chap1.1矢量分析基礎(chǔ).ppt

電磁場(chǎng)與電磁波,1,王春安 Q:601990367,平時(shí)成績(jī)占 30%： 1.出勤率 2.交作業(yè)情況 3.課堂表現(xiàn) 期末成績(jī)占 70%：,考核方式,2,電磁波譜,3,電磁場(chǎng)作為能量的一種形式，是當(dāng)今世界最重要的能源。 電磁波是無線信息傳輸?shù)妮d體，是當(dāng)今人類社會(huì)發(fā)布和獲取信息、探測(cè)未知世界的重要手段。,4,5,課程特點(diǎn)：理論性，抽象性，系統(tǒng)性 學(xué)習(xí)方法：注重物理概念、強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)方法 培養(yǎng)抽象思維、例題習(xí)題訓(xùn)練,6,教科書,7,電磁場(chǎng)與電磁波(第4版) 謝處方，饒克謹(jǐn) 編 高等教育出版社,課程安排： 矢量分析知識(shí)（第1章） 靜態(tài)場(chǎng) （第2，3章） 時(shí)變場(chǎng) （第4章）,參考書目,8,1 電磁場(chǎng)與電磁波(第3版) 王家禮，朱滿座，路宏敏 編 西安電子科技大學(xué)出版社 2 電磁場(chǎng)與電磁波（第2版）Bhag Singh Guru 等著，周克定 等譯 機(jī)械工業(yè)出版社,第1章 矢量分析,本節(jié)課主要內(nèi)容 場(chǎng)的概念和矢量代數(shù) 常用直角坐標(biāo)系，圓柱坐標(biāo)系，球坐標(biāo)系,9,電場(chǎng)與磁場(chǎng)都是矢量場(chǎng)，因此在研究電磁場(chǎng)與電磁波之前，我們先介紹分析矢量場(chǎng)與標(biāo)量場(chǎng)問題的數(shù)學(xué)工具矢量分析。本章重點(diǎn)討論以下內(nèi)容：,矢量分析基礎(chǔ),1.1 矢量及其代數(shù)運(yùn)算 1.2 圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系 習(xí) 題,1.1 矢量及其代數(shù)運(yùn)算,1.1.1 標(biāo)量和矢量 電磁場(chǎng)中遇到的絕大多數(shù)物理量， 能夠容易地區(qū)分為標(biāo)量（Scalar）和矢量(Vector)。 一個(gè)僅用大小就能夠完整描述的物理量稱為標(biāo)量， 例如， 電壓、溫度、時(shí)間、質(zhì)量、電荷等。 實(shí)際上， 所有實(shí)數(shù)都是標(biāo)量。 一個(gè)有大小和方向的物理量稱為矢量， 電場(chǎng)、磁場(chǎng)、力、速度、力矩等都是矢量。,例如， 矢量A可以表示成 A=eA （1-1-1） 其中， A是矢量A的大小; e代表矢量A的方向， e=A/A， 其大小等于1。,一個(gè)大小為零的矢量稱為空矢（Null Vector）或零矢（Zero Vector）， 一個(gè)大小為1的矢量稱為單位矢量（Unit Vector）。 在直角坐標(biāo)系中， 用單位矢量ex、 ey、 ez表征矢量分別沿x、y、 z軸分量的方向。 空間的一點(diǎn)P(X,Y,Z)能夠由它在三個(gè)相互垂直的軸線上的投影唯一地被確定， 如圖1-1所示。 從原點(diǎn)指向點(diǎn)P的矢量r稱為位置矢量(Position Vector)， 它在直角坐標(biāo)系中表示為 r=exX+eyY+ezZ （1-1-2）,圖1-1 直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的投影,微分為 dr=exdx+eydy+ezdz,三個(gè)互相垂直的面積元：,dSx=dydz dSy=dxdz dSz=dxdy,體積元：,dV=dxdydz,式中， X、 Y、 Z是位置矢量r在x、 y、 z軸上的投影。 任一矢量A在三維正交坐標(biāo)系中都可以給出其三個(gè)分量。 例如， 在直角坐標(biāo)系中， 矢量A的三個(gè)分量分別是Ax、Ay、Az， 利用三個(gè)單位矢量ex、ey、 ez 可以將矢量A表示成： A=exAx+eyAy+ezAz （1-1-3） 矢量A的大小為A： A=(A2x+A2y+A2z)1/2 （1-1-4）,1.1.2 矢量的代數(shù)運(yùn)算 1. 矢量的加法和減法 任意兩個(gè)矢量A與B相加等于兩個(gè)矢量對(duì)應(yīng)分量相加， 它們的和仍然為矢量， 即 C=A+B=ex(Ax+Bx)+ey(Ay+By)+ez(Az+Bz) (1-1-5) 任意兩個(gè)矢量A與B的差等于將其中的一個(gè)矢量變號(hào)后再相加， 即 D=A-B=A+(-B)=ex(Ax-Bx)+ey(Ay-By)+ez(Az-Bz) (1-1-6),1.1.3. 