高等數(shù)學(xué)第八章多元微分第八節(jié)極值與最值.pptVIP

,第八章 多元函數(shù)微分學(xué),第八節(jié),上頁 下頁 返回 結(jié)束,多元函數(shù)的極值,極值的概念與計(jì)算,最大值最小值問題,條件極值,以什么價(jià)格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？,每天的收益為,求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值.,上頁 下頁 返回 結(jié)束,引例：某商店賣兩種牌子的果汁，,瓶進(jìn)價(jià)1元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1.2元，,如果本地牌子的每瓶賣,外地牌子的每瓶賣,則每天可賣出,瓶本地牌子的果,汁，,瓶外地牌子的果汁，,本地牌子每,店主估計(jì)，,元，,元，,問店主每天,解,一、多元函數(shù)的極值,上頁 下頁 返回 結(jié)束,1、二元函數(shù)極值的定義,上頁 下頁 返回 結(jié)束,極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).,設(shè)函數(shù),在點(diǎn),的某鄰域內(nèi)有,定義,若對于該鄰域內(nèi)異于,的點(diǎn),(1) 總有,則稱,(2) 總有,，,，,為函數(shù)的一個(gè)極大值；,則稱,為函數(shù)的一個(gè)極小值；,自變量,函數(shù)值,例1,例,例,上頁 下頁 返回 結(jié)束,2、二元函數(shù)取得極值的條件,證明略,上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理1,（必要條件）,則,注 1),有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，,3) 偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)可能是極值點(diǎn).,則稱,如果,為函數(shù)f(x,y)的駐點(diǎn).,定義,極值點(diǎn)必為駐點(diǎn)；,2) 駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)；,如例3的z = xy.,如例2.,問題：如何判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？,上頁 下頁 返回 結(jié)束,函數(shù)的極值,極值點(diǎn),可能的極值點(diǎn),駐點(diǎn),偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),計(jì)算函數(shù)值,判斷,計(jì)算偏導(dǎo)數(shù),時(shí), 有極值,定理2 (充分條件),的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且,令,則 1) 當(dāng),A0 時(shí)取極大值;,A0 時(shí)取極小值.,2) 當(dāng),3) 當(dāng),時(shí), 沒有極值.,時(shí), 不能確定 , 需另行討論.,若,上頁 下頁 返回 結(jié)束,駐點(diǎn),上頁 下頁 返回 結(jié)束,求函數(shù),極值的一般步驟：,第一步,解方程組,得駐點(diǎn)；,第二步,對每一個(gè)駐點(diǎn),第三步,由,的符號，判定是否取得極值.,計(jì)算極值點(diǎn)處的函數(shù)值，得函數(shù)的極值.,判別式,例1.,求,解 第一步 求駐點(diǎn).,得駐點(diǎn) (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判別.,解方程組,的極值.,求二階偏導(dǎo)數(shù),上頁 下頁 返回 結(jié)束,判別式,為極小值;,上頁 下頁 返回 結(jié)束,列表討論：,駐點(diǎn),A,f (x, y),(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2),72,-72,12,-72,72,-12,極小值,無極值,無極值,極大值,為極大值.,例2. 討論函數(shù),以及,是否取得極值.,解 顯然 (0,0) 是它們的駐點(diǎn),注意到在(0,0)點(diǎn)附近, 函數(shù),因此, z(0,0),因此,為函數(shù),在點(diǎn)(0,0),容易算得在 (0,0) 點(diǎn)，,能為正、負(fù)或0，,上頁 下頁 返回 結(jié)束,的極小值.,兩個(gè)函數(shù)的判別式都滿足,不是函數(shù),的極值.,的取值可,此外，,二、最值應(yīng)用問題,函數(shù) f (x, y) 在有界閉區(qū)域D上連續(xù),f (x, y)在D上可取得最大值和最小值,最值可疑點(diǎn),駐點(diǎn),邊界上的最值點(diǎn),由,上頁 下頁 返回 結(jié)束,求在有界閉區(qū)域D上連續(xù)函數(shù)的最值的一般方法：,第一步 求出函數(shù)在D 內(nèi)的所有駐點(diǎn)；,第二步 求出所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值；,第三步 求出函數(shù)在D的邊界上的最大最小值；,上頁 下頁 返回 結(jié)束,第四步 比較第二步所得函數(shù)值以及在D的邊界上的最大值和最小值，,其中最大者即為最大值，最小者,即為最小值.,特別地, 