中國(guó)礦業(yè)大學(xué)計(jì)算力學(xué).ppt

數(shù) 值 分 析,韓 超 Email: ,參考書(shū)目 (Reference) 數(shù)值分析, 李慶揚(yáng)編, 清華大學(xué)出版社 計(jì)算方法典型題分析解集, 封建湖編, 西北工業(yè)大學(xué)出版社 數(shù)值分析學(xué)習(xí)輔導(dǎo)習(xí)題解析, 李紅編, 華中科技大學(xué)出版社 Numerical Analysis (Third Edition) David Kincaid & Ward Cheney 數(shù)值分析（第三版）, 王國(guó)榮譯, 機(jī)械工業(yè)出版社,為什么學(xué)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法？,解決實(shí)際問(wèn)題的理想化過(guò)程,教 材 內(nèi) 容 體 系,第一章 緒 論,第二章 線性方程組的直接解法,第三章 函數(shù)插值,第四章 函數(shù)逼近,第五章 數(shù)值積分法,第六章 線性方程組的迭代解法,第七章 非線性方程(組)的數(shù)值解法,第八章 數(shù)值最優(yōu)化,第九章 常微分方程的數(shù)值解法,第十章 矩陣特征值問(wèn)題的數(shù)值解法,第一章 緒 論,1 課程研究的內(nèi)容和構(gòu)造算法的主要途徑,2 誤差,3 有效算法要具備的條件,4 靈敏度分析,5 向量范數(shù)與矩陣范數(shù),1 研究?jī)?nèi)容和構(gòu)造算法的主要途徑,研究數(shù)學(xué)問(wèn)題數(shù)值解的計(jì)算方法， 即研究算法的。,1 哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題？,大型線性方程組Ax=b求解; 矩陣A的特征值和特征向量計(jì)算; 非線性方程 的求解(求根); 積分 計(jì)算; 常微分方程初值問(wèn)題求解; 函數(shù)逼近等,2 研究數(shù)值解的必要性,例1 常微分方程初值問(wèn)題,其解析解(精確解)為:,要求計(jì)算,等近似值。,3 構(gòu)造算法的主要思想,迭代法 以直線代替曲線（非線性問(wèn)題線性化） 化整為零（離散化） 外推法（加速）,好算法的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：,快 計(jì)算步驟少，收斂速度快 準(zhǔn) 數(shù)值穩(wěn)定性好，計(jì)算結(jié)果可靠性高 省 節(jié)省計(jì)算機(jī)內(nèi)存(大型稀疏矩陣問(wèn)題),快:計(jì)算步驟少，收斂速度快,例2 多項(xiàng)式求值的Hornor算法(秦九韶算法P7),給定x的值，計(jì)算 的值。,算法1：按自然順序計(jì)算,乘法次數(shù),加法次數(shù) n,算法2: 嵌套算法（Hornor,秦九韶）,乘法次數(shù)加法次數(shù) n,例3 解線性方程組,算法1: Cramer法則,乘除法次數(shù)An,(萬(wàn)年),算法2: Gauss消去法,乘除法次數(shù)：,耗時(shí)：,(秒),例5 計(jì)算積分的梯形公式與Simpson公式； 非線性方程求根，Newton法比二分法快。,例4 如FFT(快速傅立葉變換),零乘一個(gè)數(shù)省去,2. 準(zhǔn):數(shù)值穩(wěn)定性好，計(jì)算結(jié)果可靠性高,例6 求根 ，假設(shè)計(jì)算機(jī)有尾數(shù)為5位，,算法1:,算法2:,例7 計(jì)算積分,由分部積分法可得,取迭代初值,由遞推公式,計(jì)算得,算法1: 直接積分,算法不穩(wěn)定，結(jié)果不可靠。,而,可見(jiàn)遞推計(jì)算結(jié)果嚴(yán)重失真。,取,將迭代格式 變形成如下格式,計(jì)算結(jié)果相當(dāng)好,算法2 易知,算法穩(wěn)定，結(jié)果可靠。