高等數(shù)學(xué)課件D42換元法.ppt

,二、第二類換元法,第二節(jié),一、第一類換元法,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,換元積分法,第四章,第二類換元法,第一類換元法,基本思路,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè),可導(dǎo),則有,2019/6/29,高等數(shù)學(xué),一、第一類換元法,定理1.,則有換元,公式,(也稱配元法,即, 湊微分法),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 求,解: 令,則,故,原式 =,注: 當(dāng),時(shí),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 求,解:,令,則,想到公式,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. 求,想到,解:,(直接配元),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. 求,解:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,類似,例5. 求,解:, 原式 =,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,常用的幾種配元形式:,萬能湊冪法,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例6. 求,解: 原式 =,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例7. 求,解: 原式 =,例8. 求,解: 原式 =,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例9. 求,解法1,解法2,兩法結(jié)果一樣,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例10. 求,解法1,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解法 2,同樣可證,或,(P196 例16 ),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例11. 求,解: 原式 =,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例12 . 求,解:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例13. 求,解:,原式 =,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例14. 求,解: 原式=,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,分析:,例15. 求,解: 原式,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,小結(jié),常用簡化技巧:,(1) 分項(xiàng)積分:,(2) 降低冪次:,(3) 統(tǒng)一函數(shù): 利用三角公式 ; 配元方法,(4) 巧妙換元或配元,萬能湊冪法,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,利用積化和差; 分式分項(xiàng);,利用倍角公式 , 如,思考與練習(xí),1. 下列各題求積方法有何不同?,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 求,提示:,法1,法2,法3,作業(yè) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、第二類換元法,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第一類換元法解決的問題,難求,易求,若所求積分,易求,則得第二類換元積分法 .,難求，,定理2 . 設(shè),是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù) , 且,具有原函數(shù) ,證:,令,則,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則有換元公式,例16. 求,解: 令,則, 原式,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例17. 求,解: 令,則, 原式,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例18. 求,解:,令,則, 原式,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,令,于是,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,被積函數(shù)含有,時(shí),除采用,采用雙曲代換,消去根式 ,所得結(jié)果一致 .,( 參考書上 P201-P202 ),或,或,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三角代換外, 還可利用公式,原式,例19. 求,解: 令,則,原式,當(dāng) x 0 時(shí), 類似可得同樣結(jié)果 .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,小結(jié):,1. 第二類換元法常見類型:,令,令,令,或,令,或,令,或,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第四節(jié)講,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 常用基本積分公式的補(bǔ)充 (P203),(7) 分母中因子次數(shù)較高時(shí), 可試用倒代換,令,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解: 原式,(P203 公式 (20) ),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例20. 求,例21. 求,解:,(P203 公式 (23) ),例22. 求,解: 原式 =,(P203 公式 (22) ),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例23. 求,解: 原式,(P203 公式 (22) ),例24. 求,解: 令,得,原式,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例25. 求,解: 原式,令,例16,例16 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),1. 下列積分應(yīng)如何換元才使積分簡便 ?,令,令,令,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 已知,求,解: 兩邊求導(dǎo), 得,則,(代回原變量),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,作業(yè),P204 2 (4) , (5) , (8) , (9) , (11) , (16) , (18) , (19) , (21) , (25) , (28) , (29) , (30) , (32) , (33) , (35) , (36) , (40),第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,備用題 1. 求下列積分:,機(jī)動 目錄