和f2(t)的卷積運(yùn)算為,同樣地， 我們定義,為序列f1(k)和f2(k)的卷積和運(yùn)算，簡稱卷積和 ( Convolution Sum)。,(5.2 - 2),如果f1(k)為因果序列，由于k0時(shí)，f1(k)=0，故式(5.2 - 2)中求和下限可 改寫為零，即,如果f2(k)為因果序列，而f1(k)不受限制，那么式(5.2 - 2)中，當(dāng)(k-i) 0，即ik時(shí)，f2(k-i)=0, 因而和式的上限可改寫為k，也就是,如果f1(k)和f2(k)均為因果序列， 則有,(5.2 - 5),考慮到f1(k)、f2(k)均為因果序列，根據(jù)式(5.2 - 5)，可將上式表示為,例 5.2 1 設(shè)f1(k)=e-k( k)，f2(k)=(k), 求f1(k)*f2(k)。,解 由卷積和定義式(5.2 - 2)得,顯然，上式中k0，故應(yīng)寫為,與卷積運(yùn)算一樣，用圖解法求兩序列的卷積和運(yùn)算也包括信號的翻轉(zhuǎn)、平移、相乘 、求和等四個(gè)基本步驟。,例 5.2 2 已知離散信號,求卷積和f1(k)*f2(k)。,解 記卷積和運(yùn)算結(jié)果為f(k)，由式(5.2 - 2)得,第一步，畫出f1(i)、f2(i)圖形，分別如圖 5.2 - 1(a)、 (b)所示。 第二步，將f2(i)圖形以縱坐標(biāo)為軸線翻轉(zhuǎn) 180，得到f2(-i)圖形，如圖 5.2 - 1(c)所示。 第三步，將f2(-i)圖形沿i軸左移(k0)或右移(k0)|k|個(gè)時(shí)間單位，得到f2(k-i) 圖形。例如，當(dāng)k=-1和k=1時(shí)，f2(k-i)圖形分別如圖 5.2 - 1(d)、 (e)所示。,第四步，對任一給定值k，按式(5.2 - 6)進(jìn)行相乘、求和運(yùn)算，得到序號為k的卷 積 和序列值f(k)。若令k由-至變化，f2(k-i)圖形將從-處開始沿i軸自左向右移動 ，并由式(5.2 - 6)計(jì)算求得卷積和序列f(k)。對于本例中給定的f1(k)和f2(k) ，具體計(jì)算過程如下：,于是，其卷積和為,對于兩個(gè)有限長序列的卷積和計(jì)算， 可以采用下面介紹的更為簡便實(shí)用的方法計(jì)算。 這種 方法不需要畫出序列圖形， 只要把兩個(gè)序列排成兩行，按普通乘法運(yùn)算進(jìn)行相乘， 但中 間結(jié)果不進(jìn)位，最后將位于同一列的中間結(jié)果相加得到卷積和序列。 例如，對于例5. 2 - 2 中給定的f1(k)和f2(k)，為了方便，將f2(k)寫在第一行， f1( k)寫在第二行， 經(jīng)序列值相乘和中間結(jié)果相加運(yùn)算后得到,圖5.2-1 卷積和計(jì)算,5.2.2 卷積和的性質(zhì),性質(zhì)1 離散信號的卷積和運(yùn)算服從交換律、結(jié)合律和分配律，即,性質(zhì) 2 任一序列f(k)與單位脈沖序列(k)的卷 積和等于序列f(k)本身， 即,性質(zhì) 3 若f1(k)*f2(k)=f(k)，則,式中k1 , k2均為整數(shù)。,例 5.2-3 已知序列x(k)=(3)-k(k) ，y(k)=1, -k, 試驗(yàn)證x(k)和y(k)的卷積和運(yùn)算滿足交換律，即,解 先計(jì)算x(k)*y(k)，考慮到x(k)是因果序列，根據(jù)式(5.2-3)，有,再計(jì)算y(k)*x(k)，同樣考慮到x(k)是因果序列，可得,求解過程中對k沒有限制，故上式可寫為 x(k)*y(k)=y(k)*x(k)=1.5 -k 可見，x(k)*y(k)運(yùn)算滿足交換律。,所以,例 5.2-4 已知序列f1(k)=2-(k+1) (k+1)和f2(k)=(k-2)，試計(jì)算卷積和f1(k)*f2(k)。 解 用下面兩種方法計(jì)算。 方法一：圖解法。將序列f1(k), f2(k)的自變量換為i，畫出f 1(i)和f2(i)的圖形如圖 5.2-2(a), (b)所示。 將f2(i)圖形翻轉(zhuǎn) 180后，得f2(-i)，如圖5.2-2(c)所示。 當(dāng)k1時(shí)，由圖 5.2-2(d)可知，其乘積項(xiàng)f1(i)f2(k-i)為零，故f1(k)*f2(k)=0。,圖 5.2-2,當(dāng)k1時(shí)，按卷積和定義，參見圖 5.2-2(e)，可得,于是,故有,方法二： 應(yīng)用卷積和性質(zhì) 3。 