,1) 穩(wěn)定性:,若一種算法的初始誤差和舍入誤差在運(yùn)算 過(guò)程中不增長(zhǎng)，則稱此算法是穩(wěn)定的。,2) 誤差分析,算法1,記,則,誤差逐漸增大，(*)式不穩(wěn)定,算法2,記,則,誤差沒(méi)有增大，算法穩(wěn)定.,所以,為了“準(zhǔn)”，要注意的原則,1. 防止大數(shù)吃小數(shù),利用求根公式,在計(jì)算機(jī)內(nèi)，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時(shí)，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對(duì)齊，再將浮點(diǎn)部分相加。即1 的指數(shù)部分須變?yōu)?010，則：1 = 0.0000000001 1010，取單精度時(shí)就成為：109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010,大數(shù)吃小數(shù), 算法1：,先解出 再利用,注：求和時(shí)從小到大相加，可使和的誤差減小。,2: 按從小到大、以及從大到小的順序分別計(jì)算 1 + 2 + 3 + + 40 + 109, 算法2：,如1: 在五位十進(jìn)制計(jì)算機(jī)上計(jì)算,解,2. 防止相近的數(shù)相減,例9,解決辦法:, 通常情況下：,當(dāng) | x | 1 時(shí)：,3. 防止絕對(duì)值很小的數(shù)做分母,例10,2 誤差的來(lái)源和基本概念,模型誤差, 觀測(cè)誤差, 截?cái)嗾`差,舍入誤差,1 截?cái)嗾`差,也稱為方法誤差,涉及方法的收斂性.,2 舍入誤差,由計(jì)算機(jī)的浮點(diǎn)運(yùn)算產(chǎn)生,涉及方法的穩(wěn)定性.,如：用3.14159近似代替,則產(chǎn)生的誤差 R =-3.14059=0.0000026為舍入誤差.,二 基本概念,假設(shè)x為準(zhǔn)確值，x*為近似值，則,絕對(duì)誤差：,絕對(duì)誤差限：,相對(duì)誤差：,相對(duì)誤差限：,三 有效數(shù)字,例11,解,2位,2位,4位,3位,四 有效數(shù)字與誤差限的關(guān)系,1 有效數(shù)字與絕對(duì)誤差限的關(guān)系,2、有效數(shù)字與相對(duì)誤差的關(guān)系, 有效數(shù)字 相對(duì)誤差限,已知 x* 有 n 位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為, 相對(duì)誤差限 有效數(shù)字,已知 x* 的相對(duì)誤差限可寫(xiě)為 則,可見(jiàn) x* 至少有 n 位有效數(shù)字。,例13 為使 的相對(duì)誤差小于0.001%,至少應(yīng)取幾位有效 數(shù)字？,解 假設(shè) * 取到 n 位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差上限為,要保證其相對(duì)誤差小于0.001%，只要保證其上限滿足,已知 a1 = 3，則從以上不等式可解得 n 6 log6，即 n 6，應(yīng)取 * = 3.14159。,只要取n3即可，即3位有效數(shù)字。,例14 要使 的近似值相對(duì)誤差小于0.1%，應(yīng)取幾 位有效數(shù)字？,解,例15,有十個(gè)復(fù)根.,4 靈敏度分析,靈敏度分析是分析一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題原始數(shù)據(jù)的微小變化對(duì)其解的擾動(dòng) 情況。如果引起解發(fā)生較大的變化，則稱該問(wèn)題是病態(tài)的，否則稱該 問(wèn)題是良態(tài)的。它反映了解對(duì)原始數(shù)據(jù)的敏感程度。,抗干擾能力強(qiáng) 良態(tài)的方程組,抗干擾能力弱 病態(tài)的方程組,問(wèn)題：如何估計(jì)誤差向量的大小