《二節(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)》PPT課件.pptVIP

第二節(jié) 正項(xiàng)級(jí)數(shù),一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件 二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法 三、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法,一 、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件,正項(xiàng)級(jí)數(shù) ，由于 ，因此,可知數(shù)列 為單調(diào)增加數(shù)列.,定理9.1 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂的充分必要條件為：它的前n項(xiàng)部分和所構(gòu)成的數(shù)列 有上界.,用反證法可知：,若 的前n項(xiàng)部分和所構(gòu)成的數(shù)列 無界， 則 必定發(fā)散，且 .,若 發(fā)散，則其前n項(xiàng)和所構(gòu)成的數(shù)列 必定無界.,二、 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法,設(shè)有兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 與 . 若 ，則有,如果 發(fā)散，則 必定發(fā)散.因?yàn)槿艉笳呤諗?，由前述可?應(yīng)收斂而引起矛盾.,如果 收斂，可知 有上界，從而知 有界.再由正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件可知 收斂.,定理9.2(比較判別法) 設(shè)兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 與 如果滿足,那么,(1) 若 收斂，則 收斂.,(2) 若 發(fā)散，則 發(fā)散.,例1 判定級(jí)數(shù) 的收斂.,解,因而 為正項(xiàng)級(jí)數(shù).,若取 ，則 為幾何級(jí)數(shù)， 公比 ，,因此 為收斂級(jí)數(shù). 由比較判別法可知 收斂.,當(dāng)x0時(shí)，有sin xx，因此,例2 判定p-級(jí)數(shù)的收斂性.,其中p0為常數(shù).,若0p1，注意 ，由于正項(xiàng)級(jí)數(shù) 發(fā)散，,由比較判別法可知 發(fā)散.,后者級(jí)數(shù)為幾何級(jí)數(shù)，公比 ，,因此，利用比較判別法可得知， 當(dāng)p1時(shí)， 收斂.,它的各項(xiàng)不大于下列級(jí)數(shù)中的對(duì)應(yīng)項(xiàng).,綜合上述有,常用的作為比較對(duì)象的級(jí)數(shù)有,幾何級(jí)數(shù)(a0),調(diào)和級(jí)數(shù) 發(fā)散.,p-級(jí)數(shù),例3 判定級(jí)數(shù) 的收斂性.,由于 發(fā)散，,解 所給級(jí)數(shù)的通項(xiàng) 與 為同階無窮小，,例4 判定級(jí)數(shù) 的收斂性.,解 所給級(jí)數(shù)的通項(xiàng),因此設(shè) .,由p級(jí)數(shù)知， 收斂，,由比較判別法知 收斂.,與 為同階無窮小，,推論 若正項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂，且存在N，當(dāng) 時(shí)，有 ，則正項(xiàng)級(jí)數(shù) 也收斂.,若正項(xiàng)級(jí)數(shù) 發(fā)散，且存在N，當(dāng) 時(shí)， 有 ，則正項(xiàng)級(jí)數(shù) 也發(fā)散.,定理9.3(極限形式的比較判別法) 設(shè) 與 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),且 ,則 與 的收斂性相同.,利用極限形式比較法,可以免去放大或縮小un的困難.,三、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法,定理9.4 (比值判別法，又稱達(dá)朗貝爾(dAlembert)判別法) 若正項(xiàng)級(jí)數(shù) 滿足 ，則,當(dāng) 時(shí)， 收斂；,當(dāng) 時(shí)， 可能收斂，也可能發(fā)散，即此 時(shí)不能利用比值判別法判定 的收斂性.,當(dāng) 時(shí)， 發(fā)散，并且此時(shí) ；,例5 判定級(jí)數(shù) 收斂性.,解 原級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，其通項(xiàng)為,當(dāng)ae時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)0ae時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散.,例6 判定級(jí)數(shù) 的收斂性.,解 所給級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，其通項(xiàng),比值判別法失效，利用比較判別法,注意到當(dāng)n時(shí), 與 為同階無窮小量,令 則 為發(fā)散級(jí)數(shù).由于,由極限形式的比較判別法知 發(fā)散.,例7 判定級(jí)數(shù) 的收斂性.,解 原級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，其通項(xiàng)為,不能利用比值判別法判定，利用比較判定法,注意到當(dāng)n時(shí), 與 為二階無窮小量,由p級(jí)數(shù)猜想所給級(jí)數(shù)收斂,令 ,則 為收斂級(jí)數(shù),由于,由極限形式的比較判別法知 收斂.,由例7，例8可知 ，正項(xiàng)級(jí)數(shù) 的比值判別法， 對(duì)于 的情形失效.只能考慮利用其他方法判 定.,判定正項(xiàng)級(jí)數(shù) 的收斂性應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：,1.如果 易求，應(yīng)先判定是否 ？若 則可知 發(fā)散.,2.可以先考慮利用比值判別法判定其收斂性.特別是 中含有因子n!的情形，利用比值判別法通常比較方便.,3.使用比較判別法時(shí)，應(yīng)先對(duì) 的收斂性作一個(gè)猜 想.如果猜想所給