DSP7數(shù)字信號處理第七章.ppt

第七章FIR DF 有限長數(shù)字濾波器 的設(shè)計, 7-1 引言 一、IIR DF的特點 1、DF的設(shè)計依托AF的設(shè)計，有圖表可查，方便簡單。 2、相位的非線性 H（Z）的頻響： 其中， 是幅度函數(shù)， 是相位函數(shù)。 通常， 與 不是呈線性的，這是IIR filter （無限長響應(yīng)濾波器）的一大缺點。因此限制了 它的應(yīng)用，如圖象處理，數(shù)據(jù)傳輸都要求信道 具有線性相位特性。 3、用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正，可以得線性特性。,二、FIR DF的特點 1、單位抽樣響應(yīng)h（n）是有限長的，因此FIR DF一定 是穩(wěn)定的。 2、經(jīng)延時，h（n）總可變成因果序列，所以FIR DF總 可以由因果系統(tǒng)實現(xiàn)。 3、h（n）為有限長，可以用FFT實現(xiàn)FIR DF。 4、FIR的系統(tǒng)函數(shù)是Z-1的多項式，故IIR的方法不適用。 5、FIR的相位特性可以是線性的，因此，它有更廣泛的 應(yīng)用，非線性的FIR一般不作研究。,7-2 線性相位FIR DF的特點 一、線性相位的條件 如果FIR DF的單位抽樣響應(yīng)h（n）為實數(shù)，而且 滿足偶對稱h（n）=h（N-1-n），或滿足奇對稱 h（n）=-h（N-1-n），其對稱中心在 處，可證 明filter就具有準(zhǔn)確的線性相位。 N又分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況，所以有4種線性相 位FIR DF，如下所述。,1、N為奇數(shù)的偶對稱 例如 N=11，對稱中心為,2、N為偶數(shù)時的偶對稱 例如 N=10，對稱中心為,3、N為奇數(shù)時的奇對稱 例如，N=11，對稱中心為,4、N為偶數(shù)時的奇對稱 例如，N=10，對稱中心為4.5，,二、線性相位的特點,為幅度函數(shù)， ， 是一個純實數(shù)， 是相位函數(shù)，下面分 為奇、偶對稱兩種情況討論,1、h（n）為偶對稱情況,也就是,上式兩邊同時加H（Z），再用2去除得：,所以，這時的幅度函數(shù)和相位函數(shù)如下所示: 幅度函數(shù)為 相位函數(shù)為,顯然 與 呈正比，是嚴(yán)格的線性相位。,0,2、h（n）為奇對稱的情況 當(dāng)h（n）= -h（N-1-n）時，可以通過類似的推導(dǎo)， 得到,所以，其幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為,可見，其相位特性是線性相位，而且還產(chǎn)生一個 900相移，這樣就使得通過filter的所有頻率都相移900， 因此稱它為正交變換網(wǎng)絡(luò)。（相移900的信號與原信 號為正交的）。,0,1、N為奇數(shù)，h（n）為偶對稱的情況,三、幅度函數(shù)的特點,可見， 對 呈現(xiàn)偶對稱。,2、N為偶數(shù)，h（n）為偶對稱的情況,可見， 對 呈奇對稱。,3、N為奇數(shù)，h（n）為奇對稱的情況,可見， 時， 對 呈奇對稱。,4、N為偶數(shù)，h（n）為奇對稱的情況,可見， 時， 對 呈奇對稱，而對 呈偶對稱。 這四種線性相位FIR filter的特性歸納在表7-1中 （P341）。