先計(jì)算,上式中k0， 故有,再應(yīng)用卷積和性質(zhì) 3，求得,5.2.3 常用序列的卷積和公式,表 5.1 常用序列的卷積和公式,5.3 離散系統(tǒng)的算子方程,5.3.1 LTI離散時(shí)間系統(tǒng),圖 5.3-1 離散系統(tǒng)的輸入輸出模型,離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量。離散時(shí)間系統(tǒng)在k0時(shí)刻的狀態(tài)是指 滿足如下條件的數(shù)目最少的一組數(shù)據(jù)x1(k0), x2(k0), , xn(k0)。 這組 數(shù)據(jù)連同k0k上的輸入f(k)就可以惟一地確定k時(shí)刻的輸出y(k)，而不需具體知道k 0以前的輸入情況。n稱為離散系統(tǒng)的階數(shù)。 在實(shí)際工作過程中，系統(tǒng)的狀態(tài)x1(k0), x2(k0), , xn(k0)隨k0不同 而變化，我們把描述系統(tǒng)狀態(tài)變化的變量稱作狀態(tài)變量， 它是一組序 列信號，記為x1(k), x2(k), , xn(k)。,離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和完全響應(yīng)。設(shè)k0為初始觀察 時(shí)刻，則可將系統(tǒng)的輸入?yún)^(qū)分為兩部分，稱k0以前的輸入為歷史輸入信號，稱k0及k0以后的輸入為當(dāng)前輸入信號或簡稱輸入信號。我們將僅由k0時(shí)刻的初始狀態(tài)或歷史輸入信號引起的響應(yīng)稱作零輸入響應(yīng)，記為yx(k)；僅由當(dāng)前輸入信號引起的響應(yīng)稱作零狀態(tài)響應(yīng)，記為yf(k)。而將零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)之和 稱作系統(tǒng)的完全響應(yīng)，記為y(k)。,離散時(shí)間系統(tǒng)的齊次性、疊加性和線性特性。設(shè)離散系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為 f(k) y(k) 所謂齊次性是指對于任意常數(shù)a、 輸入f(k)和輸出y(k)，恒有 af(k) ay(k) (5.3-3) 所謂疊加性是指對于輸入f1(k)、f2(k)和輸出y(k)，若設(shè) f1(k)y1(k)，f2(k) y2( k)，則恒有 f1(k), f2(k) y1(k)+y2(k) (5.3- 4) 式中，f1(k), f2(k)表示f1(k)和f2(k)同時(shí)作為系統(tǒng)的輸入。,齊次性和疊加性統(tǒng)稱為線性特性。 對于任意常數(shù)a和b，輸入f1(k)和 f2(k)共同作用時(shí)，系統(tǒng)的線性特性可表示為 af1(k), bf2(k) ay1(k)+by2(k) (5.3 - 5) 它同時(shí)體現(xiàn)了式(5.3-3)的齊次性和式(5.3-4)的疊加性。 線性離散時(shí)間系統(tǒng)和非線性離散時(shí)間系統(tǒng)。 若離散時(shí)間系統(tǒng)的響應(yīng)可 分 解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)兩部分， 且零輸入響應(yīng)與初始狀態(tài)或歷史輸入信號、 零狀態(tài) 響應(yīng)與當(dāng)前輸入信號之間分別滿足齊次性和疊加性，則稱該系統(tǒng)為線性離散時(shí)間 系統(tǒng)，否則稱為非線性離散時(shí)間系統(tǒng)。,時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)和時(shí)變離散時(shí)間系統(tǒng)。 設(shè)離散時(shí)間系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為,若對于任意整數(shù)k0， 恒有,則稱該系統(tǒng)為時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)，否則稱為時(shí)變離散時(shí)間系 統(tǒng)。 因果離散時(shí)間系統(tǒng)和非因果離散時(shí)間系統(tǒng)。 如果系統(tǒng)始終不會在 輸入加入之前產(chǎn)生響應(yīng)， 這種系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)， 否則稱為非因果系統(tǒng)。