高等數(shù)學(xué)下冊(cè)第十章第五節(jié).pptVIP

,5 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,一、基本概念,觀察以下曲面的側(cè)(假設(shè)曲面是光滑的),曲面分上側(cè)和下側(cè),曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè),曲面的分類:,1.雙側(cè)曲面;,2.單側(cè)曲面.,典型雙側(cè)曲面,典型單側(cè)曲面: 莫比烏斯帶,播放,曲面法向量的指向決定曲面的側(cè)，一側(cè)為正，一,側(cè)為負(fù)。選定了側(cè)的曲面稱為有向曲面。,面S , S 在xOy面上的投影(S)xy為,注：1. 求投影時(shí)，要求S上各點(diǎn)的法向量,與z軸的夾角均為銳角或均為鈍角。,2. 當(dāng)S為平面塊時(shí), 它在xOy面的投影為,SS cos,3. 可同樣定義S 在yOz面上的投影(S)yz與S 在zOx面上的投影(S)zx,1. 分割 把曲面 分成 n小塊Si (Si同時(shí)也代表 第 i 小塊曲面的面積)。,法向量為 ni ，,在Si上任取一點(diǎn)(i , i , i ) ,2. 近似,3. 求和,通過(guò) 流向指定側(cè)的流量,4.取極限 0取極限得到流量的精確值。,二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的定義及性質(zhì),定義 設(shè) 為光滑的有向曲面, 函數(shù)R(x, y, z)在 上,有界。把 任意分成 n 塊小曲面Si(Si同時(shí)又表示第 i 塊小曲面的面積),Si在xOy面上的投影記為(Si)xy ,任取(i , i , i)Si 。如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值 0 時(shí)，極限,被積函數(shù),積分曲面,可類似定義,，即,存在條件:,習(xí)慣上記:,性質(zhì):,三、計(jì)算法,設(shè)積分曲面 是由方程z=z(x , y)所給出的曲面上側(cè), 在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy ,函數(shù)z=z(x , y)在Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),被積函數(shù)R(x, y, z)在上連續(xù).,說(shuō)明：1. 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分必須注意曲面所取的側(cè)。,2. 上述結(jié)論只有當(dāng)積分曲面上每點(diǎn)的法向量 n 與,z(x、y)軸的夾角均為銳角或均為鈍角時(shí)才成立。,3. 若 在xOy面的投影為曲線，則,若 在yOz面或zOx面的投影為曲線，有類似的結(jié)論。,解,四、兩類曲面積分之間的聯(lián)系,結(jié)論：,的方向角。,向量形式,解,原式,= 8 。,例3 計(jì)算,解,其中 是球面x2+y2+z2=R2的外側(cè)。,解法2 由對(duì)稱性，,習(xí)題(P167)：3，4,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單