,四、系統(tǒng)函數(shù)H（Z）的零點分布情況 1、零點的分布原則,所以，如果 是零點，則 也一 定是H（Z） 的零點，h（n）為實數(shù)時，H（Z） 的零點必成共軛對出現(xiàn)，即 也一定是 H（Z）的零點， 也一定是H（Z）的零 點。,2、零點的位置,（1） 既不在實軸上，也不在單位圓上，則零 點是互為倒數(shù)的兩組共軛對，,(2) 不在實軸上，但在單位圓上，共軛對的 倒數(shù)就是它們本身，如,（3） 在實軸上，不在單位圓上，實數(shù)零點， 沒復(fù)共軛；只有倒數(shù)。 例如，,（4） 既在實軸上也在單位圓上。此時， 只有一個零點，且有兩種可能，或位于Z=1， 或位于Z=-1。,N為偶數(shù)時的偶對稱 為其零點；N為偶數(shù)奇對稱 H（0）=0，有Z=1零點； N為奇數(shù)奇對稱 有零點Z=1，和Z= -1。,7-3 窗函數(shù)設(shè)計法 一、設(shè)計方法 1、設(shè)計思想 先給定理想filter的頻響 ，所要求設(shè)計一個 FIR的filter的頻響為 ，使 逼近 2、設(shè)計過程 設(shè)計是在時域進(jìn)行的，先用傅氏反變換求出理 想filter的單位抽樣響應(yīng) ，然后加時間窗 對 截斷，以求得FIR filter的單位抽樣響應(yīng)h(n)。,例如，低通filter,0,是矩形的，則 一定是無限長 的且是非因果的。,二、窗函數(shù)對頻響的影響 1、理想LF的單位抽樣響應(yīng) 理想低通filter的頻響 為,因為其相位 ，所以 是偶對稱， 其對稱中心為 ，這是因為 時，即 為其最大，故 為其對稱中心。 又是無限長的非因果序列,2、加矩形窗 加窗就是實行乘操作，而矩形窗就是截斷數(shù)據(jù)，這 相當(dāng)于通過窗口 看 ，稱 為窗口函數(shù)。,其他n值,因h（n）是偶對稱的。長度為N，所以其對稱中心 應(yīng)為 ，所以h（n）可寫作,h（n）=,n為其他值,3、h（n）的頻響 h（n）的頻響 可通過傅式變換 求得，為了便于與 的頻響 相比較，利 用卷積定理,(1)對于矩形窗的頻響,其中， 為幅度函數(shù)， 為相位函數(shù)。,（2）對于理想LF的頻響,其中， 為幅度函數(shù)， 為相位函數(shù)。,（3）h（n）的頻響,其中， 為幅度函數(shù)， 為相位函數(shù)。,4、窗函數(shù)頻響產(chǎn)生的影響 從幾個特殊頻率點的卷積過程就可看出其影響:,（1） 時，,也即 在 到 全部面積的積分。 因此，H（0）/H（0）=1（用H（0）歸一化）。,0,（2） 時， 正好與 的一半相重疊。這時有 。,(3) 時， 的主瓣全部在 的通帶內(nèi)，這時應(yīng)出現(xiàn)正的肩峰。,（4） 時，主瓣全部在通帶外， 出現(xiàn)負(fù)的肩峰。,（5）當(dāng) 時，隨 增加， 左邊 旁瓣的起伏部分掃過通帶，卷積 也隨著 的旁瓣在通帶內(nèi)的面積 變化而變化，故 將圍繞著零值而波動。,(6)當(dāng) 時， 的右邊旁瓣將進(jìn)入 的通帶，右邊旁瓣的起伏造成 值圍繞 值而波動。,5、幾點結(jié)論 （1）加窗后，使頻響產(chǎn)生一過渡帶，其寬度正好等于 窗的頻響 的主瓣寬度 （2） 在 處出現(xiàn)肩峰，肩峰兩側(cè)形成 起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度，而振 蕩的多少則取決于旁瓣的多少。 （3）吉布斯（Gibbs）效應(yīng) 因為窗函數(shù)的頻響的幅度函數(shù)為 這是一個很特殊的函數(shù)，分析表明，當(dāng)改變N時僅能 改變 的絕對值的大小，和主瓣的寬度 ， 旁瓣的寬度 ，但不能改變主瓣與旁瓣的相對 比例，也就是說，不會改變歸一化頻響 的肩峰 的相對值。