矢量的乘積 矢量的乘積包括標(biāo)量積和矢量積。 1） 標(biāo)量積 任意兩個(gè)矢量A與B的標(biāo)量積(Scalar Product)是一個(gè)標(biāo)量， 它等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的余弦之乘積， 如圖1-2所示， 記為 AB=AB cos (1-1-7),圖1 - 2 標(biāo)量積的圖示,例如， 直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式： exey=eyez= exez=0 exex=eyey=ezez=1 任意兩矢量的標(biāo)量積， 用矢量的三個(gè)分量表示為 AB=AxBx+AyBy+AzBz (1-1-9) 標(biāo)量積服從交換律和分配律， 即 AB=BA (1-1-10) A(B+C)=AB+AC (1-1-11),(1-1-8),2） 矢量積 任意兩個(gè)矢量A與B的矢量積（Vector Product）是一個(gè)矢量， 矢量積的大小等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的正弦之乘積， 其方向垂直于矢量A與B組成的平面， 如圖1-3所示， 記為 C=AB=enAB sin (1-1-12) en=eAeB （右手螺旋）,圖 1 - 3 矢量積的圖示及右手螺旋 (a) 矢量積的圖示； (b) 右手螺旋,矢量積又稱為叉積(Cross Product)， 如果兩個(gè)不為零的矢量的叉積等于零， 則這兩個(gè)矢量必然相互平行， 或者說， 兩個(gè)相互平行矢量的叉積一定等于零。 矢量的叉積不服從交換律， 但服從分配律， 即 AB=-BA (1-1-13) A(B+C)=AB+AC (1-1-14),直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式： exey=ez, eyez=ex, ezex=ey exex=eyey=ezez= 0 在直角坐標(biāo)系中， 矢量的叉積還可以表示為,(1-1-15),=ex(AyBz-AzBy)+ey(AzBx-AxBz)+ez(AxBy-AyBx),(1-1-16),小結(jié)： 直角坐標(biāo)系,對(duì)應(yīng)分量積之和,各分量為對(duì)應(yīng)分量之和,25,與三個(gè)坐標(biāo)單位矢量相垂直的三個(gè)面積元,體積元,位置矢量r的微分：,26,1.2 圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系,1.2.1 圓柱坐標(biāo)系 空間任一點(diǎn)P的位置可以用圓柱坐標(biāo)系中的三個(gè)變量(, , z)來表示， 如圖1.2.2所示。 其中， 是位置矢量OP在xy面上的投影， 是從+x軸到位置矢量OP在xy面上的投影之間的夾角， z是OP在z軸上的投影。 由圖1-4可以看出， 圓柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系為,圖1 - 4 圓柱坐標(biāo)系一點(diǎn)的投影,x=cos y=sin z=z,（1-2-1）,如同直角坐標(biāo)系一樣， 圓柱坐標(biāo)系也具有三個(gè)相互垂直 的坐標(biāo)面， 如圖1-5所示。,圖 1 - 5 圓柱坐標(biāo)系三個(gè)互相垂直的坐標(biāo),坐標(biāo)面,（1-2-2）,表示一個(gè)以z軸作軸線的半徑為的圓柱面， 的變 化范圍為0。 坐標(biāo)面,（1-2-3）,表示一個(gè)以z軸為界的半平面， 的變化范圍為02。 坐標(biāo)面 z=常數(shù) （1-2-4） 表示一個(gè)平行于xy平面的平面。 z的變化范圍為-z+。,由于三個(gè)面相交成直角， 因此能夠建立互相垂直的坐標(biāo)軸： 、 和z， 相應(yīng)的單位矢量為e、 e和ez， 分別指向、和z增加的方向。 