高二數(shù)學(xué)選修2-2~113導(dǎo)數(shù)的概念.pptVIP

1.1.3導(dǎo)數(shù)的概念2,蘇教高中數(shù)學(xué)選修2-2,2019年6月29日星期W,3y=f(x)在點(diǎn)P(x0, y0)處的切線的斜率,復(fù)習(xí)提問(wèn),注意：,1.導(dǎo)數(shù)的概念,定義：設(shè)函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)x0處及其附近有定義,當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處有改變量x時(shí)函數(shù)有相應(yīng)的改變量y=f(x0+ x)- f(x0).如果當(dāng)x0 時(shí),y/x的極限存在,這個(gè)極限就叫做函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)(或變化率)記作 即:,數(shù)學(xué)理論梳理,如瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s (t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù).,是函數(shù)f (x)在以x0與x0+x 為端點(diǎn)的區(qū)間x0,x0+x(或x0+x,x0)上的平均變化率,而導(dǎo)數(shù)則是函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0 處的變化率,它反映了函數(shù)隨自變量變化而變化的快慢程度,如果函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)x=x0存在導(dǎo)數(shù),就說(shuō)函數(shù)y= f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),如果極限不存在,就說(shuō)函數(shù) f (x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo).,2、函數(shù)在一區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)：,如果函數(shù) f(x)在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo),就說(shuō)f(x)在開區(qū)間 (a,b)內(nèi)可導(dǎo).這時(shí),對(duì)于開區(qū)間 (a,b)內(nèi)每一個(gè)確定的值 x0,都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù) f /(x0),這樣就在開區(qū)間(a,b)內(nèi)構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，我們把這一新函數(shù)叫做 f(x) 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)，記作,即,f (x0)與f (x)之間的關(guān)系：,1、y=f (x)是y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),注意：,2、f (x0)是y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)值,也即f (x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值,（是一個(gè)函數(shù)）,（是一個(gè)常數(shù)）,切線方程為,4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義,鞏3設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù),且滿足條件 , 求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線的斜率.,故所求的斜率為-2.,鞏固4,對(duì)于導(dǎo)數(shù)定義以及幾何意義的說(shuō)明：,注意(1)函數(shù)應(yīng)在點(diǎn) 的附近有定義，否則導(dǎo)數(shù)不存在; (2)在定義導(dǎo)數(shù)的極限式中， 趨近于0且可正、可負(fù),但不為0，而 可能為0; 是函數(shù)對(duì)自變量在某范圍內(nèi)的平均變化率,其幾何意義 是過(guò)曲線上點(diǎn)( )及點(diǎn)( )的割線斜率; (4)導(dǎo)數(shù) 是函數(shù) 在點(diǎn) 處瞬時(shí)變化率,它反映函數(shù) 在點(diǎn) 處變化快慢程度.,它的幾何意義是曲線 上點(diǎn)（ ）處的切線的斜率.如果 在點(diǎn) 可導(dǎo),則曲線 在點(diǎn)（ ）處的切線方程為 (5)導(dǎo)數(shù)是一個(gè)局部概念，它只與函數(shù) 在 及其附近的函數(shù)值有關(guān)，與 無(wú)關(guān). (6)在定義式中,設(shè) ,則 ,當(dāng) 趨近于0時(shí)， 趨近于 ，因此，導(dǎo)數(shù)的定義式可寫成,(7)若極限 不存在，則稱函數(shù) 在點(diǎn) 處不可導(dǎo); (8)若 在 可導(dǎo)，則曲線 在點(diǎn)（ ）有切線存在，反之不然， 若曲線 在點(diǎn)（ ）有切線， 函數(shù) 在( )不一定可導(dǎo),并且,若函數(shù)在 不可導(dǎo)，曲線在點(diǎn)( )也可能有切線.,Ex4判斷下列各命題的真假: (1)已知函數(shù)y=f (x)的圖象上的點(diǎn)列P0,P1,P2,P3,Pn, 則過(guò)P0與Pn兩點(diǎn)的直線的 斜率就是函數(shù)在點(diǎn)P0處的導(dǎo)數(shù).,答:由函數(shù)在點(diǎn)P0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義知:函數(shù)在點(diǎn) P0處的導(dǎo)數(shù)是過(guò)P0點(diǎn)曲線(即函數(shù)y=f (x)的圖象) 的切線的斜率,而不是割線P0Pn的斜率,故它是一 個(gè)假命題.,(2)若物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是S=f (t),則物體在時(shí)刻t0的瞬 時(shí)速度V等于,答:由于它完全符合瞬時(shí)速度的定義,故它是一個(gè)真 命題.,答:它是一個(gè)假命題.