矩陣跡的性質(zhì)與應用.doc

安慶師范學院數(shù)學與計算科學學院2013屆畢業(yè)論文矩陣跡的若干個性質(zhì)與應用姓名：某某 指導老師：某某摘要：根據(jù)矩陣跡的定義,首先給出了矩陣跡的性質(zhì),然后依據(jù)方陣的范數(shù)定義Cauchy Schwarz 不等式,給出了零矩陣,不相似矩陣,數(shù)冪矩陣,列矩陣,冪等矩陣及矩陣不等式的證法。矩陣的跡在解題中的應用給出了實例。關鍵詞：跡 矩陣 范數(shù) 特征值1 引言矩陣的跡及其應用是高等數(shù)學的重要內(nèi)容，也是工程理論研究中的重要工具。本文在前人研究的基礎上，首先介紹了矩陣跡的相關性質(zhì)，然后給出了零矩陣，不相似矩陣，數(shù)冪矩陣，列矩陣，冪等矩陣及矩陣不等式的證法，最后對矩陣的應用給出實例。2 預備知識定義1 設,則稱為 的跡。定義2 設,記與向量范數(shù)相容的 的 一范數(shù)為:(2) (3) (4) (5) 引理：矩陣跡的性質(zhì):1 證明：設則又所以得證2 (為任意常數(shù))證明：設則由（1）與（2）知3 證明：設 則，其中所以有其中，所以有得證4 證明：矩陣取轉置運算主對角線上的元素不變，所以等式很顯然成立。5 證明：令（3）中即可得證。6 證明：令（3）中即可得證。7 （是的特征值）證明：由若當定理知因為相似矩陣跡相等，所以8 證明：設矩陣的特征值為則矩陣的特征值為則由（7）即可得證9 若,則;特別，（下面定理有證明）10 若，則 有了上面關于矩陣的跡定義及性質(zhì)的介紹，下面我們通過舉例來看其在解題中的應用。3 解題中的應用例1 設為同階實對稱矩陣，若正定，則和不相似。證：假設相似,則由性質(zhì)9 知, 再由性質(zhì)1 得故由性質(zhì)10 知 不是正定陣,與已知矛盾從而, 和不相似。例2 設n階矩陣的對角線上元素全是1，且其特征值為復數(shù)，求證證：設為的全部特征值，且則有 又的主對角線上的元素全是1，知則所以。 例3 已知 階方陣，若對所有的階方陣 有 ,則。證： 設，則有某。作矩陣，使,時，。 則矩陣主對角線上的元素 。與已知矛盾故 例4 設，的特征多項式為 ，則。證因為所以。例5 設 , , 都是 矩陣,且 , , ,則存在不大于的自然數(shù) ,使得。證： 先證. (為任意自然數(shù)) (1)由(1) 和性質(zhì)1、3 得：再證 的特證值都等于0。設 的特征值為則存在可逆矩陣 ,使所以從而 （2）不失一般性,設 的互異的非零特征值為,且重數(shù)分別為。 則(2)式變?yōu)? 取前 個等式,因為范德蒙行列式，因此。即非零特征值都是0 重,故 的特征全為0 。再證。 由于 的每個若當塊都形如因此令: ，則例6 滿足 的矩陣叫做冪等陣,試證：冪等矩陣的跡與秩相等。證:設 階陣為冪陣,且的秩,則的特征值是0 或1 ,且具有個線性無關的特證向量,因而, 與對角陣相似。故必有滿秩陣 存在，使上式右端的對角陣的秩等于的秩 ,即該矩陣中的對角元素(特征值)有個為1 ，個為0 。故由性質(zhì)7 知例7 設有階實對稱矩陣 ,若，則有。證：因為 ,所以半正定,故存在階矩陣u其中是第個行向量，使得于是。又因為 維列向量有于是 由Cauchy - Schwarz不等式知，所以即從而故有例7 設為一個階矩陣，的主對角線上所有元素的和稱為的跡，記作.證明：如果對任意的階方陣，都有，則證：設，取,則所以. 即例8 證明：不可能有階方陣滿足證：設，為任二階方陣，則主對角線上的元素為它們的和為同樣，的主對角線上元素的和為亦即與的主對角線上元素的和相等，從而的主對角線上元素的和為零.但是，單位方陣的主對角線上元素的和為因此4 下面介紹一些有關矩陣跡的定理定理1 Cauchy-Schwarz公式：設都是n階矩陣，則有證明：設,則由向量的內(nèi)積定義式，其中為與的夾角即。推廣到矩陣的跡的形式，即為定理2 schur不等式設設是n階矩陣，則有證明：因為又因為是反對稱矩陣，故有定理3 設為階對稱矩陣，則有證明：由Cauchy-Schwarz公式可知 又即得定理4 設都是階實對稱矩陣，則有證明：都是階實對稱矩陣，又由引理2可得又由引理3可得同時有即可得結論。定理5 設階矩陣的所有特征值都是實數(shù)，且，若恰有個特征值，則證明：設的個特征值為。因為，由引理1 知的特征值為不為零，而其余的特征值考察以下平方和其中，顯然且由于于是，有定理6 設都是階實對稱矩陣，則有證明：由于都是階實對稱矩陣，且由Schur不等式和引理3，可得定理7 設都是階實對稱矩陣，且正定或半正定，則有證明：由cauchy-schwarz公式，且都是n階實對稱矩陣，使得設的特征值為的特征值為顯然的特征值均大于0又由定理4知，對存在n階正交矩陣使得所以由此得 ，故有即參考文獻 1丁學仁. 工程中的矩陣理論M.天津：天津大學出版社,19882黨誦詩. 矩陣論及其在測繪中的應用M.北京：測繪出版社,19803陳公寧. 矩陣理論與應用M.北京：高等教育出版社，19904牛華偉，張厚超.關于矩陣跡的性質(zhì)與應用J.寧波職業(yè)技術學院學報，2009年4月5宋占奎.矩陣的跡在解題中的應用J.陜西工學院學報，2001年3月Matrix trace of several properties and applicationAuthor：Cao min Supervisor:Dai linsongAbstract : On the basis of the definition of matrix traces ,this paper discusses their characteristics at first and then according to the norm of the F of square matrix and Cauchy - SchwarzInequality gives how to prove the zero matrix, unsimilar matrix，number cloth matrix , column matrix idempotent matrix and non - equality matrix. The