對于矩形窗最大相對肩峰為8.95%，不管 N怎樣改變，最大肩峰總是 8.95% ，這種現(xiàn)象稱作 吉布斯效應(yīng)。,三、各種窗函數(shù) 1、基本概念 （1）窗譜：窗函數(shù)的頻響的幅度函數(shù)亦稱作窗譜。 （2）對窗函數(shù)要求 a）希望窗譜主瓣盡量窄，以獲得較陡的過渡帶，這 是因為過渡帶等于主瓣寬度。 b）盡量減少窗譜最大旁瓣的相對幅度，這樣可使肩峰 和波紋減少。 2、矩形窗 時域表達(dá)式： 頻域表達(dá)式（頻譜）： 幅度函數(shù)：,3、三角形（Bartlett）窗 時域表達(dá)式：,1,0 1 2 3 4,頻譜：,第一對零點為 ，即 ， 所以主瓣寬度 ，比矩形寬一倍。,4、漢寧窗（升余弦窗） 其窗譜可利用如下方法求出，將 變形為 又由于 其中 又考慮到 ，這里,所以有,當(dāng) 時， ，窗譜 分析 可知，它等于三部分之和，旁瓣較大程度地 互相抵消，但主瓣加寬一倍，即為,漢寧窗是 時， 特例,5、海明窗，又稱作改進(jìn)升余弦窗 其窗函數(shù)為 仿照漢寧窗的分析方法可以得其頻響的幅度函數(shù)為 其主瓣寬度仍為 ，（旁瓣峰值/主瓣峰值）1% 有99.963%的能量集中在主瓣內(nèi)。 海明窗是下一類窗的特例,6、布拉克曼窗，又稱二階余弦窗 加上余弦的二次諧波分量，可以進(jìn)一步抑制旁瓣 相應(yīng)的幅度函數(shù)為 其主瓣寬度為 ，是矩形窗的三倍。,7、五種窗函數(shù)的比較 （1）時域窗,（2）各個窗的幅度函數(shù)，如P.200，圖6-10，注意圖中 是dB表示的。 （3）理想LF加窗后的幅度函數(shù)（響應(yīng)）如P201， 圖6-11所示。,四、窗函數(shù)法的設(shè)計 1、設(shè)計步驟 （1）給定頻響函數(shù) （2）求出單位抽樣響應(yīng) （3）根據(jù)過渡帶寬度和阻帶最小衰減，借助窗函數(shù) 基本參數(shù)表（P202表3）確定窗的形式及N的大小 （4）最后求 及 2、設(shè)計舉例,例：分別利用矩形窗與漢寧窗設(shè)計具有線性相位的 FIR 低通濾波器，具體要求：,其他,并畫出相應(yīng)的頻響特性,解（1）由于 是一理想LF，所以 可以得出 （2）確定N 由于相位函數(shù) ，所以 呈 偶對稱，其對稱中心為 ，因此,（3）加矩形窗,則有,可以求出h（n）的數(shù)值，注意偶對稱，對稱中心,由于h（n）為偶對稱，N=25為奇數(shù)，所以,例如 H（0）=0.94789，可以計算 的值， 畫如下圖,（4）加漢寧窗 由于 可以求出序列的各點值,通過 可求出加窗后的h（n）,相應(yīng)幅度函數(shù)可用下式求得：,如H（0）=0.98460，圖如下,7-4、凱澤（Kaiser）窗及其濾波器設(shè)計,上述幾種窗函數(shù)：矩形窗、漢寧窗、海明窗等，為了壓制旁瓣，是以加寬主瓣為代價的。而且，每一種窗的主瓣和旁瓣之比是固定不變的，而凱澤窗,可以在主瓣寬度與旁瓣衰減之間自由選擇。,一、凱澤窗,凱澤在1966（1974）發(fā)現(xiàn)，利用第一類零階修正（變形）貝賽爾函數(shù)可以構(gòu)成一種近似最佳的窗,函數(shù)。凱澤窗定義為：,1 定義,其中， 為第一類零階修正貝塞爾函數(shù)，,，,是一個可自由選擇的參數(shù)。,2.特點,可同時調(diào)整主瓣寬度與旁瓣;,越大， 窗越窄。頻譜旁瓣越小，而主瓣,相應(yīng)增加；,相當(dāng)于矩形窗;,通常選擇,，它們相當(dāng)于旁瓣與主,瓣幅度為,3.1%-0.047%；,凱澤窗隨 變化的曲線如下圖：,注：第一類零階修正貝塞爾函數(shù)為,由圖可以看出, 為對稱中心，且是偶對稱,即,3.