若f (x, y)在區(qū)域D內(nèi)部存在最值, 且只有一,為最小 值.,個(gè)極值點(diǎn)P ,則,(大),(大),對于實(shí)際應(yīng)用問題，,若由問題的背景知最大值,（或最小值）存在，,且駐點(diǎn)唯一，,則該駐點(diǎn)就是最,大值（或最小值）點(diǎn).,例3.,解 設(shè)水箱長,寬分別為 x , y m ,則高為,水箱所用材料的面積為,令,得唯一駐點(diǎn),用鐵板做一個(gè)體積為2,由問題背景知最小用料存在,的無蓋長方體水箱,問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí), 才能使用料最省?,因此此唯一駐點(diǎn)就,是最小值點(diǎn).,即當(dāng)長、寬均為,高為,時(shí), 水箱所用材料最省.,上頁 下頁 返回 結(jié)束,三、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法,上頁 下頁 返回 結(jié)束,分配這200元，可以達(dá)到最佳效果？,實(shí)例,小王有200元錢，決定用來購買兩種急需,物品：計(jì)算機(jī)可讀寫光盤和CD光盤.,設(shè)每張可讀寫光盤8元，每盒CD光盤10元，,讀寫光盤,y 張CD光盤可達(dá)到最佳效果，,效果函數(shù)為,下的極大值點(diǎn),在條件,問題的實(shí)質(zhì)：,求函數(shù),設(shè)購買 x 張可,問如何,極值問題,無條件極值:,條 件 極 值:,條件極值的求法:,方法1 代入法.,求一元函數(shù),的無條件極值問題.,對自變量只有定義域限制,對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制,例如 ,上頁 下頁 返回 結(jié)束,方法2 拉格朗日乘數(shù)法,可能極值點(diǎn)，,構(gòu)造函數(shù),其中,l,為某一常數(shù)，,，其中,就是可能極值點(diǎn)的坐標(biāo).,拉格朗日( Lagrange )函數(shù),上頁 下頁 返回 結(jié)束,列方程組,推廣,拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多,令,解方程組,可得到條件極值的可能極值點(diǎn) .,例如, 求函數(shù),下的極值.,在條件,個(gè)約束條件的情形.,上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4.,設(shè)計(jì)一個(gè)容量為,則問題為求 x ,令,解方程組,解 設(shè) x , y , z 分別表示長、寬、高,下水箱表面積,最小.,y, z 使在條件,水箱長、寬、高等于多少時(shí)所用材料最??？,的長方體開口水箱, 試問,上頁 下頁 返回 結(jié)束,比較例3,得唯一駐點(diǎn),由題意知, 合理的設(shè)計(jì)是存在的,長、寬為高的 2 倍時(shí), 所用材料最省.,因此 , 當(dāng)高為,思考:,1) 當(dāng)水箱封閉時(shí), 長、寬、高的尺寸如何?,提示: 利用對稱性可知,2) 當(dāng)開口水箱底部造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí), 欲使造價(jià),最省, 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長、寬、高尺寸如何?,提示:,長、寬、高尺寸相等 .,上頁 下頁 返回 結(jié)束,解,則,上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5.,將正數(shù)12,分成三個(gè)正數(shù),之和使得,為最大.,解得唯一駐點(diǎn)(6,4,2),故最大值為,由題設(shè)知，所求最大值存在，,內(nèi)容小結(jié),1.函數(shù)的極值問題,第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).,即解方程組,第二步 利用充分條件 判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn) .,2. 函數(shù)的條件極值問題,(1) 簡單問題用代入法,例如，對二元函數(shù),(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法,上頁 下頁 返回 結(jié)束,作拉格朗日函數(shù),如求二元函數(shù),下的極值,解方程組,第二步 判別, 比較駐點(diǎn)處函數(shù)值及邊界點(diǎn)上最值的大??；, 根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值.,第一步 找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件),3. 函數(shù)的最值問題,在條件,求駐點(diǎn) .,上頁 下頁 返回 結(jié)束,1. 已知平面上兩定點(diǎn) A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓,上求一點(diǎn) C, 使,ABC 面積 S最大.,提示:,設(shè) C 點(diǎn)坐標(biāo)為 (x , y),思考與練習(xí),則,上頁 下頁 返回 結(jié)束,作拉格朗日函數(shù),解方程組,得駐點(diǎn),對應(yīng)面積,而,比較可知, 點(diǎn) C 與 E 重合時(shí), 三角,