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2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,1,第7章 三維變換及三維觀察,提出問(wèn)題,如何對(duì)三維圖形進(jìn)行方向、尺寸和形狀方面的變換 如何進(jìn)行投影變換 如何方便地實(shí)現(xiàn)在顯示設(shè)備上對(duì)三維圖形進(jìn)行觀察,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,2,7.1 三維變換的基本概念,7.1.1 三維齊次坐標(biāo)變換矩陣,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,3,7.1.2 幾何變換,圖形的幾何變換是指對(duì)圖形的幾何信息經(jīng)過(guò)平移、比例、旋轉(zhuǎn)等變換后產(chǎn)生新的圖形。 點(diǎn)的矩陣變換 線框圖的變換 用參數(shù)方程描述的圖形的變換,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,4,7.1.3 平面幾何投影,投影變換就是把三維立體（或物體）投射到投影面上得到二維平面圖形。 平面幾何投影主要指平行投影、透視投影以及通過(guò)這些投影變換而得到的三維立體的常用平面圖形：三視圖、軸測(cè)圖。 觀察投影是指在觀察空間下進(jìn)行的圖形投影變換。,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,5,投影中心、投影面、投影線：,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,6,平面幾何投影可分為兩大類(lèi)： 透視投影的投影中心到投影面之間的距離是有限的 平行投影的投影中心到投影面之間的距離是無(wú)限的,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,7,7.1.4 觀察投影,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,9,7.2 三維幾何變換,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,10,7.2.1 三維基本幾何變換,三維基本幾何變換都是相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸進(jìn)行的幾何變換 假設(shè)三維形體變換前一點(diǎn)為p(x,y,z)，變換后為p(x,y,z)。,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,11,1. 平移變換,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,12,2. 比例變換 (1)局部比例變換,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,13,例子：對(duì)如圖7-6所示的長(zhǎng)方形體進(jìn)行比例變換，其中a=1/2，e=1/3，j=1/2，求變換后的長(zhǎng)方形體各點(diǎn)坐標(biāo)。,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,14,(2)整體比例變換,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,15,3. 旋轉(zhuǎn)變換,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,16,(1)繞z軸旋轉(zhuǎn),2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,17,(2)繞x軸旋轉(zhuǎn),2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,18,(3)繞y軸旋轉(zhuǎn),2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,19,4. 對(duì)稱(chēng)變換 (1)關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱(chēng) 關(guān)于xoy平面進(jìn)行對(duì)稱(chēng)變換的矩陣計(jì)算形式為：,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,20,關(guān)于yoz平面的對(duì)稱(chēng)變換為：,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,21,關(guān)于zox平面的對(duì)稱(chēng)變換為:,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,22,(2)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)變換 關(guān)于x軸進(jìn)行對(duì)稱(chēng)變換的矩陣計(jì)算形式為：,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,23,關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)變換為：,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,24,關(guān)于z軸的對(duì)稱(chēng)變換為：,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,25,5. 錯(cuò)切變換,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,26,(1)沿x方向錯(cuò)切,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,27,(2)沿y方向錯(cuò)切,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,28,(3)沿z方向錯(cuò)切,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,29,6. 逆變換 所謂逆變換即是與上述變換過(guò)程的相反的變換 (1)平移的逆變換,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,30,(2)比例的逆變換 局部比例變換的逆變換矩陣為：,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,31,整體比例變換的逆變換矩陣為：,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,32,(3)旋轉(zhuǎn)的逆變換,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,33,7.2.2 三維復(fù)合變換,三維復(fù)合變換是指圖形作一次以上的變換，變換結(jié)果是每次變換矩陣相乘。,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,34,1. 