,例如，有三個(gè)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系如下： 系統(tǒng) 1 y(k)=kf(k) 系統(tǒng) 2 y(k)=|f(k)| 系統(tǒng) 3 y(k)=2f(k)+3f(k-1) 根據(jù)定義容易驗(yàn)證： 系統(tǒng) 1 是線性時(shí)變離散時(shí)間系統(tǒng)， 系統(tǒng) 2 是非線性時(shí)不變離散時(shí)間 系統(tǒng)， 而系統(tǒng) 3 是線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)。,根據(jù)第 1 章討論結(jié)果，一個(gè)n階線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)，若其輸入為f(k)，全響應(yīng)為y (k)，那么，描述該系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是n階線性常系數(shù)差分方程，它可以表 示為,式中，ai(i=0, 1, , n-1)，bj(j=0, 1, , m)均為常數(shù)。,(5.3-7),5.3.2 離散系統(tǒng)算子方程 在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)分析中，我們曾用微分算子p和積分算子p-1分別表示對函數(shù)的微分 和積分運(yùn)算。與此類似，在離散系統(tǒng)分析中，我們引入E算子(超前算子)，表示將序列提前一個(gè)單位時(shí)間的運(yùn)算；E-1算子(遲后算子 )，表示將序列延遲一個(gè)單位時(shí)間的運(yùn)算，即：,應(yīng)用中，統(tǒng)稱E算子和E-1算子為差分算子。,利用差分算子，可將差分方程式(5.3-7)寫成下述形式：,或?qū)懗?進(jìn)一步寫成,式中：,若令,則式(5.3-9)可表示為,此式稱為離散時(shí)間系統(tǒng)的算子方程。式中的H(E)稱為離散系統(tǒng) 的傳輸算子。H(E)在離散系統(tǒng)分析中的作用與H(p)在連續(xù)系統(tǒng)分析中的作用相同 ，它完整地描述了離散系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)， 或者說集中反映了系統(tǒng)對輸入序列的傳輸特 性。例如，設(shè)某離散系統(tǒng)的差分方程為,以單位延遲算子E-1作用于方程兩邊后，得到,圖 5.3-2 用H(E)表示離散系統(tǒng),根據(jù)差分算子的定義，容易證明：,可見，對于同一序列而言，超前算子與遲后算子的作用可以互相抵消， 或者說作用于同 一序列的差分算子公式中，分子分母中的算子公因子允許消去。,例 5.3-1 設(shè)描述某離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程為,求其傳輸算子H(E), 并畫出系統(tǒng)的模擬框圖和信號流圖表示。,解 寫出系統(tǒng)的算子方程為,所以，系統(tǒng)的傳輸算子,再將算子方程改寫成,圖 5.3-3 例 5.3-1圖,例 5.3-2 某離散時(shí)間系統(tǒng)的輸入輸出算子 方程為,式中：,試畫出系統(tǒng)的模擬框圖和信號流圖。,解 如同連續(xù)系統(tǒng)那樣，選擇中間變量x(k)，并令,則有,圖 5.3-4 例 5.3-2圖,5.4 離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng),根據(jù)線性系統(tǒng)定義，系統(tǒng)的完全響應(yīng)由零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)兩部分組成。 在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析中，我們從描述系統(tǒng)的微分方程或傳輸算子H(p)出發(fā)，分別求 出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)， 然后把它們疊加起來得到系統(tǒng)的完全響應(yīng)。 這種做法 同樣適用于離散系統(tǒng)的時(shí)域分析。 