應(yīng)該指出： 圓柱坐標(biāo)系中的三個(gè)單位矢量（與直角坐標(biāo)系的不同）除ez外， e和e都不是常矢量，它們的方向隨P點(diǎn)的位置不同而變化， 但e、e和ez三者始終保持正交關(guān)系， 并遵循右手螺旋法則， 即 ee=ez, eez=e, eze=e ee=ee=ezez= 0,（1-2-5）,ee=eez=eez=0 ee=ee=ezez=1,（1-2-6）,圓柱坐標(biāo)系的位置矢量r可以表示為 r=e+ezz （1-2-7）,圓柱坐標(biāo)系中的單位矢量e和e在單位矢量ex和ey上的投影示于圖1-6， 顯然 e=ex cos+ey sin e=ex(-sin)+ey cos （1-2-8）,圖1 - 6 圓柱坐標(biāo)系單位矢量的變換,所以， 直角坐標(biāo)系中的單位矢量變換到圓柱坐標(biāo)系中的單位矢量的表達(dá)式寫成矩陣形式為,（1-2-9）,將上式求逆即可得到從圓柱坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為,（1-2-10）,式（1-2-9）和（1-2-10）表明： 如果矢量A是在圓柱坐標(biāo)系給定的， 根據(jù)式（1-2-10）可以得到直角坐標(biāo)系的表達(dá)式； 反之， 若矢量A是在直角坐標(biāo)系給定的， 則根據(jù)式（1-2-9）可以得到圓柱坐標(biāo)系的表達(dá)式。 圓柱坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)P沿、和z方向的長度增量分別為 dl=d, dl=d, dlz=dz （1-2-11） 它們與沿各自坐標(biāo)增量之比分別為（度量系數(shù)/拉梅系數(shù)）,（1-2-12）,圓柱坐標(biāo)三個(gè)坐標(biāo)面的面元矢量分別為 dS=ed dz （1-2-13） dS=e ddz （1-2-14） dSz=ezd d （1-2-15） 體積元為 dV=d ddz,小結(jié)： 圓柱坐標(biāo)系,圓柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系,41,42,直角坐標(biāo)系中的單位矢量變換到圓柱坐標(biāo)系中的單位矢量的表達(dá)式,圓柱坐標(biāo)系中的單位矢量變換到直角坐標(biāo)系中的單位矢量的表達(dá)式,與三個(gè)坐標(biāo)單位矢量相垂直的三個(gè)面積元,體積元,位置矢量r的微分：,各坐標(biāo)方向上的增量,拉梅系數(shù)（坐標(biāo)增量與坐標(biāo)微分之比）,43,【例1-1】 將圓柱坐標(biāo)系中的矢量表達(dá)式 轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系的表達(dá)形式。,45,1.2.2 球坐標(biāo)系 在球坐標(biāo)系中， 空間一點(diǎn)P唯一地用三個(gè)坐標(biāo)變量(r, , )來表示， 如圖1-7所示。 此處， 位置矢量r又稱為矢徑(Radius Vector)， r是其大小， 是位置矢量r與z軸的夾角，是從+x軸到位置矢量r在xy面上的投影OM之間的夾角。,圖 1 - 7 球坐標(biāo)系一點(diǎn)的投影,圖 1 - 8 球坐標(biāo)系三個(gè)互相垂直的坐標(biāo)面,由圖1-7可以看出， 球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系為 x=r sin cos y=r sin sin z=r cos （1-2-17） 同樣， 球坐標(biāo)也有三個(gè)坐標(biāo)面， 如圖1-8所示。 坐標(biāo)面,（1-2-18）,表示一個(gè)半徑為r的球面， r的變化范圍為0 r 。,坐標(biāo)面 =常數(shù) 表示一個(gè)以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、 以z軸為軸線的圓錐面， 的變化范圍為0 。 坐標(biāo)面,（1-2-19）,表示一個(gè)以z軸為界的半平面， 的變化范圍為 0 2。,球坐標(biāo)系的位置矢量可以表示為 r=err (1 -2-20) 球坐標(biāo)系中任意點(diǎn)P(r, , )的三個(gè)單位矢量為er、 e和e， 它們互相正交且遵循右手螺旋法則， 即 ere=e, ee=er, eer=e erer=ee=ee= 0 ere=ee=ere=0 erer=ee=ee=1,（1-2-21）,（1-2-22）,球坐標(biāo)系中單位矢量er、e和e與直角坐標(biāo)系中單位矢量ex、 ey 和ez的變換關(guān)系的表達(dá)式為,（1-2-23）,將上式求逆即可得到球坐標(biāo)中的單位矢量變換到直角坐標(biāo)的表達(dá)式為,（1-2-24）,式（1-2-23）和（1-2-24）表明： 如果矢量A是在球坐標(biāo)系給定的， 根據(jù)式（1-2-24）可以得到直角坐標(biāo)系的表達(dá)式； 反之， 若矢量A是在直角坐標(biāo)系給定的， 則根據(jù)式（1-2-23）可以得到球坐標(biāo)系的表達(dá)式。 空間一點(diǎn)P沿r、和方向的長度增量分別為 dlr=dr, dl=rd, dl=r sind （1-2-25） 則球坐標(biāo)中的拉梅常數(shù)為,（1-2-