例如,函數(shù) 在x=0處連續(xù),但 它在x=0處的導(dǎo)數(shù)不存在.,(4)設(shè) 是函數(shù)y=f(x)的圖象上的三點(diǎn),且函數(shù)在P1,P2,P3 三點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)均存在.若 ,則必有,答: ,由于f (x)的導(dǎo)函 數(shù) 未必是單調(diào)增函數(shù).因此, 不一定成立,例如f (x)=x3,則 顯然有 故是假命題.,(3)若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,則對(duì)任一 只要 函數(shù)在x0處連續(xù),則 就必存在.,二、函數(shù)的可導(dǎo)與連續(xù),2、如圖：,即：可導(dǎo)一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo).,D,C,練習(xí)1,(3)函數(shù)y=f(x)在x=x0處可導(dǎo)是它在x=x0處連續(xù)的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,A,例1 判斷函數(shù)y=|3x-1|在x=1/3處是否可導(dǎo).,從而函數(shù)y=|3x-1|在x=1/3處不可導(dǎo).,注:這是一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)但不可導(dǎo)的例子.,例題選講,Ex2:函數(shù)f (x)=|x|(1+x)在點(diǎn)x0=0處是否有導(dǎo)數(shù)?若有, 求出來(lái),若沒有,說(shuō)明理由.,故函數(shù)f(x)=|x|(1+x)在點(diǎn)x0=0處沒有導(dǎo)數(shù),即不可導(dǎo).,例2 證明:(1)可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù); (2)可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).,證:(1)設(shè)偶函數(shù)f (x),則有f (-x)=f (x).,(2)仿(1)可證命題成立,在此略去,供課后練習(xí)用.,例題選講,練習(xí)2,課堂小結(jié),a.導(dǎo)數(shù)是從眾多實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的具有相同的數(shù)學(xué)表達(dá)式的一個(gè)重要概念，要從它的幾何意義和物理意義認(rèn)識(shí)這一概念的實(shí)質(zhì)，學(xué)會(huì)用事物在全過(guò)程中的發(fā)展變化規(guī)律來(lái)確定它在某一時(shí)刻的狀態(tài)。,b.要切實(shí)掌握求導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟：（1）求函數(shù)的增量；（2）算平均變化率；（3）找極限,得導(dǎo)數(shù)。,c.弄清“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”、“導(dǎo)函數(shù)”、“導(dǎo)數(shù)”之間的 區(qū)別與聯(lián)系。,（1）函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限,它是一個(gè)常數(shù),不是變數(shù)。,（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù),是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的,就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) 。,（3）如果函數(shù)yf (x)在開區(qū)間(a ,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo), 就說(shuō)函數(shù)yf (x)在開區(qū)間(a ,b)內(nèi)可導(dǎo)，這時(shí),對(duì)于開區(qū)間內(nèi)每一個(gè)確定的值x0，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù) ,這樣就在開區(qū)間(a ,b)內(nèi) 可構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù),稱作f (x)的導(dǎo)函數(shù)。,(4)函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù) 就是導(dǎo)函數(shù) 在x=x0處的函數(shù)值，即 ,這也是 求函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。,d.函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處有導(dǎo)數(shù)，則在該點(diǎn)處函數(shù)f (x)的曲線必有切線，且導(dǎo)數(shù)值是該切線的斜率;但函數(shù)f (x) 的曲線在點(diǎn)x0處有切線，而函數(shù)f (x)在該點(diǎn)處不一定 可導(dǎo)。如函數(shù) 在x=0處有切線，但