只是在離散時(shí)間系統(tǒng)分析中， 我們討論問題的出發(fā)點(diǎn)是 描述系統(tǒng)的差分方程或傳輸算子H(E)。 此外，求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)， 與連續(xù)時(shí)間信號 的卷積積分相對應(yīng)， 需要進(jìn)行離散時(shí)間信號的卷積和計(jì)算。,如前所述，一個(gè)描述n階線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程，若應(yīng)用差分算子E，則可 表示為,或者寫為,式中：,根據(jù)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的定義，如果假定初始觀察時(shí)刻為k0，那么，離散系統(tǒng)的零 輸入響應(yīng)就是k0及k0以后的輸入為零時(shí)，僅由k0以前的輸入或k0時(shí)刻的狀態(tài)引起 的響應(yīng)，常記為yx(k)。 由此可見，在系統(tǒng)差分方程式(5.4-1)中，只需 令輸入信號f(k)為零，就可得到求解零輸入響應(yīng)yx(k)的方程，其一般形式為,或者簡寫為,具體地說，離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)就是上面齊次差分方程滿足給定初始條件yx(0 )，yx(1)，yx(n-1)時(shí)的解。,5.4.1 簡單系統(tǒng)的零輸入響應(yīng),如果離散系統(tǒng)傳輸算子H(E)僅含有單個(gè)極點(diǎn)r， 這時(shí)式(5.4-6)可表示為,這是一個(gè)一階齊次差分方程，將上式改寫為,于是有,此式表明，序列yx(k)是一個(gè)以r為公比的幾何級數(shù)，它具有以下形式：,式中，c1是常數(shù)，由系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的初始條件確定。上述結(jié)果與一階齊次微分方程 解c1et的形式非常類似，因?yàn)楫?dāng)時(shí)間t按t=kT離散變化時(shí)，其解可改寫成c1et=c1ekT=c1(eT)k，令eT=r時(shí)，就是差分方程式(5.4-7)的解。,因此，我們有如下結(jié)論：,如果系統(tǒng)傳輸算子僅含有g(shù)個(gè)單極點(diǎn)r1, r2, , rg，則相應(yīng)齊次差分方程可寫成,顯然，滿足以下方程,的解，必定也滿足式(5.4-10)。仿照微分方程解結(jié)構(gòu)定理的證明，可導(dǎo)得式(5 .4-10)的解為,式中, 待定系數(shù)值c1, c2, , cg由系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的初始條件確定。 于是，有結(jié)論,為了考察H(E)含有重極點(diǎn)的情況，我們假定對于一極小值，其系統(tǒng)齊次差分方程為,且系統(tǒng)初始條件為,yx(k)表示為,代入初始條件，有,解得,現(xiàn)在，令0取極限，使得H(E)的兩個(gè)極點(diǎn)相重合，于是有,或?qū)懗?式中：,同樣道理，如果傳輸算子H(E)僅含有r的d重極點(diǎn)，這時(shí)系統(tǒng)的齊次差分方程為,相應(yīng)的零輸入響應(yīng)可表示為,式中，常數(shù)c0, c1, , cd-1由系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的初始條件確定。 因此,5.4.2 一般系統(tǒng)的零輸入響應(yīng),設(shè)n階離散時(shí)間系統(tǒng)的齊次差分方程為,其傳輸算子H(E)含有g(shù)個(gè)相異極點(diǎn)r1, r2, , rg，對應(yīng)的重?cái)?shù)分別是d1, d2, , dg。 這里， (d1+d2+dg)=n。顯然，若di(i=1, 2, , g)為 1 時(shí)， 表示相應(yīng)的極點(diǎn)ri是單極點(diǎn)。此時(shí)式可表示為,n階LTI離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為,式中：,式中，各待定系數(shù)由系統(tǒng)零輸入響應(yīng)yx(k)的初始條件確定。