相對(duì)任一參考點(diǎn)的三維變換,相對(duì)于參考點(diǎn)F(xf,yf,zf)作比例、旋轉(zhuǎn)、錯(cuò)切等變換的過(guò)程分為以下三步： (1)將參考點(diǎn)F移至坐標(biāo)原點(diǎn) (2)針對(duì)原點(diǎn)進(jìn)行二維幾何變換 (3)進(jìn)行反平移,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,35,例：相對(duì)于F(xf,yf,zf)點(diǎn)進(jìn)行比例變換,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,36,2. 繞任意軸的三維旋轉(zhuǎn)變換,問(wèn)題：如何求出為T(mén)RAB。,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,37,分析：,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,38,公式推導(dǎo)： (1) 將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到A點(diǎn) (2) 將OBB繞x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，則OB旋轉(zhuǎn)到xoz平面上 (3) 將OB繞y軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，則OB旋轉(zhuǎn)到z軸上。 (4) 經(jīng)以上三步變換后，AB軸與z軸重合，此時(shí)繞AB軸的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換為繞z軸的旋轉(zhuǎn)。 (5) 最后，求TtA，TRx，TRy的逆變換，回到AB原來(lái)的位置。,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,39,類(lèi)似地，針對(duì)任意方向軸的變換可用五個(gè)步驟來(lái)完成： (1)使任意方向軸的起點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，此時(shí)進(jìn)行平移變換。 (2)使方向軸與某一坐標(biāo)軸重合，此時(shí)需進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，且旋轉(zhuǎn)變換可能不止一次。 (3)針對(duì)該坐標(biāo)軸完成變換。 (4)用逆旋轉(zhuǎn)變換使方向軸回到其原始方向。 (5)用逆平移變換使方向軸回到其原始位置。,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,40,7.3 平行投影,平行投影可分成兩類(lèi)：正投影和斜投影。,7.3.1 正投影,正投影又可分為：三視圖和正軸測(cè)。 當(dāng)投影面與某一坐標(biāo)軸垂直時(shí)，得到的投影為三視圖；否則，得到的投影為正軸測(cè)圖。,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,42,三視圖： 三視圖包括主視圖、側(cè)視圖和俯視圖三種，投影面分別與X軸、Y軸和Z軸垂直。,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,43,正軸測(cè)圖 正軸測(cè)有等軸測(cè)、正二測(cè)和正三測(cè)三種。 當(dāng)投影面與三個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角都相等時(shí)為等軸測(cè)； 當(dāng)投影面與兩個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角相等時(shí)為正二測(cè)； 當(dāng)投影面與三個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角都不相等時(shí)為正三測(cè)。,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,44,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,45,1. 三視圖 計(jì)算步驟： (1) 確定三維形體上各點(diǎn)的位置坐標(biāo) (2) 引入齊次坐標(biāo)，求出所作變換相應(yīng)的變換矩陣 (3) 將所作變換用矩陣表示，通過(guò)運(yùn)算求得三維形體上各點(diǎn)(x,y,z)經(jīng)變換后的相應(yīng)點(diǎn)(x,y)或(y,z) (4) 由變換后的所有二維點(diǎn)繪出三維形體投影后的三視圖。,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,46,2. 主視圖 將三維形體向xoz面（又稱(chēng)V面）作垂直投影（即正平行投影），得到主視圖。,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,47,3. 俯視圖 三維形體向xoy面（又稱(chēng)H面）作垂直投影得到俯視圖， (1) 投影變換 (2)使H面繞x軸負(fù)轉(zhuǎn)90 (3)使H面沿z方向平移一段距離-z0,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,48,4. 側(cè)視圖 獲得側(cè)視圖是將三維形體往yoz面（側(cè)面W）作垂直投影。 (1) 側(cè)視圖的投影變換 (2)使W面繞z軸正轉(zhuǎn)90 (3)使W面沿負(fù)x方向平移一段距離x0,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,49,5. 正軸測(cè)圖的投影變換矩陣,分析：,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,50,公式推導(dǎo)： (1) 先繞y軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角 (2) 再繞x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角 (3) 將三維形體向xoy平面作正投影 最后得到正軸測(cè)圖的投影變換矩陣,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,51,6. 正等測(cè)圖,分析：,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,52,公式推導(dǎo)： 將和的值代入(7-1)式得到正等測(cè)圖的投影變換矩陣：,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,53,7. 正二測(cè)圖,分析：,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,54,將值代入(7-1)式得到正二測(cè)圖的投影變換矩陣：,特點(diǎn)分析：,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,55,7.3.2 斜投影,斜投影圖，即斜軸測(cè)圖，是將三維形體向一個(gè)單一的投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投影面所得到的平面圖形。 常用的斜軸測(cè)圖有斜等測(cè)圖和斜二測(cè)圖。,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,56,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,57,斜軸測(cè)圖的形成,通常=30取30或45。