實(shí)驗(yàn)11多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較.pptVIP

實(shí)驗(yàn)11 多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較,內(nèi)容提要 本實(shí)驗(yàn)通過幾個(gè)具體的例子，說明多元函數(shù)極值中存在著一些與一元函數(shù)極值不同的現(xiàn)象，并通過圖形把這些現(xiàn)象顯示出來，從而加深對(duì)它們的理解。 實(shí)驗(yàn)步驟 1. 方向?qū)?shù) 我們知道，對(duì)于二元函數(shù)若其偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則它在任意方向上的方向?qū)?shù)都存在，但是若其偏導(dǎo)數(shù)存在而不連續(xù)，則它在某些方向上的方向?qū)?shù)就可能不存在，請(qǐng)看下面的例子。,多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較,例 1 （1）證明：函數(shù)在原點(diǎn)處連續(xù)，而且在原點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)fx和fy 都存在（即沿x軸和y軸方向?qū)?shù)都存在），但原點(diǎn)處其他方向的方向?qū)?shù)都不存在；（2）利用計(jì)算機(jī)作出該函數(shù)在原點(diǎn)附近的圖形，并從圖上驗(yàn)證（1）的結(jié)論。,多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較,解：由于 是初等函數(shù)，其定義域?yàn)镽2，故函數(shù)在原點(diǎn)處連續(xù)， 而由于 而,多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較,下面我們作出函數(shù)的圖形，由于Mathematica中 在x0時(shí)無定義，故我們首先把函數(shù)變形為 在作圖，即鍵入：,多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較,運(yùn)行后即得圖13，從圖上看到了除x軸和y軸著兩個(gè)方向以外，其它方向的鉛直平面與曲面的交線在原點(diǎn)處均形成一個(gè)尖點(diǎn)，故方向?qū)?shù)不存在。,多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較,極值 例 2 對(duì)一元可導(dǎo)函數(shù)而言，如果有有限個(gè)駐點(diǎn)，則在兩個(gè)極大值之間必存在極小值點(diǎn)；但一般說來這個(gè)結(jié)論對(duì)于二元連續(xù)函數(shù)不成立。考慮可導(dǎo)函數(shù) 證明它僅有兩個(gè)極大值點(diǎn)。然后用計(jì)算機(jī)畫出這個(gè)函數(shù)的圖形，并從圖上觀察為什么會(huì)出現(xiàn)這個(gè)情況。 解： 首先我們定義函數(shù)，即鍵入：,多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較,并運(yùn)行，再求出駐點(diǎn)，即鍵入： 運(yùn)行后即得駐點(diǎn)為，而在這兩點(diǎn)上函數(shù)值為f（-1，0）=f（1，2）=0 顯然這兩點(diǎn)是最大值點(diǎn)，從而這兩點(diǎn)必是極大值點(diǎn)。由于函數(shù)已沒有其他的駐點(diǎn)，因而它也不可能有極小值點(diǎn)。 下面，我們作出函數(shù)的圖形，即鍵入：,多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較,運(yùn)行后即得圖14（a）。為了使輸出的圖形更直觀，我們改變觀察點(diǎn)，即鍵入： 運(yùn)行后得圖14（b）,多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較,通過這兩個(gè)最高點(diǎn)作垂直于xoy面的截面，截立體所截的截線上存在最低點(diǎn)，但這最低點(diǎn)卻不是整個(gè)圖形的（局部）最低點(diǎn)。 3 極值與最大（?。┲?例 3 對(duì)一元連續(xù)函數(shù)而言，如果有唯一駐點(diǎn)，且該點(diǎn)是極大（小）值點(diǎn)，則此極大小值點(diǎn)必是函數(shù)的最大（?。┲迭c(diǎn)；但一般而言，這個(gè)結(jié)論二元連續(xù)函數(shù)不成立?，F(xiàn)對(duì)函數(shù)證明它有唯一駐點(diǎn)；且此駐點(diǎn)為極大值點(diǎn)，但此函數(shù)無最大值。然后用計(jì)算機(jī)畫出這個(gè)函數(shù)的圖形，并從圖上觀察為什么會(huì)出現(xiàn)這個(gè)情況。,多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較,解 首先我們定義函數(shù)，即鍵入： 運(yùn)行，然后我們求出該函數(shù)的駐點(diǎn)，因此我們鍵入： 運(yùn)行后即得到唯一的駐點(diǎn)（1，0）（注意，由于該函數(shù)不是多項(xiàng)式函數(shù)，故在解方程組時(shí)有報(bào)錯(cuò)信息，一般此時(shí)應(yīng)該用命令“FindRoot”。,多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較,請(qǐng)讀者做一下，作時(shí)請(qǐng)先分別定義兩個(gè)偏導(dǎo)函數(shù)，例如定義: 關(guān)于x的偏導(dǎo)函數(shù)可用“ ”），根據(jù)極值的充分條件，我們在駐點(diǎn)（1，0）處計(jì)算 則該駐點(diǎn)為極值點(diǎn)，而此時(shí) 即鍵入：,多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較,運(yùn)行可得 故該駐點(diǎn)為極大值點(diǎn)，其中“/.”表示代入，上述程序即表示把x=1.y=0，代入計(jì)算相應(yīng)的值。 接下來，我們再來觀察它的圖形，即鍵入：,多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較,運(yùn)行后得圖15（a）,多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較,通過計(jì)算可知其極大值為2，為此我們把因變量限制在-10，5并改變觀察概圖形的視角，再作出該函數(shù)的圖形，即鍵入：,多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較,其中“ClipFill-None”表示去掉因變量范圍（PlotRange-10,5）后其范圍以外部分圖形，最后我們再改變視角作出圖形，即鍵入： 運(yùn)行后即得圖15（c）,多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較,從圖上可以看出，盡管該