,綜上所述，由LTI離散系統(tǒng)傳輸算子H(E)求零輸入響應(yīng)yx(k)的具體步驟可歸納如下： 第一步，求解方程A(E)=0，得到H(E)的相異極點(diǎn)r1, r2，, rg及相應(yīng)的重?cái)?shù)d1, d2, , dg。將系統(tǒng)齊次差分方程表示為,第二步，求解方程,得到各極點(diǎn)相應(yīng)輸入響應(yīng)分量,第三步，寫出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng),第四步，由零輸入響應(yīng)初始條件確定式（5.4-22）中的各個(gè)待定系數(shù)cij，并最后求出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(k)。,（5.4-22）,例 5.4-1 已知離散時(shí)間系統(tǒng)傳輸算子,及初始條件yx(0)=12，yx(1)=4.9， yx(2)=2.47，yx(3) =1.371。 求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。,解 因?yàn)閭鬏斔阕親(E)極點(diǎn)為r1=0.2，r2=0.3，r3=0.5(二重極點(diǎn))。所以，可得,上式中令k=0, 1, 2, 3, 代入初始條件后得到,聯(lián)立上述方程，求解得c10=5, c20=3, c30=4, c31=2。于是，系統(tǒng)的 零輸入響應(yīng)為,與連續(xù)系統(tǒng)中的H(p)一樣，H(E)中若有復(fù)極點(diǎn)，則必定共軛成對。若設(shè)H(E)的共軛復(fù)極點(diǎn)為,式中：,例 5.4-2 設(shè)描述離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程 為,系統(tǒng)初始條件為yx(0)=2, yx(1)=3。試求k0時(shí)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。,解 寫出系統(tǒng)傳輸算子,其極點(diǎn)是一對共軛復(fù)極點(diǎn)：,由式(5.4-22)或式(5.4-23)， 得,利用初始條件，得到,即c1=2,c6=6,于是得出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng),5.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),設(shè)系統(tǒng)的初始觀察時(shí)間為k0，所謂離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，是指該系統(tǒng)在k0時(shí)刻 的狀態(tài)或者歷史輸入為零時(shí)，僅由kk0時(shí)加入的輸入所引起的響應(yīng)，通常記為yf(k)。 在連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域法分析中，我們根據(jù)信號的分解特性和LTI系統(tǒng)的線性時(shí)不變特性， 導(dǎo)出了系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的計(jì)算公式。具體做法包括： (1) 將一般信號分解為眾多基本信號單元的線性組合； (2) 求出基本信號激勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)； (3) 導(dǎo)出一般信號激勵(lì)下系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的計(jì)算公式。,5.5.1 離散信號的時(shí)域分解,根據(jù)單位脈沖序列定義和序列位移的概念， 我們有,于是可得,因此，對于任意序列f(k)，可寫成,即,(5.5-1),圖 5.5-1 離散信號的時(shí)域分解,可以將圖 5.5-1 所示的序列分解表示為,顯然，式(5.5-1)是與連續(xù)時(shí)間信號f(t)的時(shí)域分解公式:,相對應(yīng)的。在連續(xù)系統(tǒng)時(shí)域分析中，我們還給出了另一個(gè)分解公式,容易得到相應(yīng)的分解公式為,5.5.2 基本信號(k)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng),設(shè)系統(tǒng)初始觀察時(shí)刻k0=0，則離散系統(tǒng)對于單位脈沖序列(k)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為系統(tǒng)的 單位脈沖響應(yīng)，或簡稱為單位響應(yīng)， 記作h(k)。 