凱澤經(jīng)驗公式,該公式可使filter設(shè)計人員根據(jù)filter的設(shè)計指標(biāo),估算出,值和 N 值。,且，,：通帶截止頻率，由 定;,：止帶截止頻率，由 定.,過渡帶寬度,4.設(shè)計舉例,利用凱澤窗設(shè)計一FIR低通filter，要求,解：,取38,將N=38, =5.653代入 表達(dá)式，得,0 37 0.0 1.000 0.0204 0.02,1 36 1.8336 2.030 0.0415 0.04,2 35 2.5568 3.345 0.0704 0.07,8 29 4.6548 19.96 0.4082 0.41,3 34 3.086 5.251 0.1074 0.11,4 33 3.5111 7.441 0.1522 0.15,5 32 3.8656 10.11 0.2067 0.21,6 31 4.1678 13.10 0.2679 0.29,7 30 4.4286 16.44 0.3362 0.34,17 20 5.6350 48.03 0.9822 0.98,9 28 4.8512 23.83 0.4873 0.49,10 27 5.0215 27.73 0.5671 0.57,11 26 5.1682 31.72 0.6489 0.65,12 25 5.2931 35.33 0.7225 0.72,13 24 5.3980 39.01 0.7978 0.80,14 23 5.4838 41.93 0.8575 0.86,15 22 5.5515 44.67 0.9135 0.91,16 21 5.6017 46.74 0.9558 0.96,18 19 5.6515 48.90 1.0 1.00,0,4,8,12,16,18,19,25,29,33,37,21,的圖形如下所示,7-5、頻率取樣設(shè)計法,一、設(shè)計思想,窗函數(shù)設(shè)計法是從時域出發(fā)，把理想的 用一定,形狀的窗函數(shù)截取成有限長的 ，以 來近似,從而使頻響 近似理想頻響,。,頻率取樣法是從頻域出發(fā)，對理想的頻響,進(jìn)行等間隔取樣，以有限個頻響采樣去近似理想頻響,，即：,，,等間隔取樣,并且,二、利用N個頻域采樣值重構(gòu)FIR的系統(tǒng)函數(shù)與頻響,1. 重構(gòu)FIR的的單位抽樣響應(yīng)h(n),根據(jù)頻域抽樣理論（p99），由N個頻域采樣點,可以唯一確定h(n) , 即對 H(k)進(jìn)行IDFT,2.重構(gòu)系統(tǒng)函數(shù)H(Z),3.FIR的頻響,將 代入 表達(dá)式可得,其中,為大家所知的內(nèi)插函數(shù).,分析 可知，當(dāng) 時（采樣點）,有：,這說明，重構(gòu)的頻響 ，在采樣上嚴(yán)格等于H(k),而在采樣點之間，頻響則由加權(quán)的內(nèi)插函數(shù)延伸疊加而成。,三、線性相位的約束條件,以h(n)為偶對稱，N為奇數(shù)的情況進(jìn)行分析.,1.FIR的頻響具有線性相位的一般表達(dá)式,當(dāng)h(n)為偶對稱，N為奇數(shù)時，則,（P191，表6-1）,而且幅度函數(shù) 應(yīng)為偶對稱，即,2.采樣值H(k)具有線性相位的約束,其中， 表示采樣值的模（純標(biāo)量）， 表示,其相角。因此，在采樣點上具有線性相位的條件應(yīng)為：,而且， 必須滿足偶對稱，即,四. 設(shè)計步驟,1.根據(jù)指標(biāo)要求， 畫出頻率采樣序列的圖形；,2.依據(jù) 的對稱特