,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,58,斜平行投影的投影變換矩陣為：,對(duì)于斜等測(cè)圖有：=45,ctg=1 斜二測(cè)圖則有：=arctg(2),ctg=1/2,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,59,對(duì)于斜等測(cè)圖有：=45,ctg=1 斜二測(cè)圖則有：=arctg(2),ctg=1/2,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,60,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,61,7.4 透視投影,分析：,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,62,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,63,滅點(diǎn)： 不平行于投影面的平行線的投影會(huì)匯聚到一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為滅點(diǎn)(Vanishing Point)。 坐標(biāo)軸方向的平行線在投影面上形成的滅點(diǎn)稱(chēng)作主滅點(diǎn)。 一點(diǎn)透視有一個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與一個(gè)坐標(biāo)軸正交，與另外兩個(gè)坐標(biāo)軸平行。 兩點(diǎn)透視有兩個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與兩個(gè)坐標(biāo)軸相交，與另一個(gè)坐標(biāo)軸平行。 三點(diǎn)透視有三個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與三個(gè)坐標(biāo)軸都相交。,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,64,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,65,7.4.1 一點(diǎn)透視,分析： 要考慮下列幾點(diǎn)： (1)三維形體與畫(huà)面（投影面）的相對(duì)位置； (2)視距，即視點(diǎn)（投影中心）與畫(huà)面的距離； (3)視點(diǎn)的高度。,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,66,假定視點(diǎn)（投影中心）在原點(diǎn)，畫(huà)面（投影面）與z軸垂直（z=d）。 一點(diǎn)透視的步驟： (1)將三維形體平移到適當(dāng)位置l、m、n； (2)令視點(diǎn)在z軸，利用公式(7-2)進(jìn)行透視變換； (3)最后，為了繪制的方便，向xoy平面作正投影變換，將結(jié)果變換到xoy平面上。,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,67,例：試?yán)L制如圖7-21(a)所示的單位立方體的一點(diǎn)透視圖。,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,68,7.4.2 二點(diǎn)透視,可以這樣來(lái)構(gòu)造二點(diǎn)透視的一般步驟： (1)先將三維形體平移到適當(dāng)位置，使視點(diǎn)有一定高度，且使形體的主要表面不會(huì)積聚成線； (2)將形體繞y軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角(90)，方向滿足右手定則； (3)進(jìn)行透視變換 (4)最后向xoy面作正投影，即得二點(diǎn)透視圖。,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,69,例：試?yán)L制上例（圖7-21(a)）中的單位立方體的二點(diǎn)透視圖。,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,70,7.4.3 三點(diǎn)透視,同樣可以簡(jiǎn)單的構(gòu)造三點(diǎn)透視圖： (1)首先將三維形體平移到適當(dāng)位置； (2)將形體進(jìn)行透視變換 (3)然后使形體先繞y軸旋轉(zhuǎn)角； (4)再繞x軸旋轉(zhuǎn)角； (5)將變形且旋轉(zhuǎn)后的形體向xoy面作正投影。,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,71,7.5 觀察坐標(biāo)系及觀察空間,7.5.1 觀察坐標(biāo)系,觀察參考坐標(biāo)系（View Reference Coordinate） 觀察參考點(diǎn)（View Reference Point）,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,72,觀察坐標(biāo)系（uvn坐標(biāo)系）的建立 法矢量N、法矢量V、法矢量U,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,73,觀察平面（View Plane），即投影平面。,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,74,7.5.2 觀察空間,觀察窗口：,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,75,觀察空間：無(wú)限觀察空間、有限觀察空間,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,76,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,77,需注意，對(duì)于透視投影，前截面必須在投影中心和后截面之間。,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,78,觀察平面和前后截面的有關(guān)位置取決于要生成的窗口類(lèi)型及特殊圖形包的限制,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,79,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,80,規(guī)范化觀察空間 平行投影的規(guī)范化觀察空間定義為：,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,81,透視投影的規(guī)范化觀察空間為：,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,82,7.6 三維觀察流程,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,83,7.6.1 用戶坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換,具體變換步驟： (1) 平移觀察參考點(diǎn)到用戶坐標(biāo)系原點(diǎn) (2) 進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換分別讓xv、yv和zv軸對(duì)應(yīng)到用戶坐標(biāo)系中的x、y和z軸。,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,84,7.6.2 平行投影的規(guī)范化投影變換,分析：,2019/6/29,華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 99-7,86,平行投影的規(guī)范化投影變換可由以下三步組成。 (1)將投影中心