LTI離散系統(tǒng)的單位響應(yīng)可由系統(tǒng)的傳輸算子H(E)求出。,例 5.5-1 單極點(diǎn)情況。若系統(tǒng)傳輸算子,具有單極點(diǎn)E=r，則相應(yīng)的差分方程為,令f(k)=(k)時(shí)，其yf(k)=h(k)， 故有,即,移項(xiàng)后有,根據(jù)系統(tǒng)的因果性，當(dāng)k-1時(shí)，有h(k)=0。以此為初始條件， 對式(5.5-6)進(jìn) 行遞推運(yùn)算得出,因此有,例 5.5-2 重極點(diǎn)情況。設(shè)系統(tǒng)傳輸 算子,在E=r處有二階重極點(diǎn)。寫出系統(tǒng)的差分方程,同樣，令f(k)=(k)，得到單位響應(yīng)h(k)的求解方程為,將該方程改寫為,可將上式方括號中的(E-r)h(k)表示為,或者寫成,采用例 5.5-1 類似求解方法，可求得系統(tǒng)的單位響應(yīng),于是有,同理，可得,以及d階重極點(diǎn)相應(yīng)的單位響應(yīng),設(shè)LTI離散系 統(tǒng)的傳輸算子為,求單位響應(yīng)h(k)的具體步驟是： 第一步， 將H(E)除以E得到,第二步， 將 展開成部分分式和的形式； 第三步， 將上面得到的部分分式展開式兩邊乘以E， 得到H(E)的部分分式展開式,第四步，由式(5.5-11)求得各Hi(E)對應(yīng)的單位響應(yīng)分量hi(k)； 第五步， 求出系統(tǒng)的單位響應(yīng),例 5.5-3 求圖 5.5-2 所示離 散系統(tǒng)的單位響應(yīng)h(k)。,圖 5.5-2 例 5.5-3圖,解,或?qū)憺?相應(yīng)的傳輸算子為,將 進(jìn)行部分分式展開，得,由于,所以，系統(tǒng)的單位響應(yīng),于是,例 5.5-4 如圖 5.5-3 的離散 系統(tǒng)，求其單位響應(yīng)h(k)。,圖 5.5-3 例 5.5-4圖,解 (1) 列算子方程。,它可寫為,由右端加法器的輸出端可列出方程,系統(tǒng)的輸入輸出算子方程,(2) 求單位響應(yīng)。,將上面兩個(gè)單位響應(yīng)分量相減，即可得到系統(tǒng)的單位響應(yīng),例 5.5-5 設(shè)描述離散時(shí)間系統(tǒng)的差分 方程為,求系統(tǒng)的單位響應(yīng)。,解 由已知差分方程得系統(tǒng)傳輸算子,將 進(jìn)行部分分式展開，得,即,由式（5.5-11）得,因此，系統(tǒng)單位響應(yīng)為,5.5.3 一般信號f(k)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng),設(shè)離散時(shí)間系統(tǒng)的輸入為f(k)，對應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)為yf(k)。由離散時(shí)間信號的時(shí) 域分解公式(5.5-1)知道，可將任一輸入序列f(k)分解表示成眾多移位脈沖序列的 線性組合，即,根據(jù)LTI離散系統(tǒng)的特性，應(yīng)用單位響應(yīng)h(k)可以分別求出每個(gè)移位脈沖序列f(m)(k-m)作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。然后， 把它們疊加起來就可以得到系統(tǒng)對輸 入f(k)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)。,單位響應(yīng)定義,系統(tǒng)的時(shí)不變特 性,yf(k) 的齊次性,yf(k)的疊加性,信號的分解公式和卷積和運(yùn)算 定義,于是，得到系統(tǒng)在一般信號f(k)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)為,(5.5 - 18),可將離散時(shí)間系統(tǒng)的完全響應(yīng)表示為,這一結(jié)果表明：LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)等于輸入序列f(k)和單位響應(yīng)h(k)的卷 積和。,例 5.5-6